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Schrödingergleichung

Wir können in Abbildung (1.1) den Abstand zwischen Quelle und Apparat und damit die Flugzeit variieren und fragen, wie die Verteilung der Meßergebnisse von der Zeit abhängt. Diskutieren wir dies zunächst für reine Zustände. Am Eingang des Meßapparates liegt ein Zustand $ \Psi(t)$ vor, der von der Flugdauer $ t$ abhängt. Die Zeitentwicklung bildet Strahlen im Hilbertraum $ \Psi(0)$ auf Strahlen $ \Psi(t)$ ab. Verwenden wir normierte Vektoren, um die Strahlen zu repräsentieren, so muß für alle Zeiten

$\displaystyle \langle \Psi(t)\vert\Psi(t)\rangle = 1$ (4.1)

gelten und eine Phasenänderung von $ \Psi(0)$ darf höchstens zu einer Phasenänderung von $ \Psi(t)$ führen. Mit dieser Einschränkung bildet die Zeitentwicklung die Einheitskugel im Hilbertraum auf sich ab. Differenzieren wir nach der Zeit, so erhalten wir

$\displaystyle \langle \partial_t \Psi(t)\vert\Psi(t)\rangle + \langle \Psi(t)\vert\partial_t \Psi(t)\rangle = 0 .$ (4.2)

Die Zeitentwicklungsgleichung sollte eine Differentialgleichung erster Ordnung sein, sonst würde nicht $ \Psi$ das System vollständig charakterisieren und zusätzliche, nicht in $ \Psi$ enthaltene Daten wie $ \partial_t \Psi$ könnten präpariert werden und würden im Laufe der Zeitentwicklung meßbar.

Der eigentliche Inhalt des Superpositionsprinzip der Quantenmechanik ist die Annahme, daß die Zeitentwicklung linear in $ \Psi$ ist. Mit dieser Annahme postuliert man die Schrödingergleichung.

$\displaystyle \mathrm{i}\hslash \partial_t \Psi = H \Psi \quad H = H^\dagger$ (4.3)

Denn wenn $ \partial_t \Psi = O \Psi$ für irgendeinen linearen Operator $ O$ gilt, so ist er nach (4.2) antihermitesch. Die Schrödingergleichung drückt diesen Sachverhalt nach Abspalten von $ \mathrm{i}$ und einem maßsystemabhängigen Faktor $ \hslash$, dem Wirkungsquantum, aus. Der Hamiltonoperator $ H$ erzeugt die Zeitentwicklung. Er hat die Dimension einer Energie.

Es ist mit den Grundstrukturen der Quantenmechanik durchaus verträglich, daß bei physikalischen Systemen der Zustand zur Zeit $ t$ nichtlinear vom Anfangszustand $ \Psi(0)$ abhängt und durch eine einparametrige Schar invertierbarer Abbildungen $ \Phi_t: \Psi(0)\mapsto\Psi(t)$ gegeben ist, die Strahlen des Hilbertraumes auf Strahlen abbildet

$\displaystyle \Phi_t: \lambda \cdot\Psi \mapsto f_t(\lambda,\Psi)\cdot \Phi_t(\Psi) ,\quad (\Psi\ne 0 , \lambda \ne 0) ,$ (4.4)

wobei der komplexe Faktor $ f_t(\lambda,\Psi)\in\mathbbm{C}$ für nichtverschwindendes $ \lambda$ nicht Null wird. Die zugehörigen, allgemeineren Zeitentwicklungsgleichungen solcher nichtlinearer Quantenmechanik heis-sßen ,,nichtlineare Schrödingergleichung`` . Beispielsweise wird die Zeitentwicklung eines geladenen Teilchens, das in leitenden Flächen Spiegelladungen influenziert, zutreffend von einer nichtlinearen Schrödingergleichung beschrieben, wenn man die Spiegelladung durch die Wellenfunktion des Teilchens ausdrückt.

Allerdings verletzt nichtlineare Zeitentwicklung den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, daß die Entropie eines abgeschlossenen Systems im Laufe der Zeit nicht abnimmt (Seite [*]). Nichtlineare Schrödingergleichungen beschreiben daher nur Systeme, die nicht abgeschlossen sind. Wir beschränken unsere Darstellung auf lineare Quantenmechanik, deren Zeitentwicklung durch einen hermiteschen Hamiltonoperator gegeben ist.

In einem Gemisch $ \rho = \sum_j p_j \vert\Psi_j\rangle\langle\Psi_j\vert$ ändern sich als Funktion der Zeit die Zustände $ \Psi_j$. Die Wahrscheinlichkeiten $ p_j$ sind die Produktionswahrscheinlichkeiten, mit der diese Zustände im Gemisch vorliegen. Sie ändern sich nicht durch Schrödingersche Zeitentwicklung.

$\displaystyle \rho (t) = \sum_j p_j \vert\Psi_j(t)\rangle\langle\Psi_j(t)\vert$ (4.5)

Differenziert man nach der Zeit, und beachtet man, daß Bra-Vektoren antilinear sind (1.13) und demnach

$\displaystyle -\mathrm{i}\hslash \partial_t \langle \Psi(t)\vert =\langle \mathrm{i}\hslash \partial_t \Psi(t)\vert = \langle H \Psi(t)\vert$ (4.6)

erfüllen, so erhält man aus der Schrödingergleichung (4.3) für die Zeitentwicklung der Dichtematrix die von-Neumann-Gleichung

$\displaystyle \mathrm{i}\hslash \partial_t \rho = H\rho - \rho H =[H , \rho] .$ (4.7)

Es gehört zu den Besonderheiten der Quantenmechanik, daß die Zeit nicht an den physikalischen Systemen der Abbildung (1.1) gemessen wird, sondern daß die Zeit ebenso wie der Meßapparat zur Außenwelt gehört. Durch Messen eines Zustandes kann man nicht sagen, wie spät es ist, auch wenn man durch Verfolgen der Entwicklung und Vergleich mit Uhren durchaus sagen kann, wieviel Zeit zwischen zwei Ereignissen vergangen ist.

Es gibt in der Quantenmechanik keinen Operator, der die Zeit mißt. Das hat die erfreuliche Konsequenz, daß es keine Eigenzustände zu einem Zeitoperator gibt. Diese Zustände wären zu einer Zeit und zu keiner anderen, für sie würde die Zeit nicht laufen.

Aus der allgemeinen Unschärferelation (2.19) und der Schrödingergleichung folgt eine Zeit-Energie-Unschärferelation, wenn man als Zeitunschärfe $ \Delta t$ diejenige Zeit definiert, die in einem Zustand vergeht, bis sich der Erwartungswert $ \langle A \rangle $ um die Unschärfe von $ A$ geändert hat.

$\displaystyle \Delta t = \frac{\Delta A}{\bigl \vert\frac{d}{dt}\langle A \rangle \bigr \vert}$ (4.8)

Es gilt nämlich wegen (2.19) und (4.3)

$\displaystyle \Delta A \Delta H \ge \frac{1}{2} \vert\langle [A,H] \rangle \vert= \frac{\hslash}{2}\vert \frac{d}{dt}\langle A \rangle \vert$ (4.9)

und mit unserer Definition von $ \Delta t$, unabhängig davon, mit welchem Apparat $ A$ man die Zeit mißt,

$\displaystyle \Delta t \Delta E \ge \frac{\hslash}{2}.$ (4.10)

Die Variable $ t$ in zeitabhängigen Ortswellenfunktionen ist auch in relativistischer Quantenmechanik grundverschieden von den Ortsvariablen $ x$. Mehrteilchenzustände haben Wellenfunktionen mit mehreren Ortsvariablen aber mit nur einer Zeit. Über $ t$ wird im Skalarprodukt nicht integriert, die Wahrscheinlichkeit $ w(\Delta,\Psi(t))$ ist nicht eine Wahrscheinlichkeit, einen Meßwert $ t$ im Zeitintervall $ dt$ zu finden. Vielmehr parametrisiert $ t$ die Zustände $ \Psi(t)$ zwischen Austritt aus der Quelle bis zum Erreichen des Meßapparates. Wo genau die Quelle aufhört und der Meßapparat anfängt, ist dabei unerheblich. Der Aufbau in Bild (1.1) verändert sich nicht wesentlich, wenn wir einen Teil der Laufstrecke zur Quelle und einen anderen Teil zum Apparat zählen. Die Zeit zwischen Präparation des Zustands und Messung ist positiv.

Ist der Hamiltonoperator zeitunabhängig und ist zu Beginn der Zustand $ \Psi(t=0)$ Eigenzustand zu $ H$, so sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Meßwerte zeitunabhängig, denn aus

$\displaystyle \mathrm{i}\hslash \partial_t \Psi = H \Psi = E \Psi$ (4.11)

folgt $ \Psi(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Et}\Psi(0)$ und der zu $ \Psi(t)$ gehörige Strahl im Hilbertraum ändert sich nicht. Energieeigenzustände heißen daher auch stationäre Zustände.

Vertauscht der zeitunabhängige Hamiltonoperator mit einem hermiteschen Operator $ A$,

$\displaystyle {}[H,A]=0 ,$ (4.12)

so ändert sich die Wahrscheinlichkeit $ w(i,A,\Psi(t))$ (1.1) für den $ i$-ten Meßwert $ a_i$ nicht mit der Zeit. Denn der zum Meßwert gehörige, normierte Eigenzustand $ \Lambda_i$ kann zeitunabhängig und als Eigenzustand zu $ H$ gewählt werden (2.24), $ H\Lambda_i = E_i \Lambda_i$. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude $ \langle \Lambda_i\vert\Psi(t)\rangle $ ändert sich daher nur um eine Phase

\begin{displaymath}\begin{split}\mathrm{i}\hslash \partial_t \langle \Lambda_i\v...
...lash}E_i t}\langle \Lambda_i\vert\Psi(0)\rangle  . \end{split}\end{displaymath} (4.13)

Ist insbesondere $ \Psi(0)$ Eigenzustand zu $ A$ zum Meßwert $ a$, so bleibt er Eigenzustand und die Quantenzahl $ a$ ist eine Erhaltungsgröße. Hierauf beruht die überragende Bedeutung von Energie-, Impuls- und Drehimpulsoperatoren, denn außerhalb von Wechselwirkungszonen, das heißt vor und nach Streuung, sind Energie, Impuls und Drehimpuls der Stoßpartner erhalten.

Wenn der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist und wenn man sein Spektrum $ \{E_1,E_2, \dots, E_i, \dots\}$ und seine Eigenzustände $ \Lambda_1,\Lambda_2,\dots \Lambda_i,\dots$ kennt, so ist das Problem, die Zeitentwicklung eines allgemeinen Zustands zu bestimmen, dazu vereinfacht, die Komponenten des Anfangszustands in der normierten Eigenbasis des Hamiltonoperators zu bestimmen und den Zustand zur späteren Zeit mit diesen Komponenten zusammenzusetzen

$\displaystyle \Psi(t)=\sum_i \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}E_i t}\Lambda_i \psi_i  ,\quad \psi_i=\langle \Lambda_i \vert \Psi(0)\rangle  .$ (4.14)

Zu gegebenem Hamiltonoperator gehört daher die Standardaufgabe, das Spektrum und die Eigenzustände zu bestimmen.

Die Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators

$\displaystyle (H-E_i)\Lambda_i=0$ (4.15)

heißt zeitunabhängige Schrödingergleichung. Trotz weitverbreiteter, anderer Meinung erlaubt sie nicht, auszurechnen, in welchem Zustand sich das quantenmechanisches System befindet, denn quantenmechanische Systeme müssen sich nicht in Energieeigenzuständen befinden. Zum Beispiel sind instabile Teilchen oder Wellenpakete freier Teilchen keine Energieeigenzustände. Allerdings trennen sich, wenn man genügend wartet, verschiedene, durch eine endliche Energiedifferenz getrennte Energieanteile, wenn sie verschieden schnell sind. Auf diese Art präparieren sich häufig Energieeigenzustände von selbst.

Handelt es sich bei dem Zustand um ein Teilchen ohne Spin, das sich in einer Dimension bewegt, so kann der allgemeinste Zustand als Linearkombination von Ortseigenzuständen $ \Lambda_x$ mit der Wellenfunktion $ \psi(x)$ als Entwicklungskoeffizient (3.40) geschrieben werden

$\displaystyle \Psi=\int \mathrm{d}x \Lambda_x \psi(x) .$ (4.16)

Der Hamiltonoperator für die Bewegung im Potential besteht aus kinetischer Energie $ \frac{P^2}{2m}$ und potentieller Energie $ V(X)$. Auf die Ortswellenfunktion wirkt der Impulsoperator als Ableitung $ (P\Psi)(x)=-\mathrm{i}\hslash \frac{\mathrm{d}\psi(x)}{\mathrm{d}x}$ (3.26) und das Potential multipliziert die Ortswellenfunktion $ (V\Psi)(x)=V(x)\psi(x)$ (3.8). Also lautet die Eigenwertgleichung $ (H-E)\Psi=0$ auf Ortswellenfunktionen

$\displaystyle (-\frac{\hslash^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+V(x)-E)\psi(x)=0 .$ (4.17)

Die Lösungen müssen normierbar sein, wenn ihnen Vektoren im Hilbertraum der quadratintegrablen Wellenfunktionen entsprechen sollen. Zusätzlich sind aber auch alle Lösungen interessant, die für $ x\rightarrow \pm \infty$ nicht anwachsen. Denn aus solchen verallgemeinerten Lösungen lassen sich normierte Wellenpakete $ \Psi$ zusammensetzen, die der Eigenwertgleichung mit jeder vorgegebenen Genauigkeit $ \varepsilon > 0$ nahe kommen, $ \norm {(H-E)\Psi}^2<\varepsilon \norm {\Psi}^2$. Zum Beispiel sind für verschwindendes Potential die verallgemeinerten Impulseigenzustände $ \psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hslash}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hslash}px}$ verallgemeinerte Energieeigenzustände mit $ E=\frac{p^2}{2m}$. Sie gehören zum kontinuierlichen Spektrum der kinetischen Energie, das aus den reellen, nichtnegativen Zahlen $ E\ge 0$ besteht.

Um die mathematischen Schwierigkeiten klein zu halten, untersucht man vorzugsweise die Eigenwertgleichung (4.17) für vereinfachte Potentiale, wie den Topf oder die Schwelle.




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