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Schrödingerbild, Heisenbergbild

Es läßt sich in der Quantenmechanik nicht entscheiden, ob die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Meßwerten sich ändert, weil sich der Zustand $ \Psi$ bei unverändertem Meßapparat im Laufe der Zeit ändert, oder weil sich die Meßapparate ändern und die Zustände unverändert bleiben.

Im Schrödingerbild, das wir bisher verwendet haben, ordnet man die Zeitentwicklung den Zuständen zu und verwendet zeitlich unveränderte Meßoperatoren.

Sei als Funktion der Zeit $ t$ eine Schar $ U(t)$ von unitären Operatoren

$\displaystyle U^\dagger (t)=U^{-1}(t)$ (4.18)

gegeben. Verwendet man statt der zu vermessenden Zustände $ \Psi(t)$ und der Eigenzustände $ \Lambda_i$ der Meßapparate $ A$ die Zustände und Operatoren

$\displaystyle \Psi^\prime (t)=U(t)\Psi (t)  , \quad \Lambda^\prime _i(t)=U(t)\Lambda_i  , \quad A^\prime (t) = U(t) A U^{-1}(t)  ,$ (4.19)

so erhält man zu allen Zeiten und für alle Meßapparate und alle physikalischen Zustände unveränderte Wahrscheinlichkeitsamplituden und unveränderte Eigenwerte der zu den Meßapparaten gehörenden Operatoren

$\displaystyle \langle \Lambda^\prime _i(t) \vert \Psi^\prime (t) \rangle = \lan...
... U^\dagger (t)U(t)\Psi (t) \rangle= \langle \Lambda_i \vert \Psi (t) \rangle .$    

$\displaystyle A \Lambda_i = a_i \Lambda_i \Leftrightarrow U(t) A U^{-1}(t) U(t) \Lambda_i = a_i U(t) \Lambda_i .$    

Durch Differenzieren $ \partial_t (U(t)U^{-1}(t))=0$ mit der Produktregel lernt man

$\displaystyle \partial_t U^{-1}= - U^{-1}(\partial_t U) U^{-1} .$ (4.20)

Daher und wegen $ U^\dagger=U^{-1}$ ist $ U^{-1}(t) \partial_t U(t)$ antihermitesch

$\displaystyle ( U^{\dagger}\partial_t U)^\dagger= (\partial_tU^{-1}) U = -U^{-1}\partial_t U .$ (4.21)

Mit der Bezeichnung

$\displaystyle U^{-1}(t)\mathrm{i}\hslash\partial_t U(t) = - H_0(t)\quad H_0=H_0^\dagger$ (4.22)

und der Schrödingergleichung für $ \Psi(t)$ folgt für $ \Psi^\prime (t)$ die Zeitentwicklung

$\displaystyle \mathrm{i}\hslash \partial_t \Psi^\prime = H^\prime (t) \Psi^\prime$    mit $\displaystyle H^\prime =U (H - H_0) U^{-1} .$ (4.23)

Operatoren, die zu Meßapparaten gehören, erfüllen die Gleichung

$\displaystyle \mathrm{i}\hslash \partial_t A^\prime(t) = -[\tilde{H},A^\prime(t)]$    mit $\displaystyle \tilde{H}=U H_0 U^{-1} .$ (4.24)

Wählt man insbesondere $ H_0=H$, bestimmt also $ U(t)$ als Lösung von $ \mathrm{i}\hslash\partial_t U = - H U$ mit $ U(0)=1$, so ist $ \Psi^\prime$ zeitunabhängig und $ \tilde{H}=H$. Die gestrichenen Größen heißen Zustände und Meßoperatoren im Heisenbergbild und erfüllen die Gleichungen

$\displaystyle \mathrm{i}\hslash \partial_t \Psi_{\text{H}}= 0  , \quad \mathrm...
...} = 0  , \quad\mathrm{i}\hslash \partial_t A_{\text{H}} = -[H,A_{\text{H}}] .$ (4.25)

Für $ t=0$ stimmen Zustände und Meßoperatoren im Heisenbergbild und im Schrödingerbild überein.

Für Zustände, die in eine Wechselwirkungszone ein- und auslaufen, sollte für frühe und späte Zeiten die Wechselwirkung $ H_{\text{int}}$ verschwinden. Im Wechselwirkungsbild wählt man $ H_0$ so, daß $ H_{\text{int}}=U(H-H_0)U^{-1}$. Man arbeitet also mit Zuständen, die für frühe und späte Zeiten zeitunabhängig werden, so daß der Grenzwert $ \lim_{t\rightarrow\pm\infty}\Psi_{\text{W}}(t)$ existiert. Dies ist für die Diskussion von Streuexperimenten günstig.

Wenngleich alle Bilder mathematisch äquivalent sind, so sind sie doch unterschiedlich intuitiv. Zum Beispiel zerläuft ein freies Wellenpaket. Im Schrödinger-Bild ist das verständlich, weil das Wellenpaket Anteile mit unterschiedlichem Impuls und, bei massiven Teilchen, mit unterschiedlicher Geschwindigkeit hat. Das Zerfließen eines Wellenpakets ist so intuitiv erfaßbar, wie ein Hundertmeter-Rennen, bei dem am Ziel die Teilnehmer nacheinander einlaufen. Im äquivalenten Heisenberg-Bild ändert sich nicht der Zustand sondern der Meßapparat, als würden nicht die Läufer sondern die Zielrichter auseinander streben.




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