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Grundzustandsenergie

Energien, die Eigenwerte des Hamiltonoperators, der die Zeitentwicklung erzeugt, sind streng genommen nicht meßbar, sondern nur Differenzen der Energien. Insbesondere ist die Grundzustandsenergie von physikalischen Systemen nicht aus der Zeitentwicklung rekonstruierbar.

Gilt nämlich die Schrödingergleichung (4.3) für alle Zustände $ \Psi(t)$, so lassen sich diese Zustände nicht von $ \Psi^\prime(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha t/\hslash} \Psi(t)$ für reelles $ \alpha$ unterscheiden, denn $ \Psi^\prime$ und $ \Psi$ ergeben zu allen Zeiten für alle Meßapparate dieselbe Verteilung von Meßwerten. Es erfüllt aber $ \Psi^\prime (t)$ die Schrödingergleichung mit $ H^\prime=H- \alpha$. Also kann nicht zwischen $ H$ und $ H-\alpha$ unterschieden werden. Diskussionen über die Größe der Grundzustandsenergie ähneln daher mittelalterlichen Erörterungen der Frage, wieviel Engel auf eine Nadelspitze passen: immerhin wissen wir, daß wir dies durch keine Messung klären können.

Im Heisenbergbild ist es noch einfacher einzusehen, daß sich die Zeitentwicklung der Meßapparate nicht ändert, wenn zum Hamiltonoperator eine Zahl $ \alpha$ hinzugefügt wird, denn $ \alpha$ vertauscht mit jedem Operator.

Zwar nicht aus der Zeitentwicklung, wohl aber aus anderen Gründen, kann durchaus die Energie absolut festgelegt werden. Energiedichte, genauer der Energie-Impulstensor, führt in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu Krümmung der Raumzeit. Aus den kosmologischen Befunden erschließt man, daß die Energiedichte, die im Vakuum ohne Teilchen vorliegt, größer ist als die Energiedichte, die zur Materie des Universums gehört. Allerdings existiert keine erfolgreiche Theorie, die Quantenmechanik und Allgemeine Relativitätstheorie vereint.

Einem freien, nichtrelativistischen Teilchen mit Impuls $ \vec{p}$ schreibt man die Energie $ E=\vec{p}^{\; 2}/(2m)\ge 0$ zu und hat dabei über die Grundzustandsenergie so verfügt, daß die Ruhenergie verschwindet.

Das Wasserstoffatom hat ein kontinuierliches, positives Spektrum der Schwerpunktsbewegung. In Bindungszuständen hat die Relativbewegung von Proton und Elektron ein diskretes Spektrum von Energiewerten mit Energien $ E_{n,l,m}= - \frac{\text{Ry}}{n^2}$ und Eigenzuständen $ \Lambda_{n,l,m}$. Hierbei ist Ry$ =\frac{\mu e^4}{2 \hslash^2}$ die Rydbergkonstante, die Hauptquantenzahl $ n=1,2,\dots$ durchläuft die natürlichen Zahlen, für gegebenes $ n$ gibt es je ein Drehimpulsmultiplett mit $ l=0,1,\dots,n-1$ und jedes Drehimpulsmultiplett wird von $ 2l+1$ Zuständen mit $ m=-l,-l+1,\dots,l$ aufgespannt. Berücksichtigt man genauer, daß das Elektron Spin $ 1/2$ hat, so verdoppelt sich die Zahl der Zustände, bezieht man auch den Spin $ 1/2$ des Protons ein, so verdoppeln sich diese Zustände nochmal.

Der Spin des Elektrons ist entscheidend für das Periodensystem der Elemente. Der gleich große Spin des Protons bewirkt die Hyperfeinstruktur der Energien und wird in manchen Lehrbüchern nicht einmal erwähnt.

Über den diskreten Energien der Bindungszustände schließt sich das Kontinuum der positiven Energien der Relativbewegung des ionisierten Elektron-Proton-Paares an. Es ist natürlich, der Ionisationskante die Energie der Schwerpunktsbewegung von Elektron und Proton zuzuschreiben.

In relativistischen Theorien im nichtgekrümmten Raum liegt die Grundzustandsenergie fest. Der Hamiltonoperator $ H=c P^0 $ ist hier eine Komponente des Viererimpulses $ P^m, m=0,1,2,3$, der mit den Operatoren $ M^{mn}=-M^{nm}$, die Lorentztransformationen erzeugen, folgende Kommutatorrelationen erfüllt

$\displaystyle [ M^{mn}, P^l]=-\mathrm{i}(\eta^{ml} P^n - \eta^{nl} P^m)\quad m,n,l \in \{0,1,2,3\} .$ (4.26)

Diese Relationen erlauben nicht, zu $ P^m$ Zahlen hinzuzufügen. In relativistischen Theorien muß das Vakuum, der Zustand niedrigster Energie, wenn er existiert, die Energie Null haben. Ebenso muß für freie Teilchen mit Impuls $ \vec{p}$ und Masse $ m$ die Energie $ E=\sqrt{m^2c^4+\vec{p}^{\; 2}c^2}$ sein.

Es gibt eine durch die ganze Literatur durchgängige Wahl, dem harmonischen Oszillator die Grundzustandsenergie $ \hslash\omega/2$ zuzuordnen. Das wußte Planck bei der Ableitung seiner Strahlungsformel, mit der im Jahr 1900 die Quantenmechanik begann, schon besser: er ordnete Zuständen mit $ n$ Photonen die Energie $ n\hslash\omega$ zu und nicht den Wert $ (n+1/2)\hslash\omega$, der mit relativistisch kovarianter Beschreibung der Photonen unverträglich ist.

Wir haben schon gesehen, daß die Grundzustandsenergie unmeßbar ist, man sollte daher über sie so verfügen, daß Berechnungen einfach und insbesondere daß sie endlich sind. Energien frei zusammengesetzter Systeme sollten additiv sein. Es gibt in jedem Hohlraum unendlich viele Frequenzen $ \omega_i$ für Photonen. Ordnet man jeder Frequenz einen Beitrag $ \hslash\omega_i/2$ zur Grundzustandsenergie zu, so hat schon der Grundzustand ohne Photonen unendlich viel Energie $ \sum_i \hslash\omega_i/2= \infty$.

Das Mißverständnis, die Grundzustandsenergie liege fest, beginnt in der klassischen Physik. Die Wahl der Hamiltonfunktion

$\displaystyle H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^2 x^2$ (4.27)

verfügt über die klassisch nicht meßbare Grundzustandsenergie so, daß der Zustand niedrigster Energie, der Punkt $ (x=0,p=0)$ im Phasenraum, die Energie 0 hat. Diese Wahl macht den algebraischen Ausdruck für die potentielle Energie $ V(x)$ einfach, man hätte aber genauso gut $ V(x)=1/2  m\omega^2x^2-\hslash\omega/2$ wählen können.




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