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Kanonische Quantisierung, Normalordnung

Das Mißverständnis, Grundzustandsenergie liege fest, setzt sich fort bei kanonischer Quantisierung. Kanonische Quantisierung besteht darin, im algebraischen Ausdruck für die Hamiltonfunktion $ H(p,x)$ die Symbole $ p$ und $ x$ als hermitesche Operatoren $ P$ und $ X$ zu lesen, die die Heisenbergschen Vertauschungsrelationen (3.28) erfüllen. So erhält man zum Beispiel aus der Hamiltonfunktion des eindimensionalen, harmonischen Oszillators den Hamiltonoperator

$\displaystyle H_{\text{Oszillator}}=\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2 X^2 .$ (4.28)

Er hat Eigenwerte $ (n+1/2)\hslash\omega$.

So einfach kanonische Quantisierung ist, sie ist nicht einmal definiert: sie ist keine Abbildung von Phasenraumfunktionen $ H(p,x)$ auf Operatoren. Das Ergebnis kanonischer Quantisierung hängt nicht nur von der Phasenraumfunktion $ H(p,x)$ ab, sondern von der Schreibweise der Funktion.

Mit $ x_0=\sqrt{\frac{\hslash}{m\omega}}$ und mit komplexen Phasenraumkoordinaten

$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x}{x_0} + \frac{\mathrm{i}}{\hslash} x...
...^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x}{x_0} - \frac{\mathrm{i}}{\hslash} x_0 p)$ (4.29)

können wir die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators als Betragsquadrat schreiben.

$\displaystyle H=\hslash\omega a^\dagger a$ (4.30)

Quantisieren wir die Hamiltonfunktion in dieser Schreibweise, werden $ a$ und $ a^\dagger$ Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren (2.33) und der zu (4.30) gehörige Hamiltonoperator hat Eigenwerte $ n\hslash\omega$ (Kapitel 2.5).

Schreiben wir die Hamiltonfunktion als $ H=\hslash\omega((1 -\lambda) a^\dagger a + \lambda a a^\dagger)$ mit beliebigem $ \lambda \in \mathbbm{R}$, so erhalten wir bei kanonischer Quantisierung jede Grundzustandsenergie $ \lambda\hslash\omega$, die wir wollen.

Unabhängig vom Wert der Grundzustandsenergie erfüllt der Grundzustand die Gleichung $ a\Psi_0=0$, die für die Ortswellenfunktion

$\displaystyle (\frac{x}{x_0}+{x_0}\partial_x)\psi_0(x)=0$ (4.31)

besagt. Die Grundzustandswellenfunktion des harmonischen Oszillators ist eine Gaußfunktion

$\displaystyle \psi_0(x)=(\pi^{-\frac{1}{4}}x_0^{-\frac{1}{2}})  \mathrm{e}^{\displaystyle -\frac{x^2}{2x_0^{  2}}} .$ (4.32)

Das Ergebnis kanonischer Quantisierung und insbesondere die Grundzustandsenergie hängt von der Schreibweise der klassischen Hamiltonfunktion ab. Kanonische Quantisierung ist also keine Abbildung von Phasenraumfunktionen auf zugehörige Operatoren.

Es gibt allerdings eine andere, sehr einfache Quantisierung, die analytischen Phasenraumfunktionen $ H$ Operatoren zuordnet: die Normalordnung $ :H\! :$ . Die Normalordnung ist linear

$\displaystyle :c_1 H_1 + c_2 H_2\! : =  c_1 :\! H_1\! : + c_2 :\! H_2\! : ,\quad :1\!: =1$ (4.33)

und ist für Monome in $ a,a^\dagger$ rekursiv erklärt

$\displaystyle :aH\!: = :\! Ha\! : = :\! H\! :a  , \quad :a^\dagger H\!: = :\! Ha^\dagger\! : = a^\dagger :\! H\! : .$ (4.34)

Das Argument der Normalordnung besteht aus kommutierenden Phasenraumvariablen, das Ergebnis der Normalordnung von Monomen ist ein Produkt von Erzeugungsoperatoren $ a^\dagger$ und Vernichtungsoperatoren $ a$, wobei die Erzeuger links und die Vernichter rechts stehen. Die Definition der Normalordnung erweitert man leicht auf mehrere, verschiedene Erzeuger $ a^\dagger_i$ und Vernichter $ a_j$, solange die Reihenfolge der Erzeuger und die Reihenfolge der Vernichter irrelevant ist

$\displaystyle [a_i,a_j]=0  ,\quad [a^\dagger_i,a^\dagger_j]=0  ,\quad [a_i,a^\dagger_j]=\delta^j{}_i .$ (4.35)

Das Argument der Normalordnung besteht aus kommutierenden Größen, denn wenn das Argument ein Produkt von $ H_1,H_2$ und $ H_3$ ist, so gilt

$\displaystyle :\!H_1H_2H_3\!: = :\!H_2H_1H_3\!:= :\!H_2H_3H_1\!:  .$ (4.36)

Dann kann für das Argument der Normalordnung keine Operatoridentität wie $ XP-PX=\mathrm{i}\hslash$ (3.28) gelten, denn die Normalordnung von $ XP-PX$ verschwindet.

Normalordnung ist linear, aber die Normalordnung eines Produkts von Faktoren ist nicht das Produkt der normalgeordneten Faktoren.

$\displaystyle :\! H_1H_2\! :  \ne :\! H_1\! :  : \! H_2\! :$ (4.37)

Dies ist erwünscht. Ansonsten würden wegen (4.36) alle normalgeordneten Operatoren kommutieren im Gegensatz zur Heisenbergschen Vertauschungsrelation (3.28).

Normalordnung von (4.27) führt zu verschwindender Grundzustandsenergie. Aber Normalordnung ist eine willkürliche Vorschrift zur Quantisierung. Leider hängt sie von den verwendeten Phasenraumkoordinaten ab. Nicht quantisierte physikalische Systeme lassen sich durch kanonische Transformationen in andere, äquivalente Form bringen. Die Quantisierung der verschiedenen, klassisch äquivalenten Formen führt aber zu quantenmechanischen Modellen, die nicht äquivalent sind.

Die Enttäuschung darüber, daß es keine willkürfreie Quantisierung gibt, hält sich bei mir in Grenzen. Es muß keinen Zusammenhang von klassischen Systemen und quantisierten Systemen geben. Das hieße doch, daß man einem klassischen System, also dem quantisierten System nach Vernachlässigung der Quanteneigenschaften, das zugrunde liegende Quantensystem ansehen kann.

Kanonische Quantisierung leitet die Intuition, welche Quantentheorien man untersuchen solle. Ob aber ein wie auch immer konstruiertes quantenmechanisches Modell richtig ist, entscheidet sich daran und nur daran, ob die Konsequenzen des quantenmechanischen Modells mit den Beobachtungen übereinstimmen.




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