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Zeitentwicklung im Zweizustandssystem

Die Zeitentwicklung im Zweizustandssystem ist einfach genug, um bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator eine Übersicht über die Zeitabhängigkeit der Wahrscheinlichkeit für Meßwerte an allen physikalischen Zuständen und für alle Meßapparate zu geben.

Wir verwenden zur Diskussion die Eigenbasis des Hamiltonoperators. Dann ist er diagonal und hat in jedem Fall die Form

$\displaystyle H= \begin{pmatrix}E_1&0 0&E_2 \end{pmatrix}\quad E_1,E_2 \in \mathbbm{R} .$ (4.38)

Wir wählen die Eigenzustände $ \Lambda_i, i=1,2$, von $ H$ zeitunabhängig, dann erfüllen die Komponenten $ \psi_i(t)=\langle \Lambda_i \vert \Psi(t)\rangle,  i=1,2 $, die folgende, entkoppelte Schrödingergleichung

$\displaystyle \mathrm{i}\hslash \partial_t \psi_i (t)= E_i \psi_i (t)  ,\quad i=1,2 ,$ (4.39)

mit der Lösung

$\displaystyle \psi_1(t)=\psi_1(0) \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}E_1 t}  ,\quad \psi_2(t)=\psi_2(0) \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}E_2 t} .$ (4.40)

Die Wahrscheinlichkeit, daß der erste Meßwert irgend eines Meßapparates angezeigt wird, wenn zur Zeit $ t$ gemessen wird, beträgt

$\displaystyle w(t)=\vert\phi_1^*\psi_1(t) + \phi_2^*\psi_2(t)\vert^2 .$ (4.41)

Hierbei sind $ \phi_1, \phi_2$ die Komponenten des ersten Eigenvektors des Meßapparates. Einfaches Rechnen zeigt, daß $ w(t)$ die Form

$\displaystyle w(t)= a + b \cos (\omega t + \alpha), \quad a\ge b\ge 0, \omega,\alpha \in \mathbbm{R}$ (4.42)

hat mit $ a=\vert\phi_1^*\psi_1(0)\vert^2+\vert\phi_2^*\psi_2(0)\vert^2$, $ b\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}=2\phi_1\phi_2^*\psi_1(0)^*\psi_2(0)$ und

$\displaystyle \omega=\frac{E_1 - E_2}{\hslash} .$ (4.43)

Die Wahrscheinlichkeit, daß der erste Meßwert angezeigt wird, oszilliert mit der Rabi-Frequenz $ \omega/2\pi$. Die Frequenz ist durch die Energiedifferenz gegeben. Absolute Energiewerte treten in der Zeitentwicklung meßbarer Größen nicht auf.

Die Amplitude $ b$ der Rabi-Oszillation verschwindet, wenn $ \Psi(0)$ oder der Eigenzustand $ \Phi$ des Meßapparates Energieeigenzustand ist.

Rabi-Oszillationen treten in physikalisch unterschiedlichen Situationen auf, wenn für die Zeitentwicklung und die Messung nur zwei Zustände relevant sind. In der Teilchenphysik heißt das entsprechende Phänomen Teilchenoszillation. Es wird an neutralen K-Mesonen und an Neutrinos beobachtet. In der Quantenoptik ist das Phänomen eingedeutscht und heißt ,, quantum beat``.

Wird nicht ein reiner Zustand sondern ein Gemisch $ \rho$ mit Eigenwerten $ \rho_i$ und Eigenzuständen $ \Upsilon_i$ vermessen,4.1 behält die Rabi-Frequenz ihren Wert. Die Parameter $ a$, $ b$ und $ \alpha$ sind $ a=\rho_1 a_1+\rho_2 a_2$ und $ b\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}=\rho_1b_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_1}+
\rho_2b_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_2}$, wobei $ a_i,b_i$ und $ \alpha_i$ zu $ \Psi=\Upsilon_i$ gehören. Berücksichtigt man, daß $ \langle \Upsilon_1\vert\Upsilon_2 \rangle =0$ ist, so sieht man, daß die Amplitude $ b$ der Rabi-Oszillation proportional zur Differenz der Eigenwerte $ (\rho_1-\rho_2)$ ist. Sie nimmt also bei abnehmender Polarisation ab.




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