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Energiebänder

Wir untersuchen in eindimensionaler, spinloser Quantenmechanik das Spektrum (4.17) eines Hamiltonoperators mit periodischem Potential [2, Kapitel XIII.16] mit Periodizitätslänge $ l$

$\displaystyle V(x+l)=V(x)\quad \forall x .$ (4.44)

Die Differentialgleichung (4.17) mit periodischer Funktion $ V(x)$ heißt Hillsche Differentialgleichung. Sie kommt in der Mechanik bei Schwingungen mit periodisch zeitabhängiger Frequenz zum Beispiel bei der Bahn des Mondes vor.

Weil das Potential periodisch ist, vertauscht der Hamiltonoperator mit der Verschiebung $ U_l$ (3.25) um die Periodizitätslänge

$\displaystyle (H U_l \Psi)(x)$ $\displaystyle =(-\frac{\hslash^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+V(x))(U...
...si)(x) =(-\frac{\hslash^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+V(x))\psi(x-l)$    
  $\displaystyle =(-\frac{\hslash^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+V(x-l))\psi(x-l) =(U_l H \Psi)(x) .$ (4.45)

Der Hamiltonoperator und die unitäre Transformation $ U_l$ können demnach gemeinsam diagonalisiert werden (2.24). Die Verschiebung ist eine unitäre Transformation (3.25) mit komplexen Eigenwerten vom Betrag $ 1$ (2.11). Diese Eigenwerte schreiben wir als $ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k l}$ mit reellem $ k$. Dann lautet die Eigenwertgleichung $ U_{-l}\Psi_k=\mathrm{e}^{\mathrm{i}k l}\Psi_k$

$\displaystyle \psi_k(x+l)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}k l }\psi_k (x) .$ (4.46)

Diese Periodizitätsbedingung der Wellenfunktion heißt unter Physikern Blochsches Theorem, Mathematiker nennen sie Floquetsches Theorem. Sie ist verträglich mit der Energieeigenwertgleichung und kann zur Vereinfachung der mathematischen Analyse verlangt werden. Aber sie besagt nicht, daß jede Ortswellenfunktion im periodischen Potential bis auf eine Phase periodisch ist. Als Gegenbeispiel denke man an das freie Teilchen mit verschwindendem Potential. Das Potential $ V\equiv 0$ ist trivialerweise periodisch. Dennoch sind die Wellenpakete, die freien Teilchen entsprechen, nicht periodisch, sie sind aus periodischen Funktionen zusammengesetzt.

Die Eigenwertgleichung (4.17) ist eine reelle, lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Wellenfunktion $ \psi(x)$. Daher hängt die Wellenfunktion und ihre Ableitung bei $ x=l$ linear von den Anfangswerten bei $ x=0$ ab. Fassen wir die Wellenfunktion und ihre Ableitung zu zwei Komponenten eines Vektors $ u$ zusammen,


so gilt mit einer Matrix $ A$


$\displaystyle u(x)$ $\displaystyle = \begin{pmatrix}\psi(x) \psi^\prime(x) \end{pmatrix} ,u(l)$ $\displaystyle =A u(0) .$ (4.47)

Die lineare Abbildung $ A$ der Anfangswerte $ u(0)$ auf $ u(l)$ heißt Wiederkehrabbildung oder stroboskopische Abbildung.

Die $ 2\times 2$-Matrix $ A$ ist reell, denn zu reellen Anfangswerten $ u(0)$ gehört eine reelle Lösung $ u(x)$

$\displaystyle A=A^* = \begin{pmatrix}a & b c & d \end{pmatrix} , \quad a,b,c,d \in \mathbbm{R} .$ (4.48)

Die Matrixelemente der Matrix $ A$ sind differenzierbare Funktionen der Energie $ E$, denn die Lösung $ \psi(x)$ und ihre Ableitung hängt bei $ x=l$ differenzierbar von dem Parameter $ E$ der Differentialgleichung ab.

Aus der Eigenwertgleichung (4.17) folgt unmittelbar, daß der quantenmechanische Strom, die Wronski-Determinante, $ x$-unabhängig ist

$\displaystyle \frac{2\mathrm{i}m}{\hslash}j=\psi^*\overset{\leftrightarrow}{\partial}_x \psi= \psi^*\partial_x\psi-\partial_x\psi^{*}\psi$ $\displaystyle =u^\dagger(x) {I} u(x) , $    mit $\displaystyle  I = \begin{pmatrix}0 & 1 -1 & 0 \end{pmatrix}  ,$    
$\displaystyle \partial_x \bigl (u^\dagger(x) {I} u(x)\bigr )$ $\displaystyle = 0 .$ (4.49)

Insbesondere hat $ u^\dagger(x) {I} u(x)$ für $ x=0$ und für $ x=l$ denselben Wert. Daher gilt für alle Anfangswerte $ u=u(0)$

$\displaystyle (Au)^\dagger {I} Au = u^\dagger {I} u\quad \forall u$ (4.50)

und daher

$\displaystyle A^\dagger{I} A = {I} .$ (4.51)

Diese Matrixrelation ist für reelle $ 2\times 2$-Matrizen $ A$ genau dann erfüllt, wenn die Determinante den speziellen Wert $ 1$ hat.

$\displaystyle ad-bc=1$ (4.52)

Die Matrix $ A$ ist aus der Gruppe der speziellen linearen Transformationen von zweidimensionalen reellen Vektorräumen.

$\displaystyle A\in$   SL$\displaystyle (2,\mathbbm{R})$ (4.53)

Die Eigenwerte von $ A$

$\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{a+d}{2}\pm \sqrt{\bigl (\frac{a+d}{2}\bigr )^2-1}$ (4.54)

sind reell, falls $ \vert\tr A\vert=\vert a+d\vert\ge 2$ ist. Wegen $ \det A = 1$ sind sie zueinander invers und der Betrag von einem der reellen Eigenwerte ist größer gleich $ 1$.

$\displaystyle \vert\tr A\vert\ge 2\Rightarrow \lambda_1=\lambda^{*}_1=\frac{1}{\lambda_2}$ (4.55)

Lösungen $ u(x)$, die zu Eigenwerten mit $ \vert\lambda\vert>1$ gehören, wachsen für $ x\rightarrow\infty$ wegen $ u(x+nl)=\lambda^n u(x)$ exponentiell an. Die zum anderen Eigenwert $ \lambda_2=\lambda^{-1}$ gehörige Lösung wächst wegen $ u_2(x-nl)=\lambda_2{}^{-n}u_2(x)$ für $ x\rightarrow -\infty$. Aus solchen Lösungen lassen sich keine normierbaren Wellenpakete zusammensetzen.

Falls der Betrag der Spur von $ A$ kleiner als $ 2$ ist, sind die Eigenwerte komplex, zueinander konjugiert und wegen $ \det A = 1$ vom Betrag $ 1$

$\displaystyle \vert\tr A\vert < 2\Rightarrow \lambda_1=\lambda^{*}_2  ,\quad \vert\lambda_1\vert=1 .$ (4.56)

Die Periodizitätsbedingung (4.46) besagt, daß die Eigenfunktion $ \psi(x)$ zu Eigenvektoren der Matrix $ A$ mit Eigenwerten $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}kl}$ gehört

$\displaystyle \bigl (A-\mathrm{e}^{\mathrm{i}kl}\bigr ) \begin{pmatrix}\psi(0) \psi^\prime (0) \end{pmatrix} =0 .$ (4.57)

Dies schränkt die Energie $ E$ auf Bänder ein, für die $ \vert$tr$  A({E})\vert\le 2$ gilt, für die also die Eigenwerte von $ A$ auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene liegen.

In der Umgebung der Bandkante, zum Beispiel bei tr$ A = 2$, hat $ A$ die Form

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}a & b c & 2-a \end{pmatrix} +\delta E \begin{pmatrix}\alpha & \beta \gamma & \delta \end{pmatrix} .$ (4.58)

Dabei ist $ \delta E$ die Abweichung der Energie von der Bandkante, die Matrixelemente $ b$ und $ c$ sind durch $ \det A = 1$ eingeschränkt $ bc=-{(1-a)^2}$, und $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ und $ \delta$ sind die Ableitungen der Matrixelemente $ a$, $ b$, $ c$ und $ d$ nach der Energie. Hat $ \vert\tr A\vert-2$ einen Nulldurchgang und ist $ \frac{d}{dE}{\text{tr}}A=\alpha+\delta\ne 0$, dann variieren die Eigenwerte in einer Umgebung der Bandkante in niedrigster Ordnung in $ (\delta E)^\frac{1}{2}$ mit

$\displaystyle \lambda_{1,2}\approx$   sign$\displaystyle ($tr$\displaystyle A)\pm \sqrt{\delta E (\alpha+\delta)\text{sign}(\text{tr}A)} .$ (4.59)

An der unteren Bandkante ist $ (\alpha+\delta)$sign$ ($tr$ A)<0$ und Energien oberhalb der unteren Bandkante führen zu komplexen Eigenwerten $ \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}kl}\approx 1\pm\mathrm{i}kl$. Löst man hier nach der Energie als Funktion von $ k$ auf, so erhält man am unteren Ende der Bandkante in niedrigster Ordnung

$\displaystyle E(k)= E(0)+\frac{\hslash^2k^2}{2M}+ \dots$   mit $\displaystyle  M=\frac{\hslash^2}{2 l^2}\vert\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}{\text{tr}}A\vert .$ (4.60)

Dies ist die Energie-Impulsbeziehung eines Teilchens mit effektiver Masse $ M$.

Wächst mit der Energie im erlaubten Band der Wert von $ \vert k\vert$ an, so erreicht er bei $ k=\pm \frac{\pi}{l}$ die obere Bandkante. Hat dort $ \vert\tr A\vert-2$ einen Nulldurchgang und ist $ \alpha+\delta\ne 0$, so verschwindet dort die Ableitung $ \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}k}$ und die Krümmung $ \frac{\mathrm{d}^2E}{\mathrm{d}k^2}$ ist negativ

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}k}_{\vert _{k=\pm \frac{\pi}{l}}}=0\...
...\pi}{l}}}=-{ 2 l^2}\vert\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}{\text{tr}}A\vert^{-1} .$ (4.61)

Innerhalb jedes Bandes ist $ k(E)$ eine monotone Funktion. Dies sieht man, wenn man die Eigenfunktion von (4.17) und (4.46) als Produkt von $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}$ und einer periodischer Funktion $ u_k(x+l)=u_k(x)$ schreibt.

$\displaystyle \psi_k(x)=\sqrt{\frac{l}{2\pi}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}u_k(x)$ (4.62)

Die Eigenwertgleichung lautet dann

$\displaystyle H(k)u_k=\bigl (E- \frac{\hslash^2k^2}{2m}\bigr )u_k  ,\quad H(k)...
...h k}{m}\bigl ( -\mathrm{i}\hslash\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigr ) +V(x) .$ (4.63)

Der Hamiltonoperator $ H(k)$ wirkt als hermitescher Operator auf $ l$-periodische Funktionen $ u$ und $ v$, deren Skalarprodukt durch

$\displaystyle \langle u \vert v \rangle =\int_0^l\! \mathrm{d}x  u^*(x)v(x)$ (4.64)

definiert ist; dies sind Ortswellenfunktionen auf einem Kreis mit Umfang $ l$.

Innerhalb eines Bandes ist $ k(E)$ eine differenzierbare Funktion, denn $ k$ ist eine differenzierbare Funktion (4.55) der Matrixelemente von $ A$, die wiederum differenzierbar von $ E$ abhängen. Differenzieren wir den Eigenwert $ E-\frac{\hslash^2k^2}{2m}$ von $ H(k)$ nach $ E$, so erhalten wir wegen (2.79) für normierte $ u_k$ und mit

$\displaystyle Pu_k (x)$ $\displaystyle = -\mathrm{i}\hslash\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u_k (x)$ (4.65)
$\displaystyle 1-\frac{\hslash^2k}{m}\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}E}$ $\displaystyle =\langle u_k \vert \frac{\mathrm{d}H(k)}{\mathrm{d}k} u_k \rangle...
...gle u_k \vert P u_k \rangle \frac{\hslash}{m}\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}E} .$ (4.66)

Diese Gleichung schließt Nullstellen von $ \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}E}$ aus, denn das Matrixelement $ \langle u_k \vert P u_k \rangle $ ist endlich. Es ist $ u_k(x)$ differenzierbar, wenn das Potential $ V$ nichtsingulär ist, und das Skalarprodukt ist ein Integral über ein endliches Intervall, also ist das Matrixelement endlich. Daher ist $ k(E)$ innerhalb eines Bandes invertierbar und die Energie ist eine strikt monotone Funktion von $ k$ zwischen $ k=0$ und $ k=\frac{\pi}{l}$.

Die Gruppengeschwindigkeit von Wellenpaketen

$\displaystyle v_{\text{Gruppe}}=\frac{\partial \omega}{\partial k}=\frac{1}{\hs...
...tial E}{\partial k}= \frac{1}{m} (\hslash k + \langle u_k \vert P u_k \rangle )$ (4.67)

setzt sich zusammen aus dem Impuls, der vom Faktor $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}$ getragen wird und dem Impulserwartungswert innerhalb des Periodizitätsintervalls. Für Werte in der Nähe der unteren Bandkante ist er proportional zu $ k$

$\displaystyle \langle u_k \vert P u_k \rangle =\hslash k (\frac{m}{M}-1)+O(k^2)  ,$ (4.68)

an der oberen Bandkante kompensiert er den Impuls von $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}$

$\displaystyle \langle u_{\frac{\pi}{l}} \vert P u_{\frac{\pi}{l}} \rangle = -\l...
...\frac{\pi}{l}} \vert P u_{-\frac{\pi}{l}} \rangle =- \hslash {\frac{\pi}{l}} .$ (4.69)

Die Funktionen $ u_k$ sind periodisch und lassen sich deshalb als Fourierreihe darstellen.

$\displaystyle u_k(x)=\sum_n c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n \frac{2\pi }{l}x}$ (4.70)

Die zugehörigen Eigenfunktionen $ \psi_k(x)=\sqrt{\frac{l}{2\pi}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}u_k(x)$ mit $ -\frac{\pi}{l}\le k\le \frac{\pi}{l}$ sind daher bezüglich $ k$ kontinuumsnormiert, wenn die Wellenfunktionen $ u_k$ im Periodizitätsintervall normiert sind.

$\displaystyle \langle \Psi_k \vert \Psi_{k^\prime}\rangle$ $\displaystyle = \frac{l}{2\pi }\int\! \mathrm{d}x   \bigl (\mathrm{e}^{\mathrm...
...^\prime x} \sum_{m} c^\prime_m \mathrm{e}^{\mathrm{i}m \frac{2\pi }{l}x}\bigr )$    
  $\displaystyle ={l}\sum_{m,n}c_n^*c^\prime_m\delta(k^\prime-k + (m-n)\frac{2\pi}{l})$    
  $\displaystyle =({l}\sum_{n}c_n^*c^\prime_n)\delta(k^\prime-k)= \langle u_k\vert u^\prime_k\rangle \delta(k^\prime-k) .$ (4.71)

Gehören die Wellenfunktionen zum selben Band, so stimmen $ u_k$ und $ u^\prime_{k}$ überein und mit $ \langle u_k\vert u_k\rangle =1$ folgt

$\displaystyle \langle \Psi_k \vert \Psi_{k^\prime}\rangle =\delta(k^\prime-k) .$ (4.72)

Gehören die Wellenfunktionen zu verschiedenen Bändern, so sind sie orthogonal, weil bei verschiedenen Bändern und gleichem $ k$ die Eigenzustände $ u_k$ und $ u^\prime_k$ zu (4.64) mit verschiedenen Eigenwerten $ E-\frac{\hslash^2k^2}{2m}$ orthogonal zueinander sind.

Hat an der Bandkante $ \vert\tr A\vert-2$ einen Nulldurchgang, so gibt es zwischen den Bändern Lücken. Diese Lücke verschwindet, wenn $ \vert\tr A\vert=2$ ein lokales Maximum ist.

Zu jedem Energiewert im Band gehören zwei Eigenwerte $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}kl}$ und $ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k l}$. Die Dispersionsrelation $ E(k)=E(-k)$ ist also eine gerade Funktion.

Betrachtet man einen festen Eigenwert $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}kl}\ne \pm 1$ der Verschiebung (4.46), so gehören dazu abzählbar viele Energieeigenzustände mit nichtentarteten Energien. Diese Eigenzustände gehören zu den verschiedenen Bändern. Beim Eigenwert $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}kl}= \pm 1$ ist die Energie nur dann entartet und dann zweifach entartet, wenn $ A(E)=\pm\mathbbm{1}$ ist.




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