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Produktraum

Häufig ist ein quantenmechanisches System aus identifizierbaren Teilen zusammengesetzt, zum Beispiel aus zwei verschiedenen Teilchen, deren Eigenschaften getrennt gemessen werden können. Dann ist der Hilbertraum $ \cal H$ ein Produktraum

$\displaystyle {\cal H} = {\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2 ,$ (5.1)

dessen Elemente Summen von Vielfachen von Paaren $ u\otimes v$ von Elementen $ u\in {\cal H}_1$ und $ v\in {\cal H}_2$ der einzelnen Hilberträume sind. Diese Paare sind Produkte, das heißt, für alle $ u$ und $ u^\prime$ aus $ {\cal H}_1$ und für alle $ v$ und $ v^\prime$ aus $ {\cal H}_2$ und für alle komplexen Zahlen $ c$ gelten

$\displaystyle (cu+u^\prime)\otimes v=c(u\otimes v)+(u^\prime\otimes v)\quad ,\quad u\otimes(cv+v^\prime)=c(u\otimes v)+(u\otimes v^\prime) .$ (5.2)

Das Skalarprodukt der Produktzustände ist das Produkt der einzelnen Skalarprodukte,

$\displaystyle \langle u^\prime\otimes v^\prime \vert u\otimes v\rangle =\langle u^\prime \vert u\rangle \langle v^\prime \vert v\rangle  .$ (5.3)

Die Produkte $ \chi_i\otimes \phi_\alpha$ der Vektoren einer Orthonormalbasis $ \chi_i$ von $ {\cal H}_1$ mit den Vektoren $ \phi_\alpha$ einer Orthonormalbasis von $ {\cal H}_2$ bilden eine orthonormale Produktbasis von $ {\cal H}_1\otimes{\cal H}_2$. Bezüglich solch einer Basis haben Zustände $ \Psi$ die Entwicklung

$\displaystyle \Psi = \sum_{i \alpha} \chi_i\otimes \phi_\alpha  \psi_{i \alph...
... \quad \psi_{i \alpha} = \langle \chi_i\otimes \phi_\alpha \vert\Psi\rangle  .$ (5.4)

Die Komponenten $ \psi_{i \alpha}$ definieren Abbildungen $ N :{\cal H}_2\rightarrow {\cal H}_1$ und $ N^\dagger:{\cal H}_1\rightarrow {\cal H}_2$,

\begin{equation*}\begin{aligned}N(\sum_\alpha \phi_\alpha v_\alpha)=\sum_{i} \ch...
...\alpha \phi_\alpha (\sum_i\psi^*_{i \alpha}u_i) , \end{aligned}\end{equation*}

die nicht von der Basis $ \chi_i$ von $ {\cal H}_1$ und nicht von der Basis $ \phi_\alpha$ von $ {\cal H}_2$ abhängen.

Die Abbildung $ N^\dagger N:{\cal H}_2\rightarrow {\cal H}_2$ ist hermitesch. Ihre Eigenvektoren $ v_n$ zu verschiedenen Eigenwerten $ \lambda_n^2$, $ N^\dagger N v_n = \lambda_n^2 v_n$, stehen aufeinander senkrecht und können bei entarteten Eigenwerten senkrecht zueinander gewählt werden. Wählen wir die $ v_n$ normiert, so bilden sie eine Orthonormalbasis von $ {\cal H}_2$.

Für $ m=n$ besagt $ \langle N v_m \vert N v_n\rangle = \langle v_m \vert N^\dagger N v_n\rangle = \lambda_n^2\delta_{mn}$ (keine Summe über $ n$), daß die Eigenwerte $ \lambda_n^2$ von $ N^\dagger N$ nicht negativ sind und daß $ N v_n = \lambda_n u_n$ für $ \lambda_n > 0$ normierte Vektoren $ u_n\in{\cal H}_1$ definiert. Für $ m\ne n$ besagt dieselbe Gleichung, daß die $ u_m$ aufeinander senkrecht stehen. Falls sie nicht $ {\cal H}_1$, sondern nur einen Unterraum aufspannen, denken wir uns die $ u_n$ zu einer Orthonormalbasis ergänzt.

Demnach definiert jeder normierte Zustand $ \psi$ eine Orthonormalbasis $ u_n$ von $ {\cal H}_1$ und eine Orthonormalbasis $ v_n$ von $ {\cal H}_2$, in der $ \psi$ die Komponenten $ \psi_{nm}=\lambda_n \delta_{nm}$ hat (keine Summe über $ n$). Denn zu $ \psi$ gehört die lineare Abbildung $ N$, die jeden Basisvektor $ v_n$ auf das $ \lambda_n$-fache des Basisvektors $ u_n$ abbildet,

$\displaystyle \Psi = \sum_n \lambda_n  u_n\otimes v_n ,\quad 0\le \lambda_n ...
...uad \langle u_m \vert u_n\rangle = \langle v_m \vert v_n\rangle =\delta_{mn} .$ (5.6)

Diese Darstellung eines normierten Vektors $ \Psi \in {\cal H}_1\otimes {\cal H}_2 $ ist seine Schmidtzerlegung. Die Orthonormalbasis $ v_n$ ist, wenn wir die $ \lambda_n$ nach abnehmender Größe ordnen, eindeutig bis auf unitäre Transformationen der Unterräume von $ {\cal H}_2$, die zum gleichen Eigenwert von $ N^\dagger N$ gehören; dies ist bei nichtentartetem Eigenwert eine Phase $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$. Dann ist die Basis $ u_n$ eindeutig bis auf eine unitäre Transformation des Nullraumes von $ N^\dagger$.

Können die Komponenten $ \psi_{i \alpha}$ als Produkt $ a_ib_\alpha$ geschrieben werden, so hat die Matrix $ \psi_{i \alpha}$ den Rang Eins und $ \Psi=(\sum_i \chi_i a_i)\otimes (\sum_\alpha \phi_\alpha b_\alpha) $ ist ein Produktzustand.

Zustände, deren Schmidtzerlegung aus mehreren Termen bestehen, nennt man verschränkte Zustände. Die Funktion

$\displaystyle V(\Psi)=-\sum_n \lambda_n^2 \ln \lambda_n^2$ (5.7)

ist ein Maß der Verschränkung, das nur bei Produktzuständen verschwindet und sonst positiv ist. Alle Mehrteilchenzustände identischer Bosonen oder Fermionen, die wie zum Beispiel Slater-Determinanten (3.64) aus verschiedenen Einteilchenzuständen zusammengesetzt sind, sind verschränkt.

Sei der Operator $ A$ einen Meßapparat, der das erste Teilsystem vermißt, der also $ {\cal H}_1$ auf $ {\cal H}_1$ abbildet, und sei $ B$ einen Meßapparat des zweiten Teilsystems, dann wirkt ihr direktes Produkt $ A\otimes B$ auf Produktzustände durch

$\displaystyle (A\otimes B) (u\otimes v) = (Au)\otimes (Bv)$ (5.8)

und ist allgemeiner durch Linearität erklärt,

$\displaystyle \bigr(A\otimes B\bigr)\bigl(\sum_{i \alpha} \chi_i\otimes \phi_\...
...\bigr )= \sum_{i \alpha} (A\chi_i)\otimes (B\phi_\alpha)  \psi_{i \alpha}  .$ (5.9)

Operatoren des zusammengesetzten Systems $ {\cal H}_1\otimes{\cal H}_2$ von der Form $ A\otimes \mathbbm{1}$ entsprechen den Messungen am ersten Teilsystem, die Operatoren von der Form $ \mathbbm{1}\otimes B$ den Messungen am zweiten Teilsystem.




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