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Addition von Drehimpulsen

Betrachten wir das quantenmechanische System, daß von zwei Spin-$ 1/2$-Teilchen gebildet wird, die sich einfachheitshalber nicht bewegen können. Der Hilbertraum der Einteilchenzustände wird dann einfach von Basiszuständen $ \Lambda_{\uparrow}$ und $ \Lambda_{\downarrow}$ aufgespannt. Eine Basis des Produktraumes der Zweiteilchenzustände ist

$\displaystyle \Lambda_{\uparrow\uparrow}  , \Lambda_{\uparrow\downarrow}  , \Lambda_{\downarrow\uparrow}  , \Lambda_{\downarrow\downarrow} .$ (5.10)

Die Basis ist so gewählt, daß die Spinoperatoren für das erste und zweite Teilchen $ \vec{S}_1$ und $ \vec{S}_2$ durch Multiplikation mit den Paulimatrizen wirken.

$\displaystyle \vec{S}_1\Lambda_{ij}= \frac{\hslash}{2}\Lambda_{kj}\vec{\sigma}_...
...,\quad \vec{S}_2\Lambda_{ij}= \frac{\hslash}{2}\Lambda_{ik}\vec{\sigma}_{kj} .$ (5.11)

Alle Spinoperatoren des ersten Teilchens vertauschen mit allen Spinoperatoren des zweiten Teilchens.

$\displaystyle [S_{1 a},S_{2 b}]=0 \quad a,b\in\{1,2,3\}$ (5.12)

Daher sind die Summen $ S_a=S_{1 a}+S_{2 a}$ Komponenten von Drehimpulsoperatoren, die die Drehimpulsalgebra (2.45) erfüllen.

$\displaystyle [S_a,S_b]=\mathrm{i}\hslash \varepsilon_{abc}S_c$ (5.13)

Das Spektrum von $ S_3=S_{1 3}+S_{2 3}$ läßt sich unmittelbar ablesen

$\displaystyle S_3 \Lambda_{\uparrow\uparrow}=\hslash \Lambda_{\uparrow\uparrow}...
... S_3 \Lambda_{\downarrow\downarrow}=-\hslash \Lambda_{\downarrow\downarrow}  .$ (5.14)

Demnach gehört $ \Lambda_{\uparrow\uparrow}$ zu einem Drehimpulsmultiplett mit Gesamtspin $ s=1$, denn den Gesamtspin $ s$ kann man am höchsten $ S_3$-Eigenwert ablesen (2.58). Ebenso gehört der Zustand $ \Lambda_{\downarrow\downarrow}$ mit niedrigstem $ S_3$-Eigenwert $ -\hslash$ zu Gesamtspin $ s=1$. Den Zustand mit $ s=1$ und $ S_3$-Eigenwert 0 erhält man mit einem Faktor $ \sqrt{(1+1)(1-1+1)}=\sqrt{2}$ (2.48) durch Anwenden des Leiteroperators $ S_-$ auf $ \Lambda_{\uparrow\uparrow}$

$\displaystyle S_-\Lambda_{\uparrow\uparrow}$ $\displaystyle =(S_{1 -}+S_{2 -})\Lambda_{\uparrow\uparrow} =\sqrt{(\frac{1}{2...
...{2}-\frac{1}{2}+1)} (\Lambda_{\downarrow\uparrow}+\Lambda_{\uparrow\downarrow})$ (5.15)
$\displaystyle \Lambda_{s=1,s_3=1}$ $\displaystyle =\Lambda_{\uparrow\uparrow}  ,\quad \Lambda_{s=1,s_3=0}=\frac{1}...
...row\downarrow})  ,\quad \Lambda_{s=1,s_3=-1}=\Lambda_{\downarrow\downarrow} .$ (5.16)

Diese drei Basisvektoren spannen ein Gesamtspin-1-Multiplett auf. Weitere Gesamtdrehimpulsmultipletts sind als Eigenzustände von $ S^2$ senkrecht zu diesem Gesamtspin-1-Multiplett, wenn sie zu anderem Gesamtspin gehören, oder können senkrecht zu diesem Gesamtspin-1-Multiplett gewählt werden. Sie sind demnach in unserem Beispiel aufgespannt vom Zustand

$\displaystyle \Lambda_{s=0,s_3=0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Lambda_{\downarrow\uparrow}-\Lambda_{\uparrow\downarrow}) .$ (5.17)

Er ist $ S_3 $-Eigenzustand zum Eigenwert 0. Da der Gesamtspin in einem Drehimpulsmultiplett am höchsten und am niedrigsten $ S_3 $-Eigenwert ablesbar ist, gehört dieser Zustand zu Gesamtspin 0. Dies kann man leicht nachprüfen, denn $ S_3$, $ S_+$ und $ S_-$ verschwinden auf diesem Zustand.

Die Zustände $ \Lambda_{s=0,s_3=0}$ und $ \Lambda_{s=1,s_3=0}$ sind verschränkt.




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