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Unabhängig zusammengesetzte Gemische

Gemische $ \rho$ von zusammengesetzten Systemen sind unabhängig zusammengesetzt, falls die Wahrscheinlichkeiten für alle Paare von Meßergebnissen von $ A\otimes \mathbbm{1}$ am ersten Teilsystem und von $ \mathbbm{1}\otimes B$ am zweiten Teilsystem faktorisieren,

$\displaystyle w((i,\alpha),A\otimes B,\rho) = w_1(i,A,\hat{\rho})\cdot w_2(\alpha,B,\tilde{\rho}) .$ (5.18)

Hierbei ist $ w((i,\alpha),A\otimes B,\rho)$ die Wahrscheinlichkeit, daß $ A$ den $ i$-ten Meßwert $ a_i$ und $ B$ den $ \alpha$-ten Meßwert $ b_\alpha$ anzeigt, $ w_1(i,A,\hat{\rho})=\sum_\alpha w((i,\alpha),A\otimes B,\rho)$ ist die Wahrscheinlichkeit, daß $ A$ den $ i$-ten Meßwert anzeigt, und $ w_2(\alpha,B,\tilde{\rho})=\sum_i w((i,\alpha),A\otimes B,\rho)$ die Wahrscheinlichkeit, daß $ B$ den $ \alpha$-ten Meßwert $ b_\alpha$ anzeigt. Anderenfalls, wenn ein Gemisch nicht unabhängig zusammengesetzt ist, nennen wir die Teilsysteme verschränkt.

Daß Systeme unabhängig zusammengesetzt sind, bedeutet mathematisch folgendes: die Wahrscheinlichkeiten sind durch Hauptdiagonalelemente $ \langle \Lambda \vert \rho \Lambda \rangle$ (1.38) gegeben. Daher muß (5.18) insbesondere für jeden Eigenzustand $ \Lambda$ eines Operators $ A\otimes B$ gelten, also für jeden Produktzustand $ u\otimes v$,

$\displaystyle \sum_{ij\alpha\beta}a^*_ib^*_\alpha  \rho_{i,\alpha j,\beta}  ...
...j} a_j)  (\sum_{\alpha\beta} b^*_\alpha \tilde{\rho}_{\alpha\beta} b_\beta) .$ (5.19)

Beide Seiten der Gleichung sind Bilinearformen in $ u$ und in $ v$ und sind für alle $ u$ und $ v$ genau dann gleich, wenn die Koeffizienten gleich sind, wenn also das Gemisch ein direktes Produkt von Gemischen ist,

$\displaystyle \rho_{\text{unabhängig}}=\hat{\rho}\otimes \tilde{\rho} , \quad \rho_{i,\alpha j,\beta}= \hat{\rho}_{ij} \tilde{\rho}_{\alpha\beta} .$ (5.20)

Nur bei unabhängig zusammengesetzten Systemen gibt es keine Verschränkung von Wahrscheinlichkeiten für Meßwerte am ersten und am zweiten Teilsystem. Dann kann man sich auf ein Teilsystem beschränken und es in seinen Eigenschaften getrennt vom zweiten Teilsystem untersuchen. In Abbildung (1.1) ist zum Beispiel zunächst zu prüfen, ob die Zusammenfassung von zwei Teilchen im Strahl zu einem Zweiteilchensystem nicht eine Verschränkung sichtbar macht, die bei einer Deutung, der Strahl enthalte wiederholt hergestellte Einteilchenzustände, nicht erfaßt wird.

Sind die Systeme nicht unabhängig zusammengesetzt, so sind Meßergebnisse am ersten und zweiten Teilsystem verschränkt. Im Extremfall kann man, wie bei einem Zweiteilchen-Gesamtspin-0-Zustand, aus dem Ergebnis einer Messung am ersten Teilsystem erschließen, was sich bei einer geeigneten Messung am zweiten Teilsystem ergibt.

Zu den überraschenden Eigenschaften verschränkter Systeme gehört, daß ein reiner, verschränkter Zustand $ \Psi$ gemischt erscheint, wenn man nur am ersten Teilsystem mißt. Unvollständige Messung wirkt wie Unkenntnis des zu vermessenden Systems,

$\displaystyle w_1(i,A,\Psi) <tex2html_comment_mark>120 = \sum_\alpha \vert\lang...
...u_m\otimes v_m\rangle \vert^2 =\langle \chi_i \vert\hat{\rho} \chi_i\rangle \ ,$ (5.21)

wobei $ \chi_i$ die zu $ A$ gehörigen Eigenzustände seien und $ \hat{\rho}$ die Dichtematrix

$\displaystyle \hat{\rho}_=\sum_m p_m \vert u_m\rangle \langle u_m\vert$    mit $\displaystyle \quad p_m= \lambda_m^2 \sum_\alpha \vert\langle \phi_\alpha \vert v_m\rangle \vert^2 .$ (5.22)

Diese Dichtematrix gehört nur dann zu einem reinen Zustand $ u$ des ersten Teilsystems, wenn alle Wahrscheinlichkeiten $ p_m$ bis auf eine, zum Beispiel $ p_1=1$, verschwinden. Dann ist $ \Psi=u_1\otimes v_1$ ein Produktzustand.




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