Orthonormalbasis

Die Grundgleichung (1.1) für die Wahrscheinlichkeit ist folgendermaßen zu lesen: zu Zuständen wie $\Lambda_i$ und $\Psi$ gehören Vektoren in einem Hilbertraum $\cal H$. Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum, das heißt mit irgend zwei Vektoren $\Lambda$ und $\Psi$ aus dem Hilbertraum ist auch die Summe $\Lambda + \Psi$ und jedes komplexe Vielfache $c \Psi = \Psi c , c\in \mathbbm{C}$, Vektor im Hilbertraum. Für alle Paare von Vektoren ist ein Skalarprodukt $\langle \Lambda \vert \Psi\rangle \in \mathbbm{C}$ mit folgenden Eigenschaften definiert

$$\langle \Lambda \vert \Psi\rangle^* = \langle \Psi \vert \Lambda\rangle ,$$ (1.2)

$$\langle \Lambda \vert \Psi_1c_1+\Psi_2c_2\rangle = \langle\Lambda\vert\Psi_1\rangle c_1+ \langle\Lambda\vert\Psi_2\rangle c_2\quad \forall c_1,c_2 \in \mathbbm{C} .$$ (1.3)

Das Skalarprodukt ist also linear im zweiten Argument und wegen (1.2) antilinear im ersten Argument

$$\langle c_1\Psi_1+c_2\Psi_2\vert\Lambda \rangle = c_1^*\langle \Psi_1\vert\Lambda \rangle+ c_2^*\langle\Psi_2\vert\Lambda\rangle .$$ (1.4)

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich ist positiv definit und wird verwendet, um die Länge von Vektoren zu definieren

$$0 \le \langle \Psi \vert\Psi \rangle =\norm {\Psi}^2 < \infty ,\quad \norm {\Psi} = 0 \Leftrightarrow \Psi = 0 .$$ (1.5)

Die Wahrscheinlichkeit $w(i,A,\Psi)$, mit der ein Meßapparat $A$ den $i$-ten Meßwert $a_i$ anzeigt, wenn der Zustand $\Psi$ vermessen wird, ist gemäß (1.1) das Betragsquadrat des Skalarproduktes $\langle \Lambda_i \vert \Psi \rangle$ des zu messenden Zustandes $\Psi$ mit dem zum Meßwert $a_i$ gehörenden Eigenzustand $\Lambda_i$. Man nennt das Skalarprodukt $\langle \Lambda_i \vert \Psi \rangle$ die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den $i$-ten Meßwert $a_i$.

Aus (1.1) folgt, daß die Zustände $\Lambda_i$ normiert sind und zueinander senkrecht stehen.

$$\langle \Lambda_i \vert \Lambda_j \rangle = \delta^i{}_j=\left \{... ...y}{r c l} 0 & \text{falls}& i\ne j 1 & \text{falls}& i=j \end{array} \right .$$ (1.6)

Denn falls der Eigenzustand $\Lambda_j$ vermessen wird, tritt mit Sicherheit der Meßwert $a_j$ auf, $w(i,A,\Lambda_j)= \vert\langle \Lambda_i \vert \Lambda_j \rangle\vert^2 =\delta^i{}_j$. Aus den Betragsquadraten folgen die Skalarprodukte (1.6) der $\Lambda_j$, weil nichtverschwindende Längenquadrate positiv sind.

Quantenmechanik macht über (1.1) hinaus die Annahme, daß die Eigenzustände $\Lambda_i$ eine Basis bilden. Daher läßt sich jeder Zustand $\Psi$ als komplexe Linearkombination der $\Lambda_i$ schreiben

$$\Psi=\sum_j \Lambda_j \psi_j , \quad \psi_j \in \mathbbm{C} .$$ (1.7)

Die Komponenten $\psi_i$ erhält man wegen (1.6) als Skalarprodukt mit $\Lambda_i$

$$\psi_i = \langle \Lambda_i \vert \Psi \rangle .$$ (1.8)

Die Komponenten von $\Psi$ in der Basis der Eigenzustände des Meßapparates sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die zugehörigen Meßwerte.

Ist der Zustand noch unbekannt, so können die Beträge der Komponenten, die zur Basis der Eigenzustände eines Meßapparates gehören, der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Meßwerte entnommen werden. Die Phasen dieser Komponenten müssen aus anderen Messungen bestimmt werden. So wie in klassischer Mechanik die anfängliche Lage und die anfängliche Geschwindigkeit eines Massepunktes gemessen werden, so erschließt man in der Quantenmechanik durch Messen, welcher Zustand vorliegt.