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Bellsche Ungleichung

Die revolutionäre Erkenntnis der Quantenphysik ist, daß es auch bei ideal präparierten Teilchen immer Messungen gibt, für deren Ergebnisse man nur ihre Wahrscheinlichkeit angeben kann. Wir widerlegen hier am Beispiel von Spinmessungen an Teilchenpaaren die Unterstellung, die Unfähigkeit, die Einzelergebnisse aller Messungen vorherzusagen, beruhe nur auf unvollständiger Kenntnis der Ursachen.

Diese Vorstellung untersuchen wir an Spin-$ 1/2$-Teilchen, an denen wir verschiedene Messungen bedenken, die nicht gemeinsam, sondern nur alternativ, erfolgen können.

Wenn man in Richtung $ \vec{b}$, $ \vec{b}^2=1$, den Spin eines einzelnen Spin-$ 1/2$-Teilchens mißt, das mit Spin in Richtung $ \vec{a}$, $ \vec{a}^2=1$, präpariert worden ist, dann tritt nach Grundgleichung (1.1) und wegen (2.66) der Meßwert $ \hslash/2$ mit Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle w({\vec{b}})=\vert\langle \uparrow_{\vec{b}} \vert \uparrow_{\vec...
...theta^\prime}{2}\mathrm{e}^{+\mathrm{i}(\varphi-\varphi^\prime)/2}\bigr \vert^2$ (5.25)

auf. Dabei sind $ \theta$ und $ \varphi$ die Kugelkoordinaten von $ \vec{a}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ und $ \theta^\prime$ und $ \varphi^\prime$ die Kugelkoordinaten von $ \vec{b}=(\sin\theta^\prime\cos\varphi^\prime,\sin\theta^\prime\sin\varphi^\prime,\cos\theta^\prime)$. Wegen

$\displaystyle \cos^2 \frac{\theta}{2}\cos^2 \frac{\theta^\prime}{2} + \sin^2 \f...
...}\cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta^\prime}{2}\cos \frac{\theta^\prime}{2}$    
$\displaystyle =\frac{1}{4}\Bigl ((1+\cos\theta)(1+\cos\theta^\prime)+ (1-\cos\t...
...eta^\prime) + 2 \cos (\varphi-\varphi^\prime)\sin\theta\sin\theta^\prime\Bigr )$    
$\displaystyle =\frac{1}{2}\bigl( 1 + \cos\theta\cos\theta^\prime + \cos (\varph...
...^\prime \bigr ) %= \frac{1}{2}\bigl (1 + \vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}\bigr)
$ (5.26)

ist dies $ (1+\cos\beta)/2$, wobei $ \beta$ den Winkel bezeichnet, den $ \vec{a}$ mit $ \vec{b}$ einschließt. Denn das Skalarprodukt $ \vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}=\cos\beta$ beträgt

\begin{displaymath}\begin{split}\vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}= & \sin\theta\si...
...phi-\varphi^\prime)+ \cos\theta\cos\theta^\prime . \end{split}\end{displaymath} (5.27)

Also steht bei einem Spin-$ 1/2$-Teilchen, das mit Spin in Richtung $ \vec{a}$ präpariert worden ist, der Spin bei Messung in Richtung $ \vec{b}$ mit Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle w({\vec{b}})= \frac{1}{2}(1+\vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b})=\frac{1}{2}(1+\cos\beta )$ (5.28)

nach oben. Mit der Restwahrscheinlichkeit $ 1-w(\vec{b})$ steht der Spin in Gegenrichtung $ -\vec{b}$ nach oben, das heißt in Richtung $ \vec{b}$ nach unten

$\displaystyle w(-\vec{b})= 1 - w(\vec{b}) .$ (5.29)

Zerfällt unter Bewahrung des Drehimpulses ein Teilchen ohne Spin isotrop, das heißt mit drehinvarianter Ortswellenfunktion, in jeweils ein Paar von Teilchen mit Spin $ 1/2$, so entsteht der Spin-0-Zustand (5.17)

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\vert\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow\rangle .$ (5.30)

Die Wahrscheinlichkeit $ w(\vec{\vphantom{b}a},\vec{b})$, daß bei diesem Teilchenpaar beim ersten Teilchen der Spin in Richtung $ \vec{a}$ nach oben und beim zweiten Teilchen der Spin in Richtung $ \vec{b}$ nach oben gemessen wird, beträgt

$\displaystyle w(\vec{\vphantom{b}a}, \vec{b}) =\frac{1}{2}\vert\langle \uparrow...
...eta^\prime}{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\varphi-\varphi^\prime)/2}) \Bigr \vert^2$    
$\displaystyle =\frac{1}{2}\Bigl ( \cos^2\frac{\theta}{2}\sin^2\frac{\theta^\pri...
...s\frac{\theta^\prime}{2} \sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta^\prime}{2}\Bigr )$    
$\displaystyle =\frac{1}{8}\Bigl ( (1+\cos\theta)(1-\cos\theta^\prime)+ (1-\cos\...
...eta^\prime) - 2 \cos(\varphi-\varphi^\prime) \sin\theta\sin\theta^\prime)\Bigr)$    
$\displaystyle = \frac{1}{4}\bigl (1- \cos\theta\cos\theta^\prime - \cos(\varphi-\varphi^\prime)\sin\theta\sin\theta^\prime \bigr ) .$ (5.31)

Also steht bei diesem Gesamtspin-0-Zustand mit Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle w(\vec{\vphantom{b}a},\vec{b})=\frac{1}{4}(1-\vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b})=\frac{1}{4}\bigl (1-\cos\beta\bigr )$ (5.32)

der Spin des ersten Teilchens in Richtung $ \vec{a}$ nach oben und der Spin des zweiten Teilchens in Richtung $ \vec{b}$ nach oben.

Durch Zusammenfassen der beiden möglichen Fälle, daß am zweiten Teilchen der Spin in einer Richtung $ \vec{b}$ nach oben oder unten steht, erhalten wir hieraus die Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle w_1(\vec{a})= w(\vec{\vphantom{b}a},\vec{b})+w(\vec{\vphantom{b}a},-\vec{b})=\frac{1}{2}$ (5.33)

dafür, daß beim ersten Teilchen der Spin in Richtung $ \vec{a}$ nach oben steht. Sie ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er nach unten steht, und sie ist unabhängig von $ \vec{a}$ und $ \vec{b}$. Ebenso steht beim zweiten Teilchen der Spin in jeder Richtung mit gleicher Wahrscheinlichkeit $ w_2(\vec{b})=w_2(-\vec{b})=1/2$ nach oben oder unten.

Beschränkt man sich auf die Fälle, in denen der Spin des ersten Teilchens in Richtung $ \vec{a}$ nach unten steht, so ergibt sich mit der bedingten Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle \frac{w(-\vec{\vphantom{b}a},\vec{b})}{w_1(-\vec{a})} = \frac{1}{2}\bigl ( 1+\vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}\bigr )$ (5.34)

der Wert $ +\hslash/2$ bei Messung des Spins des zweiten Teilchens in Richtung $ \vec{b}$. Dies ist dieselbe Wahrscheinlichkeit, wie sie bei (5.28) auftritt. In den Fällen, in denen die Messung des Spins in Richtung $ \vec{a}$ am ersten Teilchen der Wert $ -\hslash/2$ ergibt, ist also das zweite Teilchen wie bei (5.28) präpariert, also mit Spin in Richtung $ \vec{a}$ nach oben.

Für diesen Sachverhalt gibt es die Sprechweise, daß die Messung des Spins des einen Teilchens augenblicklich das andere Teilchen des Paares, egal wie weit es entfernt sein mag, in den Zustand mit entgegengesetztem Spin versetze. Der Zustand des Paares ,,kollabiere`` oder werde reduziert, und das Ergebnis der Messung am ersten Teilchen werde auf das zweite Teilchen übertragen oder, beeindruckender, quantenteleportiert. Die Zustandsreduktion erfolge augenblicklich und daher mit Überlichtgeschwindigkeit.

Wer von diesen Behauptungen ungerührt bleibt, stellt einfach fest, daß die Messung an einem Teilchen nichts am anderen Teilchen bewirkt. Dort steht der Spin mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach oben oder unten, egal in welche Richtung man mißt. Durch keine Messung kann man an einem Teilchen auch nur feststellen, ob am anderen Teilchen überhaupt gemessen wurde, geschweige denn, in welche Richtung und mit welchem Ergebnis.

Daß der Spin am zweiten Teilchen in allen Fällen in Richtung $ \vec{a}$ nach oben steht, in denen er beim ersten Teilchen in dieser Richtung nach unten steht, kann man erst bestätigen, wenn man beim zweiten Teilchen weiß, in welchen Fällen der Spin des ersten Teilchens in Richtung $ \vec{a}$ nach unten stand. Diese Information ist höchstens mit Lichtgeschwindigkeit zu bekommen.

Die offensichtliche Ursache für die Zusammenhänge der beiden Spinmessungen ist die gemeinsame Präparation beider Teilchen als Teilchenpaar. Sie gelingt nur, wenn beide Teilchen am selben Ort sind. Da sich die Teilchen nicht schneller als Licht bewegen, wirkt sich die Präparation in späteren Messungen nicht schneller als Licht aus.

Wenn man wiederholt eine Münze wirft und jeweils an einen Empfänger einen Brief mit dem Bild der Oberseite und an einen zweiten einen Brief mit dem Bild der Unterseite schickt, dann erhält jeder Empfänger mit gleicher Wahrscheinlichkeit Bilder der Kopf- oder Zahlseite. Jeder Empfänger weiß augenblicklich, wenn er seinen Brief öffnet, welches Bild der andere erhalten hat. Bei Kenntnis des Ergebnisses kollabiert die Wahrscheinlichkeit zur bedingten Wahrscheinlichkeit, in diesem Beispiel zu Gewißheit.

Ebenso ersetzt Zustandsreduktion bei Auftreten eines Meßwertes den vorherigen Zustand durch den bedingten Zustand, der zur bedingten Wahrscheinlichkeit derjenigen Ereignisse gehört, in denen dieser Meßwert auftritt.

Vor Öffnen des Briefes ist der Empfänger unsicher, welches Bild er enthält, aber der Inhalt ist eigentlich nicht unsicher, sondern nur unbekannt. Der Inhalt des Briefes liegt fest, ob man ihn nun öffnet oder nicht. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung (5.32) hingegen ist ausgeschlossen, daß die Ergebnisse der Spinmessungen in allen Richtungen in jedem Einzelfall vor der Messung feststehen und daß man das Ergebnis nur deshalb nicht vorher weiß, weil die jeweiligen Ursachen unbekannt und zufällig sind.

Um diese scheinbar unwiderlegbare Vorstellung auszuwerten, betrachten wir wiederholte Messungen, die wir durch $ i$, $ i =1,2, \dots, N,$ numerieren. Wir unterstellen, daß das Ergebnis der Spinmessung am ersten Teilchen in Richtung $ \vec{a}$ in jedem Versuch feststehe, und bezeichnen das Ergebnis im Versuch Nummer $ i$ mit $ \frac{\hslash}{2} a_{1 i}$, auch wenn wir es nicht kennen. In jedem Fall hat $ a_{1 i}$ entweder den Wert $ +1$ oder $ -1$. Mit $ \frac{\hslash}{2} b_{1 i}$ bezeichnen wir das Ergebnis, das sich im Versuch Nummer $ i$ ergäbe, wenn wir den Spin des ersten Teilchens in Richtung $ \vec{b}$ mäßen. Entsprechend bezeichnen wir mit $ \frac{\hslash}{2}c_{2 j}$ das Ergebnis der Spinmessung am zweiten Teilchen, wenn wir dort im Versuch mit Nummer $ j$ in Richtung $ \vec{c}$ den Spin messen.

Weil die Messungen für $ a_{1 i}$, $ b_{2 i}$ und $ c_{2 i}$ nur die Werte $ 1$ oder $ -1$ ergeben, gilt in allen Fällen die Ungleichung

$\displaystyle a_{1 i}(b_{2 i}-c_{2 i}) \le 1-b_{2 i}c_{2 i} ,$ (5.35)

denn es gibt nur den Fall $ b_{2 i}=c_{2 i}$, dann verschwinden beide Seiten, und den Fall $ b_{2 i}=-c_{2 i}$, dann hat die rechte Seite den Wert $ 2$ und die linke den Wert $ 2$ oder $ -2$.

In jedem Fall ist der Spin des ersten Teilchens dem Spin des zweiten Teilchens entgegengesetzt, denn wegen (5.34) gilt $ w(\vec{b}, -\vec{b})/w_1(\vec{b})= 1$. Es gilt also in allen Versuchen $ b_{1 i} = - b_{2 i}$. Daher besagt die Ungleichung

$\displaystyle a_{1 i}b_{2 i}- a_{1 i}c_{2 i}- b_{1 i}c_{2 i} \le 1 .$ (5.36)

Der Mittelwert $ \langle a_1 b_2\rangle $ der Produkte $ a_{1 i}b_{2 i}$ der Spinmeßwerte in $ N$ Versuchen ist die Summe der einzelnen Produkte, geteilt durch $ N$,

$\displaystyle \langle a_1 b_2\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N a_{1 i}b_{2 i} .$ (5.37)

Entsprechend erhalten wir die Mittelwerte der Meßergebnisse $ \langle a_1 c_2 \rangle $ und $ \langle b_1 c_2 \rangle $. Summieren wir die Ungleichungen (5.36), und teilen wir durch $ N$, so erhalten wir eine Bellsche Ungleichung [3] für Mittelwerte von Produkten von Spinmeßwerten

$\displaystyle \langle a_1 b_2 \rangle - \langle a_1 c_2 \rangle - \langle b_1 c_2 \rangle \le 1  .$ (5.38)

Zur Herleitung dieser Bellschen Ungleichung haben wir nur angenommen, daß für drei Richtungen, $ \vec{a}$, $ \vec{b}$ und $ \vec{c}$, für jeden Versuch Nummer $ i$ die Ergebnisse $ a_{1 i}, b_{1 i}, b_{2 i}$ und $ c_{2 i}$ real sind, daß sie also Teilcheneigenschaften sind, die nicht davon abhängen, in welcher Richtung am einen oder anderen Teilchen tatsächlich gemessen wird. In der Quantenmechanik hingegen sind, falls $ \vec{a}$ nicht parallel $ \vec{b}$ ist, die Meßwerte $ a_{1 i}$ und $ b_{1 i}$ nicht real, sie stehen nicht beide fest. Man kann sie nicht gemeinsam im selben Versuch messen, sondern kann nur $ a_{1 i}$ und $ b_{1 j}$ in verschiedenen Versuchen $ i\ne j$ bestimmen. Quantenmechanische Mittelwerte unterliegen daher keiner Bellschen Ungleichung.

Den Mittelwert von $ a_{1 i}b_{2 i}$ können wir auch ausrechnen, indem wir für jeden möglichen Wert, den dieses Produkt haben kann, nämlich $ +1$ oder $ -1$, die Häufigkeit $ N_+$ und $ N_-$ zählen, mit der er auftritt. Dann ist $ N_+ - N_- = \sum_{i=1}^N a_{1 i}b_{2 i}$ und $ \langle a_1 b_2\rangle = (N_+ - N_-)/N$.

Es ist aber, wenn $ N$ genügend groß ist, die relative Häufigkeit $ N_+/N$ die Wahrscheinlichkeit dafür, daß $ a_{1 i}b_{2 i}$ den Wert $ +1$ hat und $ N_-/N$ die Wahrscheinlichkeit für den Wert $ -1$. Die Wahrscheinlichkeit, mit der $ a_{1 i}b_{2 i}$ den Wert $ +1$ hat, ist $ w(\vec{a},\vec{b})+w(-\vec{a},-\vec{b})$, mit Wahrscheinlichkeit $ w(\vec{a},-\vec{b})+w(-\vec{a},\vec{b})$ hat das Produkt den Wert $ -1$. Demnach gehört zur quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsverteilung (5.32) der Mittelwert

$\displaystyle \langle a_1 b_2 \rangle = \frac{1}{2}(1-\vec{\vphantom{b}a}\cdot\...
...\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}) = - \vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}=- \cos \beta .$ (5.39)

Er ist also durch das Skalarprodukt der normierten Richtungsvektoren gegeben. Ebenso ist $ \langle a_1 c_2 \rangle = -  \vec{a}\cdot\vec{c}$ und $ \langle b_1 c_2 \rangle = -  \vec{b}\cdot\vec{\vphantom{b}c} $.

Als Funktion der Richtung $ \vec{c}$ wird die Differenz

$\displaystyle \langle a_1 b_2\rangle - \langle a_1 c_2\rangle - \langle b_1 c_2...
...vphantom{b}a}\cdot\vec{b}+(\vec{\vphantom{b}a}+\vec{b})\cdot\vec{\vphantom{b}c}$ (5.40)

maximal, falls $ \vec{c}$ den Winkel zwischen $ \vec{\vphantom{b}a}$ und $ \vec{b}$ halbiert und in Richtung von $ \vec{\vphantom{b}a}+\vec{b}$ zeigt. Dann hat $ (\vec{\vphantom{b}a}+\vec{b})\cdot\vec{\vphantom{b}c}$ den Wert $ \vert\vec{\vphantom{b}a}+\vec{b}\vert=\sqrt{2+2\vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}} $, und die Differenz ist

$\displaystyle \langle a_1 b_2\rangle - \langle a_1 c_2\rangle - \langle b_1 c_2...
...ec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b} + \sqrt{2 + 2 \vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}} .$ (5.41)

Für $ \vec{\vphantom{b}a}\cdot\vec{b}=-1/2$, falls der Winkel zwischen $ \vec{\vphantom{b}a}$ und $ \vec{b}$ $ 120$ Grad beträgt, wird diese Differenz maximal und hat dann den Wert $ 3/2$. Er verletzt die Bellsche Ungleichung (5.38). Quantenmechanik ist nicht verträglich mit der Unterstellung, daß in jedem Fall für jede Messung das Ergebnis festliegt und unabhängig davon ist, welche Messung tatsächlich vorgenommen wird.

Daß quantenmechanische Mittelwerte mit den experimentellen Befunden übereinstimmen [4] und nicht den Bellschen Ungleichungen genügen, ist weltbilderschütternd. Die physikalischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen können nicht durch unbekannte, zufällig unsichere Parameter verursacht sein, die im Einzelfall jedes Meßergebnis festlegen unabhängig davon, welche Messung tatsächlich durchgeführt wird. In der Quantenphysik gibt es nicht eine Ursache für jedes Meßergebnis, sondern lediglich Ursachen für Wahrscheinlichkeiten von Meßergebnissen.




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