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Meßprozeß und Zustandsreduktion

Durchläuft ein Teilchen einen Meßapparat, so bewirkt es eine Anzeige. Bedenkt man, wie dieser Vorgang quantenmechanisch zu verstehen sei, so muß man berücksichtigen, daß sich während der Messung die Anzeige ändert, daß es sich also bei den Zuständen, die sich während der Messung ändern, nicht nur um ein Folge von Teilchenzuständen, sondern um Paarzustände des Teilchens und des Apparates handelt, bei dem sich die Anzeige ändert.

Daher fassen wir das zu vermessende Teilchen mit dem Apparat $ A$ zu einem größeren System zusammen, das wir mit Apparaten $ B$ vermessen. Vor der Messung sei das Teilchen im Zustand $ \psi$ und der Apparat $ A$ im Zustand $ \phi$. Zusammen bilden sie den Paarzustand $ \psi\otimes\phi$, in dem alle Eigenschaften des Teilchens unabhängig vom Apparat und alle Eigenschaften des Apparates unabhängig vom Teilchen sind.

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\emline{145.00}{115.00}{1}{145.00}{120.25}{...
...\phi_i) \psi_i$}}
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figureMeßprozeß

Durch unitäre Zeitentwicklung im Apparat entsteht hieraus am Ausgang ein Zustand, den wir mit einer orthonormalen Produktbasis $ \Gamma_j\otimes\phi_i$ und Koeffizienten $ \psi_{ji}$ als

$\displaystyle U (\psi\otimes\phi)=\sum_{ij} (\Gamma_j\otimes\phi_i) \psi_{ji}$ (5.42)

schreiben können. Die Basis sei so gewählt, daß in den Zuständen $ \phi_i$ der Apparat mit Sicherheit den $ i$-ten Meßwert anzeigt, daß also die $ \Gamma_j\otimes\phi_i$ Eigenzustände des Apparates $ B=1\otimes\hat{A}$ sind, der die Anzeige von $ A$ abliest.

Beispielsweise denke man bei den Zuständen $ \phi_i$ an Photonen, mit denen man sehen kann, ob das Teilchen durch den $ i$-ten Ausgang von $ A$ gelaufen ist.

Ist der anfängliche Teilchenzustand ein Eigenzustand $ \Lambda_i$ des Meßapparates $ A$, so zeigt die Anzeige mit Sicherheit den $ i$-ten Wert. Also gilt für die Zeitentwicklung im Apparat

$\displaystyle U(\Lambda_i\otimes\phi)=\chi_i\otimes\phi_i ,$ (5.43)

wobei der jeweilige Teilchenzustand $ \chi_i$ normiert ist, da $ U$ unitär ist und $ \phi_i$, $ \Lambda_i$ und $ \phi$ normiert sind. Zerlegen wir den Teilchenzustand $ \psi=\sum_i\Lambda_i \langle \Lambda_i \vert\psi\rangle $ in diese Eigenbasis der $ \Lambda_i$ mit komplexen Koeffizienten $ \psi_i\in\mathbb{C}$, so erhalten wir, weil $ U$ linear ist,

$\displaystyle U (\psi\otimes\phi)=\sum_i (\chi_i\otimes\phi_i)  \langle \Lambda_i \vert\psi\rangle  .$ (5.44)

Es ist $ \psi_i=\langle \Lambda_i\vert\psi\rangle =\langle \Lambda_i\otimes\phi \vert\...
...otimes\phi\rangle =
\langle \chi_i\otimes\phi_i\vert U(\psi\otimes\phi)\rangle $ die Wahrscheinlichkeitsamplitude und $ \vert\psi_i\vert^2$ die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des $ i$-ten Meßwertes.

Die Zeitentwicklung im Meßapparat verschränkt den Teilchenzustand mit der Anzeige des Apparats.

Damit der Apparat $ A$ ein Meßapparat ist, ist nicht erforderlich, daß die $ \chi_i$ zueinander orthogonal sind. Insbesondere ist nicht erforderlich, daß es sich um eine nichtstörende (quantum non demolishion) Messung handelt, die aus jedem anfänglichen Eigenzustand $ \Lambda_i$ den Eigenzustand $ \chi_i=\Lambda_i$ zur erneuten Messung präpariert.

Viele Meßapparate präparieren nicht Eigenzustände zur erneuten Messung. Dies gilt insbesondere bei jeder Messung der Zahl von Photonen, die eine Detektorfläche innerhalb einer Nachweisdauer durchströmen: Photoschichten und Photomultiplier zählen Photonen, indem sie sie vernichten.

Falls die Zustände $ \chi_i$ zueinander orthogonal sind, kann man durch späteres Messen des Teilchens den Wert der Anzeige $ \hat{A}$ sicher bestimmen. Dann sind die Teilchenzustände und die Eigenzustände der Anzeige $ \hat{A}$ bis auf Wahl der Phasen eine Basis der Schmidtzerlegung (5.6) von $ U(\psi\otimes \phi)$.

Wenn man den Zustand, nachdem er den Apparat $ A$ durchlaufen hat, anschließend mit einem Apparat $ B=C\otimes 1$ mißt, der unempfindlich vom Apparat $ A$ ist, und dabei die Anzeige $ \hat{A}$ abliest, so gehören zu diesem kombinierten Meßapparat $ C\otimes \hat{A}$ Eigenzustände $ \Gamma_k\otimes\phi_i$. Nach Grundgleichung ergibt sich der $ k$-te Meßwert von $ C$ und die Anzeige $ i$ des Meßapparates $ A$ mit der Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle w((k,i),C\otimes \hat{A},U(\psi\otimes\phi))=\vert\langle \Gamma_...
...phi)\rangle \vert^2 = \vert\langle \Gamma_k\vert\chi_i\rangle \psi_i \vert^2 .$ (5.45)

Insbesondere ist für jede anschließende Messung $ C$ am Teilchen die bedingte Wahrscheinlichkeit, den $ k$-ten Meßwert unter der Bedingung zu erhalten, daß $ \hat{A}$ den $ i$-ten Meßwert anzeigt,

$\displaystyle w((k,i),C\otimes \hat{A},U(\psi\otimes\phi))/w(i,A,\psi)= \vert\langle \Gamma_k\vert\chi_i\rangle \vert^2 =w(k,C,\chi_i) ,$ (5.46)

als hätte der Apparat den Zustand $ \chi_i$ präpariert.

Durch keine Messung $ C$ an den Teilchen, die den $ i$-ten Meßwert ergeben haben, kann man den ursprünlichen Zustand $ \psi$ erschließen, aus dem $ \chi_i$ präpariert worden ist.

Diese Reduktion des ursprünglichen Teilchenzustandes $ \psi$ bei Auftreten der $ i$-ten Anzeige von $ A$ erfolgt nicht dynamisch durch eine geheimnisvoll unverständliche Zeitentwicklung, die von unitärer Zeitentwicklung verschieden wäre, sondern durch Beschränkung auf Messungen $ C\otimes \hat{A}$ und durch Beschränkung der Betrachtung auf die Untermenge der Ereignisse, in denen $ \hat{A}$ den $ i$-ten Wert anzeigt.

Werden alle Ausgänge des Apparates $ A$ nach der Messung zu einem neuen Strahl zusammengefaßt, so ist für jede anschließende Messung $ C$ am Teilchen die Wahrscheinlichkeit den $ k$-ten Meßwert zu erhalten, egal was $ A$ anzeigt,

$\displaystyle w(k,C,\rho)= \sum_i \vert\langle \Gamma_k\vert\chi_i\rangle \psi_i \vert^2 =\langle \Gamma_k  \vert  \rho  \Gamma_k\rangle  ,$   mit$\displaystyle \quad \rho=\sum_i \vert\psi_i\vert^2\vert\chi_i\rangle \langle \chi_i\vert  ,$ (5.47)

durch die Dichtematrix $ \rho$ gegeben, als hätte der Meßapparat $ A$ aus einem reinen Teilchenzustand $ \psi$ ein Gemisch $ \sum_i \vert\psi_i\vert^2\vert\chi_i\rangle \langle \chi_i\vert$ erzeugt. Die dazugehörige Entropie entsteht nicht durch die unitäre Zeitentwicklung, sondern durch unvollständige Messung und Verwerfen der Kenntnisse, die man über die Anzeige des Apparates $ A$ haben kann.

Für die Dekohärenz der Teilstrahlen $ (\chi_i\otimes\phi_i)\psi_i$ ist nicht entscheidend, ob der Meßapparat mit $ \hat{A}$ abgelesen wird, sondern daß die Zustände $ \chi_i$ mit Zuständen $ \phi_i$ verschränkt sind, die ein Ablesen ermöglichen.




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