Lorentzresonanz

Wir betrachten einen Hamiltonoperator mit kontinuierlichen Energien und kontinuumsnormierten Energieeigenzuständen $\Lambda_{E,p}$

$$H \Lambda_{E,p} = E \Lambda_{E,p}\quad \langle \Lambda_{E,p} \vert \Lambda_{E^\prime,p^\prime}\rangle =\delta (E-E^\prime)\delta (p-p^\prime) .$$ (7.1)

Die Variable $p$ unterscheidet energieentartete Zustände. Stellen wir Zustände $\Psi(t)$, die die Schrödingergleichung erfüllen, als Linearkombination dieser kontinuierlichen Basis dar, so hat $\Psi(t)$ folgende Form

$$\Psi(t)=\int\!\mathrm{d}E\mathrm{d}p \Lambda_{E,p} \psi(E,p)\... ...\hslash}Et} , \quad \psi(E,p)=\langle \Lambda_{E,p} \vert \Psi(0) \rangle .$$ (7.2)

Ein Meßapparat, der nachprüft, ob der normierte Anfangszustand $\Psi(0)$ vorhanden ist, findet zur Zeit $t$ diesen Zustand mit der Wahrscheinlichkeit

$$w(t)=\vert a(t)\vert^2 ,$$ (7.3)

$$a(t)=\langle \Psi(0)\vert\Psi(t)\rangle =\int\!\mathrm{d}E F(E)^2 \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Et} ,$$ (7.4)

wobei wir mit

$$F(E)^2=\int\! \mathrm{d}p \vert\langle \Lambda_{E,p} \vert \Psi(0) \rangle \vert^2$$ (7.5)

die Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnen, bei Energiemessung den Wert $E$ zu erhalten.

Diese Wahrscheinlichkeit nimmt mit der Zeit $t$ exponentiell ab, wenn es sich bei dem Zustand um eine Lorentzresonanz handelt.

$$F_{\text{Lorentz}}(E)=\bigl \vert\sqrt{\frac{\Gamma}{2\pi}} \frac{1}{(E-E_0)+\mathrm{i}\frac{\Gamma}{2}}\bigr \vert$$ (7.6)

Es sind $E_0$ die Resonanzenergie und $\Gamma\ge 0$ die Breite der Resonanzkurve.

Allerdings sind Resonanzenergie und Breite nicht als Energieerwartungswert $\langle H \rangle$ und Energieunschärfe $\Delta H$ definiert Diese Größen divergieren, weil die Funktion $F(E)$ nicht schnell genug abfällt (vergleiche Abschnitt (2.2)). Es erfüllt $\Psi(t)=\exp (-\mathrm{i}Ht/\hslash)\Psi(0)$ die integrierte Schrödingergleichung, aber $\Psi(t)$ ist zu keinem Zeitpunkt differenzierbar, $\Vert H\Psi(t) \Vert$ divergiert.

Man kann die Amplitude

$$a_{\text{Lorentz}}(t)= \frac{\Gamma}{2\pi}\int\!\mathrm{d}E \frac{\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Et}}{(E-E_0)^2+\frac{\Gamma^2}{4}}$$ (7.7)

mit dem Residuensatz auswerten, weil man für positive (negative) Zeiten den Integrationsweg in der unteren (oberen) komplexen Halbebene schließen kann, und erhält

$$a_{\text{Lorentz}}(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}E_0t}\mathrm{e}^{-\frac{\vert\Gamma t\vert}{2\hslash}} .$$ (7.8)

Es nimmt also die Wahrscheinlichkeit $w(t)$, zur Zeit $t>0$ die Lorentzresonanz noch vorzufinden, exponentiell ab.

$$w_{\text{Lorentz}}(t)=\mathrm{e}^{-t/\tau}\quad\text{ für }\quad t>0$$ (7.9)

Die Lebensdauer ist die inverse Breite, $\tau=\hslash/\Gamma$, was als Unschärferelation

$$\Delta t\Delta E\ge \hslash/2$$ (7.10)

gelesen wird. Diese Unschärferelation ist allerdings problematisch: $\Delta E$ divergiert und nicht $t$ wird gemessen sondern die Eigenschaft, zur Zeit $t$ noch die Lorentzresonanz $\Psi(0)$ zu sein.

Die Breite $\Gamma$ ist die Zerfallsrate des exponentiell zerfallenden Zustandes

$$\Gamma=- \hslash \frac{1}{w(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}w(t) .$$ (7.11)

Der Gleichung (7.4) entnimmt man, daß die Phase von $\psi(E,p)$ ohne Bedeutung ist. Dies ist verständlich, denn jede kontinuumsnormierte Basis $\Lambda^\prime_{E,p}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(E,p)}\Lambda_{E,p}$ mit beliebiger, reeller Funktion $\varphi(E,p)$ hätte ebenso gut verwendet werden können. Es gibt nämlich, anders als bei Ort und Impuls, keinen zum Hamiltonoperator konjugierten Operator $T$ mit Vertauschungsrelation $[T,H]=\mathrm{i}\hslash$. Solch ein Operator wäre in einer Energiebasis $T=\mathrm{i}\hslash\partial_E$ und würde die relativen Phasen der Basis $\Lambda_{E,p}$ fixieren.

Ebenso ist das Vorzeichen von $\Gamma$ ohne Bedeutung, wie man an (7.7) sieht. Die Zerfallsrate ist $\vert\Gamma\vert$.