Abweichungen vom exponentiellen Zerfall

Streng genommen gibt es keine Lorentzresonanz, weil jeder realistische Hamiltonoperator ein nach unten beschränktes Spektrum hat ( $\psi(E,p)=0$ für $E<E_{\text{min}}$), und weil der Energieerwartungswert endlich sein muß. Die Lorentzresonanz ist also für kleine und große Energien unrealistisch. Es gibt auch streng genommen keinen exponentiellen Zerfall.

Es gibt keine Zustände, die der differentiellen Schrödingergleichung $\mathrm{i}\hslash\partial_t\Psi=H\Psi$ genügen und die zu allen Zeiten einem exponentiellen Zerfallsgesetz genügen. Es ist nämlich $w(t)$ eine Wahrscheinlichkeit, die differenzierbar ist, wenn $\Psi(t)$ differenzierbar ist, und die zur Zeit $t=0$ maximal ist, $w(0)=1$. Daher verschwindet dann ihre Zeitableitung

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}w(t)_{\vert _{t=0}}=0$$ (7.12)

und exponentieller Zerfall ist für kleine Zeiten ummöglich.

Alle Abweichungen vom exponentiellen Zerfall beruhen darauf, daß die Zerfallsprodukte wieder den ursprünglichen Zustand aufbauen. Dies sieht man mit folgender Zerlegung der Amplitude

$$a(t+t^\prime)=\langle \Psi(0)\vert\Psi(t+t^\prime)\rangle = \lang... ...{\hslash}Ht}\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Ht^\prime}\Psi(0)\rangle .$$ (7.13)

Schiebt man zwischen die $\mathrm{e}$-Funktionen eine Zerlegung der Eins^7.1

$$\mathbbm{1}=\vert\Psi(0)\rangle \langle \Psi(0)\vert + \sum_n{} \vert\Upsilon_n\rangle \langle \Upsilon_n\vert ,$$ (7.14)

wobei die Zustände $\Upsilon_n$ den Anfangszustand $\Psi(0)$ zu einer Orthonormalbasis ergänzen und für die Zerfallsprodukte stehen, so sieht man

$$a(t+t^\prime)=a(t)a(t^\prime)+ \sum_n{} \langle \Psi(0)\vert\math... ...silon_n\vert\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Ht^\prime}\Psi(0)\rangle .$$ (7.15)

Der letzte Term ist die Amplitude für Zerfall und Wiedererzeugung des Anfangszustandes. Verschwände dieser letzte Term, so ergäbe sich die Relation $a(t+t^\prime)=a(t)a(t^\prime)$, aus der exponentieller Zerfall folgte. Da die Zerfallsprodukte den Ort des Geschehens verlassen und da dabei ihre Dichte abnimmt, sollte man bei lokalen Wechselwirkungen vermuten, daß Abweichungen vom exponentiellen Zerfall nur bei Zeitauflösungen zu beobachten sind, die klein gegen die Flugdauer sind, innerhalb derer sich die Zerfallsprodukte so verdünnen, daß die Wiedererzeugung vernachlässigbar wird.

Auch für große Zeiten muß es Abweichungen vom exponentiellen Zerfall geben, falls der zerfallende Zustand durch Wirkung des Hamiltonoperators $H$ während der Zeiten $t<0$ erzeugt worden ist. Die Forderung, daß die Schrödingergleichung auch zu negativen Zeiten gegolten hat, ist allerdings nicht zwingend: was bei Präparation und Messung geschieht, hängt vom Aufbau der Quelle und des Meßapparates ab und wird nicht unbedingt durch den Hamiltonoperator $H$ beschrieben (vergleiche Abschnitt (5.6)).

Akzeptieren wir aber (7.2) für alle Zeiten, so ist der Betrag der Amplitude $a(t)$ für positive Zeiten genau dann exponentiell abfallend und durch $C\mathrm{e}^{-t/\tau}$ mit positiven Konstanten $C$ und $\tau$ beschränkt, wenn $\vert a(t)\vert<C\mathrm{e}^{-\vert t\vert/\tau}$ zu allen Zeiten gilt. In diesem Fall ist die Fouriertransformierte

$$\tilde{a}(E)=\int\!\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{2\pi\hslash}} \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Et} a(t)$$ (7.16)

eine analytische Funktion komplexer Energien $E$ im Streifen $\vert\Im( E )\vert<\hslash/\tau$, die zudem für reelle Energien $E=E^*<E_{\text{min}}$ unterhalb der Minimalenergie verschwindet, wenn die Energie nach unten beschränkt ist. Daher muß $\tilde{a}(E)$ verschwinden. Dies steht aber im Widerspruch zu $a(t)=\int\!\frac{\mathrm{d}E}{\sqrt{2\pi\hslash}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Et} \tilde{a}(E)$ und $a(0)=1$. Daher kann der Betrag der Amplitude $a(t)$ nicht exponentiell beschränkt sein sondern muß für große Zeiten langsamer abfallen.