Goldene Regel

Ein Energieeigenzustand kann nicht zerfallen, da aus $\Psi(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Et}\Psi(0)$ für reelle Energie $E$ sich $w(t)=1$ ergibt. Herleitungen des exponentiellen Zerfallsgesetzes für einen Zustand, dem eine definierte Energie zugeschrieben wird, widersprechen sich daher selbst. Auch kann die Energie $E$ keinen negativen Imaginärteil $\Gamma/2$ haben. Dies würde zwar zu $w(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\Gamma t}{\hslash}}$ führen und wird verwendet, um zerfallende Zustände zu parametrisieren ohne die Zerfallsprodukte beschreiben zu müssen. Ein Hamiltonoperator, der die Zeitentwicklung eines zerfallenden Zustandes vollständig beschreibt, muß aber auch die Zerfallsprodukte und ihre Zeitentwicklung beschreiben. Er muß hermitesch sein, damit $\Psi(t)$ zu allen Zeiten normiert bleibt, und kann nur reelle Eigenwerte haben.

Betrachten wir einen Hilbertraum, der von einem normierten Zustand $\Upsilon$ und von dazu orthogonalen, kontinuumsnormierten Basiszuständen $\Lambda_{E,p}$ mit $E\ge E_{\text{min}}$ aufgespannt wird

$$\langle \Upsilon \vert\Upsilon \rangle = 1 ,\quad \langle \Upsi... ...ert\Lambda_{E^\prime,p^\prime} \rangle =\delta(E-E^\prime)\delta(p-p^\prime) .$$ (7.17)

Diese Basis sei der Zerlegung

$$H=H_0+H_{\text{int}}$$ (7.18)

des Hamiltonoperators angepaßt und so gewählt, daß $\Upsilon$ ein normierter $H_0$-Eigenzustand mit Eigenwert $E_0 >E_{\text{min}}$ im Kontinuum ist und daß $\Lambda_{E,p}$ zum Kontinuum von $H_0$ gehörende, verallgemeinerte Eigenzustände mit einem Entartungsindex $p$ sind

$$H_0 \Upsilon = E_0\Upsilon ,\quad H_0\Lambda_{E,p} = E \Lambda_{E,p} , \quad E \ge E_{\text{min}}.$$ (7.19)

Konkreter kann man bei $\Upsilon$ an ein angeregtes Atom denken und bei $\Lambda_{E,p}$ an die Zweiteilchenzuständen aus abgeregtem Atom und Photon. Die Energie $E$ ist kontinuierlich, weil die möglichen Energien von Photonen, $E = \hslash \omega = c\vert\vec{p}\vert$, kontinuierlich sind. Die Zweiteilchenzustände $\Lambda_{E,p}$ von Atom und Photon sind Energie-entartet, denn das Photon kann in alle möglichen Richtungen auslaufen.

Wir betrachten die Amplitude

$$\langle \Lambda_{E,p} \vert \mathrm{e}^{- \frac{\mathrm{i}}{\hslash}H t }\Upsilon \rangle$$ (7.20)

für den Übergang des normierten $H_0$-Eigenzustands $\Upsilon$ in dazu orthogonale, kontinuumsnormierte $H_0$-Eigenzustände $\Lambda_{E,p}$ in niedrigster Ordnung in der Wechselwirkung $H_{\text{int}}$ und entwickeln zu diesem Zweck $\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash} H t}$ in eine Taylorreihe in $tH_{\text{int}}$. Die Koeffizienten der Reihe entnehmen wir durch wiederholtes Differenzieren der Relation

$$\partial_\lambda \mathrm{e}^{A(\lambda) }= \int_0^1 \! \mathrm{d}z \mathrm{e}^{zA(\lambda)} \partial_\lambda A \mathrm{e}^{(1-z)A(\lambda)} .$$ (7.21)

Diese Relation beweist man durch Entwickeln beider Seiten

$$\sum_n \frac{1}{n!}\sum_{l=0}^{n-1} A^{n-l-1}(\partial_\lambda A)... ...{1}{l !}\int\! \mathrm{d}z z^k (1-z)^l A^k (\partial_\lambda A) A^l$$ (7.22)

mit der kombinatorischen Formel

$$\int_0^1\! \mathrm{d}z z^k (1-z)^l = \frac{k ! l !}{(k+l+1)!} .$$ (7.23)

Entwickeln wir mit (7.21) den Zeitentwicklungsoperator $\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash} H t}$ nach $H_{\text{int}}t$, so verschwindet die Übergangsamplitude in niedrigster Ordnung und ist bis auf Terme höherer Ordnung gegeben durch

$$\langle \Lambda_{E,p} \vert \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslas... ...{i}}{\hslash}ztE}\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}(1-z)tE_0 } + \dots .$$ (7.24)

Hierbei haben wir die $H_0$-Eigenwertgleichungen verwendet.

In dieser Ordnung wird die Wiedererzeugung von $\Upsilon$ aus den Zerfallsprodukten und die Wechselwirkung der Zerfallsprodukte nicht erfaßt.

Die $z$-Integration ergibt

$$\langle \Lambda_{E,p} \vert \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslas... ...}}{\hslash}Et} -\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}E_0t}}{E-E_0}+ \dots .$$ (7.25)

Die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit $t$ einen Zustand $\Lambda_{E,p}$ im $H_0$-Energiebereich $\Delta$ vorzufinden, ist durch das Betragsquadrat dieser Amplitude bestimmt und niedrigster Ordnung durch

$$w(\Delta,t)=\int_\Delta \! \mathrm{d}E\mathrm{d}p \vert\langle ... ...( \frac{t}{\hslash}\frac{(E-E_0)}{2}\bigr )}{\bigl ( \frac{E-E_0}{2} \bigr )^2}$$ (7.26)

gegeben. Wegen (B.3) gilt für genügend große Zeiten $t$ etwa

$$\frac{w(\Delta,t)}{t}=\frac{2\pi}{\hslash}\int\! \mathrm{d}E\math... ...ngle \Lambda_{E,p} \vert H_{\text{int}}\Upsilon\rangle \vert^2 \delta(E-E_0) .$$ (7.27)

Allerdings darf nicht der Grenzwert $t\rightarrow \infty$ genommen werden, weil sonst höhere Potenzen von $tH_{\text{int}}$ nicht mehr vernachlässigt werden können. Insbesondere muß die Zeit $t$ klein gegen die Lebensdauer des zerfallenden Zustandes bleiben: für größere Zeiten nimmt die Wahrscheinlichkeit, Zerfallsprodukte zu finden nicht mehr linear mit der Zeit zu. Für kleine Zeiten $t$, die groß genug für die Näherung (B.3) sind, deuten wir $\frac{w(\Delta,t)}{t}$ als Ableitung $-\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}$ der Wahrscheinlichkeit, den zerfallenden Zustand noch vorzufinden, und lesen die Zerfallsrate ab.

$$\Gamma_{\text{Goldene Regel}}=2\pi\int\! \mathrm{d}E\mathrm{d}p ... ...ngle \Lambda_{E,p} \vert H_{\text{int}}\Upsilon\rangle \vert^2 \delta(E-E_0)$$ (7.28)

Die Zerfallsrate setzt sich additiv aus partiellen Zerfallsraten $d\Gamma$ von verschiedenen Prozessen zusammen

$$\mathrm{d}\Gamma=2\pi \delta(E-E_0) \vert\langle \Lambda_{E,p} \vert H_{\text{int}}\Upsilon\rangle \vert^2 \mathrm{d}E\mathrm{d}p .$$ (7.29)

Bei dieser Standardherleitung der Goldenen Regel ist die Zeit $t$ genügend groß, denn kein quantenmechanisches System kann für kleine Zeiten exponentiell zerfallen (siehe Abschnitt (7.2)). Zusätzlich ist diese Zeit $t$ klein gegen die Lebensdauer $\tau$. Es ist bemerkenswert, wie gehorsam die Textbuchherleitung der Goldenen Regel von Studenten akzeptiert und von Dozenten vorgetragen wird. Die Annahmen über $t$ schließen sich im Grenzfall gegenseitig aus und Fehler, die man für mittlere Zeiten macht, die sowohl genügend groß als auch genügend klein sind, sind nicht leicht abzuschätzen.