Zerfall ins Kontinuum

Man kann die Zeitentwicklung des zerfallenden Zustandes ohne Näherungen exakt durch Integrale angeben. Die Goldene Regel ergibt sich im Grenzfall kleiner und nichtresonanter Übergangsamplituden.

Ein allgemeiner Zustand schreibt sich mit einem Entwicklungskoeffizienten $\psi_0=\langle \Upsilon\vert\Psi\rangle$ und einer Wellenfunktion $\psi(E,p)=\langle \Lambda_{E,p}\vert\Psi\rangle$ in der Basis (7.17) als Linearkombination

$$\Psi=\Upsilon \psi_0 + \int \! \mathrm{d}E\mathrm{d}p \Lambda_{E,p} \psi(E,p) , \quad \psi(E,p)=0 E<E_{\text{min}} .$$ (7.30)

Die Wahrscheinlichkeit $w_0(\Delta,\Psi)$, bei einer Messung von $\Psi$ die zu $H_0$ gehörende Energie im offenen Intervall $\Delta$ zu finden, beträgt

$$w_0(\Delta,\Psi)=\left \{ \begin{array}{l c l} \int_\Delta\! \mat... ...vert\psi(E,p)\vert^2 & \text{ falls } & E_0 \in \Delta \end{array} \right . .$$ (7.31)

Es trägt also der Anteil $\Upsilon\psi_0$ zur Wahrscheinlichkeitsdichte der Energie eine scharfe Linie bei $E_0$ bei, die schärfer als jede Detektorauflösung $\Delta$ ist und deren Fläche $\vert\psi_0\vert^2$ beträgt.

Die Wechselwirkung $H_{\text{int}}=H_{\text{int}}^\dagger$ bewirkt Übergänge vom normierten $H_0$-Eigenzustand $\Upsilon$ ins Kontinuum und umgekehrt

$$H_{\text{int}}\Upsilon = \int \! \mathrm{d}E\mathrm{d}p \Lambda_{E,p} v(E,p) ,\quad H_{\text{int}}\Lambda_{E,p}= v^*(E,p) \Upsilon ,$$ (7.32)

$$v(E,p)=\langle \Lambda_{E,p} \vert H_{\text{int}}\Upsilon\rangle .$$ (7.33)

Die Matrixelemente $\langle \Upsilon \vert H_{\text{int}}\Upsilon\rangle$ und $\langle \Lambda_{E^\prime,p^\prime} \vert H_{\text{int}}\Lambda_{E,p}\rangle$ verschwinden in unserer Rechnung. Dies ist keine wesentliche Einschränkung, wir können uns solch einen Teil der Wechselwirkung in $H_0$ absorbiert vorstellen. Ebenso verschwindet $v(E,p)=\langle \Lambda_{E,p} \vert H_{\text{int}}\Upsilon\rangle$ für $E<E_{\text{min}}$.

Der Operator $H_{\text{int}}$ ist auf $\Upsilon$ nur definiert, falls $\Vert H_{\text{int}}\Upsilon \Vert < \infty$ ist.

$$\int\! \mathrm{d}E\mathrm{d}p \vert v(E,p)\vert^2<\infty$$ (7.34)

Wie klein die Amplitude $v(E,p)$ für Übergänge ins Kontinuum auch ist, wenn sie bei einer Energie $E_1$ nicht für alle $p$ verschwindet, so gibt es keinen normierbaren $H$-Eigenzustand mit dieser Energie. Die Gleichung $(H-E_1)\Psi=0$ bestimmt nämlich die Energiewellenfunktion

$$\psi(E,p)=-\frac{v(E,p)}{E - E_1}\psi_0$$ (7.35)

und die Energie $E_1$ durch die gap-Gleichung (Energielückengleichung)

$$E_1-E_0= - \int_{E_{\text{min}}}^\infty \! \mathrm{d}E\mathrm{d}p \frac{\vert v(E,p)\vert^2}{E-E_1} .$$ (7.36)

Nur wenn $\int\! \mathrm{d}p \vert v(E_1,p)\vert^2$ verschwindet, ist $\psi(E,p)$ eine quadratintegrable Funktion.

Ist die Wechselwirkung $v(E,p)$ genügend groß, so gibt es unterhalb der kontinuierlichen Energien, dort verschwindet $v(E,p)$, einen normierbaren $H$-Eigenzustand, denn die Energielückengleichung (7.36) hat für $E_1<E_{\text{min}}$ genau eine Lösung, wenn

$$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \int_{E_{\text{min}}}^\infty\! \... ...\frac{\vert v(E,p)\vert^2}{E-E_{\text{min}}+\varepsilon} \ge E_0-E_{\text{min}}$$ (7.37)

ist. Es ist nämlich die linke Seite von (7.36) eine monoton steigende Funktion von $E_1$ und die rechte Seite fällt monoton ab. Zudem ist für stark negative $E_1$ die linke Seite von (7.36) kleiner als die rechte, für $E_1 = E_{\text{min}}$ ist die linke Seite größer als die rechte, wenn die Wechselwirkung $v(E,p)$ genügend groß ist.

Wir untersuchen nun die Zeitentwicklung des Zustandes $\Psi(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Ht}\Upsilon$, der zur Zeit $t=0$ als normierter Eigenzustand $\Upsilon$ des ungestörten Hamiltonoperators $H_0$ präpariert worden ist. Die Amplitude $a(t)$ dafür, daß bei Messung zur Zeit $t$ der Anfangszustand gefunden wird, ist das Matrixelement

$$a(t)=\langle \Upsilon\vert\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Ht}\Upsilon\rangle .$$ (7.38)

Wir nutzen den Residuensatz und stellen $\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash} H t}$ als Wegintegral über einen Weg $\Gamma$ dar, der das Spektrum von $H$ in der komplexen Ebene im Gegenuhrzeigersinn umläuft.

$$\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Ht}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i... ...nt_\Gamma \mathrm{d}z \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}tz} \frac{1}{z-H}$$ (7.39)

Die Formel kann mit dem Residuensatz für den Fall eines diskreten Spektrums $H\Lambda_n=E_n\Lambda_n$ mit $\Psi(0)=\sum_n\Lambda_n\psi_n$ leicht bestätigt werden

$$\phantom{=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \sum_n\oint_\Gamma \mathrm{d}z \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}zt}\frac{1}{z-H} \Lambda_n\psi_n=$$

$$= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \sum_n\oint_\Gamma \mathrm{d}z \mathrm... ...bda_n\psi_n = \sum_n\Lambda_n\psi_n\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}E_nt}$$

und gilt auch für kontinuierliches Spektrum.

Die negative Resolvente $(z-H)^{-1}$ kann als geometrische Reihe geschrieben werden. Es gilt nämlich für Operatoren $A$ und $V$, wenn $A$ und $A-V$ invertierbar sind,

$$(A-V)^{-1}=(A(\mathbbm{1}-A^{-1}V))^{-1}= (\mathbbm{1}-A^{-1}V)^{-1}A^{-1}=\sum_{n=0}^\infty (A^{-1}V)^n A^{-1}$$ (7.40)

auf Zuständen, auf denen die Reihe konvergiert. Wir schreiben daher

$$\frac{1}{z-H}=\frac{1}{z-H_0-H_{\text{int}}}= \sum_{n=0}^\infty\bigl ( \frac{1}{z-H_0}H_{\text{int}}\bigr )^n\frac{1}{z-H_0} .$$ (7.41)

Die Potenzen von $(z-H_0)^{-1}H_{\text{int}}$ sind auf $\Upsilon$ leicht anzuwenden, da $\Upsilon$ Eigenzustand zu $((z-H_0)^{-1}H_{\text{int}})^2$ ist. Mit der Notation

$$\vert V(E)\vert^2=\int\!\mathrm{d}p \vert v(E,p)\vert^2$$ (7.42)

gilt

$$\frac{1}{z-H_0}H_{\text{int}}\Upsilon = \int\!\mathrm{d}E\mathrm{d}p \Lambda_{E,p} \frac{v(E,p)}{z-E}$$ (7.43)

$$\bigl (\frac{1}{z-H_0}H_{\text{int}}\bigr )^2\Upsilon = \frac{1}{z-E_0}\int\! \mathrm{d}E \frac{\vert V(E)\vert^2}{z-E}\Upsilon .$$ (7.44)

Zum Matrixelement $\langle \Upsilon\vert(z-H)^{-1}\Upsilon\rangle$ tragen demnach nur die geraden Potenzen von $(z-H_0)^{-1}H_{\text{int}}$ bei.

$$\langle \Upsilon\vert \frac{1}{z-H} \Upsilon\rangle = \sum_n\bigl (\frac{1}{z-E_0} \int\!\mathrm{d}E\frac{\vert V(E)\vert^2}{z-E} \bigr )^n\frac{1}{z-E_0}$$

$$= \bigl ( z-E_0-\int\! \mathrm{d}E \frac{\vert V(E)\vert^2}{z-E}\bigr )^{-1}$$ (7.45)

Für $a(t)$ folgt dann wegen (7.38) und (7.39)

$$a(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_\Gamma\!\mathrm{d}z \mathrm{e... ...slash}zt} \frac{1}{z-E_0+\int\!\mathrm{d}E \frac{\vert V(E)\vert^2}{E-z}} .$$ (7.46)

Wir wählen den Integrationsweg $\Gamma$ im Gegenzeigersinn um das Spektrum so, daß wir mit festem Imaginärteil $\varepsilon > 0$ die Punkte $z=x + \mathrm{i}\varepsilon$ von $x=\infty$ zu $x=-\infty$ durchlaufen und danach die Punkte $z=x-\mathrm{i}\varepsilon$ von $x=-\infty$ bis $x=\infty$. Dann ist das komplexe Wegintegral die Differenz zweier Integrale über die reelle Achse.

Das Integral hängt nicht von $\varepsilon$ ab und wir werten es im Grenzfall $\varepsilon\rightarrow 0+$ aus.

$$a(t)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \frac{\mathrm{i}}{2\pi}\int... ...rt^2}{E-x-\mathrm{i}\varepsilon}}- (\varepsilon\rightarrow -\varepsilon)\bigr )$$ (7.47)

Wie in Anhang A gezeigt, hat der Nenner

$$f(x) = x+ \mathrm{i}\varepsilon -E_0+\int\!\mathrm{d}E \frac{\vert V(E)\vert^2}{E-x-\mathrm{i}\varepsilon}$$ (7.48)

für $\varepsilon\rightarrow 0+$ den Grenzwert

$$f(x)= x-E_0 + - \mspace{-15mu}\int \mathrm{d}E^\prime \frac{\vert V(E^\prime+x)\vert^2} {E^\prime} +\mathrm{i}\pi \vert V(x)\vert^2 ,$$ (7.49)

wobei $-\mspace{-15mu}\int$ das Hauptwertintegral bezeichnet.

Falls $V(x)$ genügend klein ist, so daß kein gebundener Zustand existiert, der die gap-Gleichung (7.36) löst, so verschwindet der Nenner $f$ nirgends.

Der zweite Beitrag zu $a(t)$, den man durch die Ersetzung von $\varepsilon$ durch $-\varepsilon$ erhält, ergibt den konjugiert komplexen Nenner $f^*$. Daher ist der Integrand von der Form

$$\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}tx}\bigl(\frac{1}{f}-\frac... ... )= \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}tx}\bigl(\frac{f^* - f}{ff^*}\bigr )$$ (7.50)

und $a(t)$ ist

$$a(t) = \int\!\mathrm{d}E \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Et}\vert F(E)\vert^2$$ (7.51)

$$F(E) = \frac{V(E)}{E-E_0 + - \mspace{-15mu}\int \mathrm{d}E^\prime \frac{\vert V(E^\prime+E)\vert^2} {E^\prime}+\mathrm{i}\pi \vert V(E)\vert^2} .$$ (7.52)

Der zerfallende Zustand ist durch die Ankopplung an das Kontinuum nicht länger ein Energieeigenzustand, sondern eine Resonanz ähnlich der Lorentzresonanz, denn für kleine Übergangsamplitude $V(E)$ ist $F(E)$ nahezu die in (7.6) gegebene Funktion $F_{\text{Lorentz}}(E)$. Die Abweichungen von der Lorentzresonanz führen zu Abweichungen vom exponentiellen Zerfall.

Im Nenner von $F(E)$ dominiert der Realteil

$$\Re f(E)=E-E_0 + - \mspace{-15mu}\int \mathrm{d}E^\prime\frac{\vert V(E^\prime+E)\vert^2}{E^\prime}$$ (7.53)

außer in einer kleinen Umgebung der Nullstelle $\hat{E}$ von $\Re f(E)$. Der Zähler $V(E)$ beseitigt die unphysikalischen Züge der Lorentzresonanz. Er sorgt dafür, daß die Energiewellenfunktion für $E<E_{\text{min}}$ verschwindet und verbessert das Hochenergieverhalten, so daß $H\Upsilon$ endliche Norm hat. Es existieren dann $\langle H \rangle$ und $\Delta_H$, allerdings hängen diese Größen vom Verhalten von $V(E)$ für $E\ne \hat{E}$ ab und brauchen nicht mit der Resonanzenergie und der Breite übereinstimmen.

Wenn sich in der Umgebung der Nullstelle von $\Re f(E)$ der Imaginärteil des Nenners von $F(E)$ nicht stark verändert, können wir ihn dort durch $\pi \vert V(\hat{E})\vert^2$ nähern und erhalten ungefähr

$$F(E)\approx \frac{V(\hat{E})} {(E-\hat{E})(1 + \partial_{\hat{E}}... ... V(E^\prime+\hat{E})\vert^2}{E^\prime}) +\mathrm{i}\pi \vert V(\hat{E})\vert^2}$$ (7.54)

mit der Resonanzenergie $\hat{E}$, die durch die Energielückengleichung $\Re f(\hat{E})=0$ implizit definiert ist, und der Breite

$$\Gamma=\frac{2\pi \int\! \mathrm{d}p \vert v(\hat{E},p)\vert^2}... ..., \mathrm{d}E^\prime dp \frac{\vert v(E^\prime+\hat{E},p)\vert^2}{E^\prime}} .$$ (7.55)

In niedrigster Ordnung ist dies die Goldene Regel.

$$\Gamma_{\text{Goldene Regel}} =2\pi \int\! \mathrm{d}E\mathrm{d}p... ...hat{E}) \vert\langle \Lambda_{E,p} \vert H_{\text{int}}\Upsilon\rangle \vert^2$$ (7.56)

Die Zerfallsrate eines Zustands, der durch Übergänge in ein Kontinuum von Energiezuständen zerfällt, ist das $2\pi$-fache des Integrals der Betragsquadrate der Übergangsamplitude $v(\hat{E},p)$ bei der Resonanzenergie $\hat{E}$ mal einer Deltafunktion für Energieerhaltung. Genauer zeigt Gleichung (7.52), daß der zerfallende Zustand kein Energieeigenzustand, sondern eine Resonanz ähnlich der Lorentzresonanz ist.

Diese Herleitung der Goldenen Regel zeigt, daß eine genaue Berechnung der Übergangsamplitude $\langle \Lambda_{E,p} \vert H_{\text{int}}\Upsilon\rangle$ in höherer Ordnung Störungstheorie durch eine genaue Berechnung des Zeitverhaltens des zerfallenden Zustands ergänzt werden muß. Die Goldene Regel gilt in niedrigster Ordnung der Übergangsamplitude.

Die Approximation (7.54) unterstellt nicht nur, daß $V(E)$ klein ist, sondern auch, daß $V(E)$ glatt ist und nicht selbst eine Lorentzresonanz mit Resonanzenergie $E_1$ und Breite $\Gamma_1$ ist. Sonst unterdrückt zwar in (7.52) der Nenner $f(E_1)\approx (E_1-E_0)$ den Beitrag der Resonanz bei $E_1$, wenn aber die Breite $\Gamma_1$ klein gegen $2\pi \vert V(\hat{E})\vert^2$ ist, so zerfällt zunächst der Zustand $\Upsilon$ schnell als Resonanz mit Energie $\hat{E}$ bis auf einen kleinen, längerlebigen Rest der Resonanz mit Energie $E_1$ und Breite $\Gamma_1$.