Bracket-Schreibweise

Setzen wir die Komponenten in (1.7) ein, so erhalten wir

$$\Psi=\sum_j \Lambda_j \langle \Lambda_j \vert \Psi \rangle .$$ (1.9)

Das Skalarprodukt mit irgendeinem Vektor $\Phi$ führt zu folgendem Formelbild

$$\langle \Phi\vert\Psi\rangle = \langle \Phi \vert \Bigl ( \sum_j ... ... _j \langle \Phi \vert \Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert \Psi \rangle .$$ (1.10)

Da diese Gleichung für alle $\Phi$ gilt, läßt man das Symbol ,, $\langle \Phi$`` weg und erhält die einprägsame Gleichung

$$\vert\Psi\rangle =\sum_j \vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert \Psi \rangle =\sum_j \vert\Lambda_j\rangle \psi_j .$$ (1.11)

Zerlegt man $\Psi$ im Skalarprodukt $\langle \Psi \vert \Phi \rangle$, so erhält man wegen (1.2) analog

$$\langle\Psi\vert =\sum_j \langle \Psi \vert \Lambda_j \rangle \langle\Lambda_j\vert =\sum_j \psi_j^* \langle\Lambda_j\vert .$$ (1.12)

Dirac hat den Sprachgebrauch Ket-Vektor für den Anteil $\vert\Psi\rangle$ im Skalarprodukt eingeführt und für den Anteil $\langle\Phi \vert$ den Namen Bra-Vektor. Das Skalarprodukt ist eine Klammer (englisch bracket) $\langle\Phi \vert\Psi\rangle$, die sich aus Bra- und Ket-Vektoren zusammensetzt. Die zugegebenermaßen triviale, bijektive Abbildung^1.1von Vektoren auf Ket-Vektoren $\Psi \mapsto \vert\Psi\rangle$ ist linear, diejenige auf Bra-Vektoren $\Psi \mapsto \langle \Psi\vert$ antilinear:

$$\langle c \Psi \vert = c^* \langle \Psi\vert .$$ (1.13)

Die Abbildung von Bra- auf Ket-Vektoren ist eine Konjugation $\vert\Psi\rangle ^*=\langle \Psi\vert$.