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Bracket-Schreibweise

Setzen wir die Komponenten in (1.7) ein, so erhalten wir

$\displaystyle \Psi=\sum_j \Lambda_j \langle \Lambda_j \vert \Psi \rangle  .$ (1.9)

Das Skalarprodukt mit irgendeinem Vektor $ \Phi$ führt zu folgendem Formelbild

$\displaystyle \langle \Phi\vert\Psi\rangle = \langle \Phi \vert \Bigl ( \sum_j ...
... _j \langle \Phi \vert \Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert \Psi \rangle .$ (1.10)

Da diese Gleichung für alle $ \Phi$ gilt, läßt man das Symbol ,, $   \langle \Phi $`` weg und erhält die einprägsame Gleichung

$\displaystyle \vert\Psi\rangle =\sum_j \vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert \Psi \rangle =\sum_j \vert\Lambda_j\rangle \psi_j .$ (1.11)

Zerlegt man $ \Psi$ im Skalarprodukt $ \langle \Psi \vert \Phi \rangle$, so erhält man wegen (1.2) analog

$\displaystyle \langle\Psi\vert =\sum_j \langle \Psi \vert \Lambda_j \rangle \langle\Lambda_j\vert =\sum_j \psi_j^* \langle\Lambda_j\vert .$ (1.12)

Dirac hat den Sprachgebrauch Ket-Vektor für den Anteil $ \vert\Psi\rangle$ im Skalarprodukt eingeführt und für den Anteil $ \langle\Phi \vert$ den Namen Bra-Vektor. Das Skalarprodukt ist eine Klammer (englisch bracket) $ \langle\Phi \vert\Psi\rangle$, die sich aus Bra- und Ket-Vektoren zusammensetzt. Die zugegebenermaßen triviale, bijektive Abbildung1.1von Vektoren auf Ket-Vektoren $ \Psi \mapsto \vert\Psi\rangle$ ist linear, diejenige auf Bra-Vektoren $ \Psi \mapsto \langle \Psi\vert$ antilinear:

$\displaystyle \langle c \Psi \vert = c^* \langle \Psi\vert .$ (1.13)

Die Abbildung von Bra- auf Ket-Vektoren ist eine Konjugation $ \vert\Psi\rangle ^*=\langle \Psi\vert$.




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