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Allgemeingültigkeit

Wir haben in (7.51,7.52) ganz allgemein die Amplitude dafür ausgerechnet, daß irgendein normierbarer Zustand $ \Psi(t)$, der als Wellenpaket aus kontinuierlichen Energieeigenzuständen zusammengesetzt ist, mit dem Zustand $ \Psi(0)$ übereinstimmt. Sei nämlich der normierte Anfangszustand $ \Upsilon=\Psi(0)$ aus kontinuierlichen Energieeigenzuständen des Hamiltonoperators $ H$ zusammengesetzt. Der Projektor

$\displaystyle P=\vert\Upsilon\rangle \langle \Upsilon\vert ,  P^2=P  , \mathbbm{1}=P + (\mathbbm{1}-P)  ,$ (7.57)

werde zur Definition des ungestörten Hamiltonoperators

$\displaystyle H_0=PHP+ (\mathbbm{1}-P)H(\mathbbm{1}-P)$ (7.58)

verwendet. Der Zustand $ \Upsilon=P \Upsilon$ ist ein normierter Eigenzustand zu $ H_0$

$\displaystyle H_0\Upsilon=PHP\Upsilon=\Upsilon \langle \Upsilon\vert H\Upsilon\rangle =E_0 \Upsilon$ (7.59)

mit Eigenwert $ E_0=\langle \Upsilon\vert H\Upsilon\rangle $, der im Kontinuum der Eigenwerte von $ H_0$ liegt.

Die Wechselwirkung

$\displaystyle H_{\text{int}}=H-H_0=PH(\mathbbm{1}-P)+(\mathbbm{1}-P)HP$ (7.60)

macht Übergänge von $ \Upsilon$ zu dazu orthogonalen Zuständen.

Jeder Zustand $ \Upsilon$ und jeder Hamiltonoperator $ H$ mit kontinuierlichem Spektrum erfüllen also die Annahmen, die wir in Abschnitt (7.4) gemacht haben. Durch Wahl des beliebigen Zustand $ \Upsilon$ kann die Funktion $ F(E)$ in (7.51) mit den Einschränkungen $ F(E)= 0$ für $ E<E_{\text{min}}$ und $ \int\! dE \vert F(E)\vert^2=1$ beliebig vorgegeben werden. Die Amplitude $ a(t)$ nimmt daher normalerweise nicht exponentiell ab.

Der Zustand zerfällt exponentiell, wenn die Amplitude $ v(E,p)$ für den Zerfall in das Kontinuum der Zerfallsprodukte klein ist und nicht selbst resonantes Verhalten zeigt.




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