Allgemeingültigkeit

Wir haben in (7.51,7.52) ganz allgemein die Amplitude dafür ausgerechnet, daß irgendein normierbarer Zustand $\Psi(t)$, der als Wellenpaket aus kontinuierlichen Energieeigenzuständen zusammengesetzt ist, mit dem Zustand $\Psi(0)$ übereinstimmt. Sei nämlich der normierte Anfangszustand $\Upsilon=\Psi(0)$ aus kontinuierlichen Energieeigenzuständen des Hamiltonoperators $H$ zusammengesetzt. Der Projektor

$$P=\vert\Upsilon\rangle \langle \Upsilon\vert , P^2=P , \mathbbm{1}=P + (\mathbbm{1}-P) ,$$ (7.57)

werde zur Definition des ungestörten Hamiltonoperators

$$H_0=PHP+ (\mathbbm{1}-P)H(\mathbbm{1}-P)$$ (7.58)

verwendet. Der Zustand $\Upsilon=P \Upsilon$ ist ein normierter Eigenzustand zu $H_0$

$$H_0\Upsilon=PHP\Upsilon=\Upsilon \langle \Upsilon\vert H\Upsilon\rangle =E_0 \Upsilon$$ (7.59)

mit Eigenwert $E_0=\langle \Upsilon\vert H\Upsilon\rangle$, der im Kontinuum der Eigenwerte von $H_0$ liegt.

Die Wechselwirkung

$$H_{\text{int}}=H-H_0=PH(\mathbbm{1}-P)+(\mathbbm{1}-P)HP$$ (7.60)

macht Übergänge von $\Upsilon$ zu dazu orthogonalen Zuständen.

Jeder Zustand $\Upsilon$ und jeder Hamiltonoperator $H$ mit kontinuierlichem Spektrum erfüllen also die Annahmen, die wir in Abschnitt (7.4) gemacht haben. Durch Wahl des beliebigen Zustand $\Upsilon$ kann die Funktion $F(E)$ in (7.51) mit den Einschränkungen $F(E)= 0$ für $E<E_{\text{min}}$ und $\int\! dE \vert F(E)\vert^2=1$ beliebig vorgegeben werden. Die Amplitude $a(t)$ nimmt daher normalerweise nicht exponentiell ab.

Der Zustand zerfällt exponentiell, wenn die Amplitude $v(E,p)$ für den Zerfall in das Kontinuum der Zerfallsprodukte klein ist und nicht selbst resonantes Verhalten zeigt.