Zerfall bewegter Teilchen

In relativistischer Quantenmechanik ist der Hamiltonoperator $H=c P^0$ eine Komponente des Viererimpulses. Zu Lorentztransformationen $\Lambda$, die $\Lambda^0{}_0\ge 1$ erfüllen und daher die Zeitrichtung nicht umdrehen, gehören unitäre Operatoren $U(\Lambda)$, die auf Zuständen mit ganzzahligem Spin die Lorentztransformationen darstellen.

$$U(\Lambda_2\Lambda_1)=U(\Lambda_2)U(\Lambda_1)$$ (7.61)

Für halbzahligen Spin und für Lorentztransformationen, die die Zeitrichtung spiegeln, sind die Verhältnisse verwickelter [5, Kapitel 2]: Zeitumkehr ist als antiunitäre Transformation realisiert und auf Zuständen mit halbzahligem Spin ist die Überlagerungsgruppe SL $(2,\mathbbm{C})$ der Lorentzgruppe dargestellt. Diese Komplikationen wirken sich aber hier nicht aus.

Die unitären Transformationen bewirken zeitrichtungstreue Lorentztransformationen der Viererimpulse

$$U^{-1}(\Lambda)P^m U(\Lambda)=\Lambda^m{}_nP^n .$$ (7.62)

Auf einen Viererimpulseigenzustand $\Phi_{p}$ mit $P^m\Phi_{p}=p^m\Phi_{p}$ angewendet ergibt $U(\Lambda)$ daher einen Eigenzustand mit lorentztransformiertem Viererimpuls.

$$P^mU(\Lambda)\Phi_p= U(\Lambda)\Lambda^m{}_n P^n\Phi_p= \Lambda^m{}_n p^n U(\Lambda)\Phi_p$$ (7.63)

Für zerfallende Teilchen, die sich mit Geschwindigkeit $v$ bewegen, folgt hieraus, daß ihre Lebensdauer $\tau_v$ durch Zeitdilatation vergrößert ist.

$$\tau_v=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\tau_0$$ (7.64)

Die Relation ist aus quantenmechanischen Gründen nicht mathematisch exakt. Es kann nämlich streng genommen kein Teilchen in Ruhe präpariert werden, dazu würde eine konstante, und daher nicht normierbare Ortswellenfunktion gehören. Arbeitet man, um die Lokalisationsenergie klein zu halten, mit Wellenfunktionen, die in einem großen Raumgebiet konstant sind und außerhalb des Gebiets schnell gegen Null gehen, so sieht ein lorentztransformierter Beobachter in diesem großen Raumgebiet den Zustand vor langer Zeit und nach langer Zeit. Hat man schon die Idealisierung vollzogen, daß der Zustand exponentiell zerfällt, so entspricht diesem Zerfall für einen lorentztransformierten Beobachter eine Wellenfunktion, die entgegen der Geschwindigkeitsrichtung exponentiell anwächst. Ähnlichen Schwierigkeiten begegnet man, wenn man einen zerfallenden Zustand als Impulseigenzustand und als Eigenzustand eines nichthermiteschen Hamiltonoperators beschreiben will. Hat die Energie einen negativen Imaginärteil, so hat der lorentztransformierte Zustand einen komplexen Impulseigenwert. Die entsprechende Wellenfunktion wächst dann in einer Richtung exponentiell an.

Betrachtet man Wellenpakete und arbeitet man mit normierten Zuständen, so ist die Amplitude $a(t)$ (7.4) schon für stabile Teilchen zeitabhängig. Denn Wellenpakete freier, massiver Teilchen zerfließen, weil sie aus Anteilen mit unterschiedlichen Impulsen und daher unterschiedlichen Geschwindigkeiten zusammengesetzt sind. Abgesehen davon ist die Amplitude

$$\langle \Psi_v(0) \vert\Psi_v(t)\rangle$$ (7.65)

eines mit Geschwindigkeit $v$ bewegten Zustands aber einfach deshalb zeitabhängig, weil er sich mit Geschwindigkeit $v$ bewegt und daher weniger und weniger mit dem Wellenpaket zur Zeit $t=0$ überlappt. Um für ein nahezu monochromatisches Wellenpaket die Amplitude dafür zu bestimmen, daß der Zustand noch zur Zeit $t$ vorhanden ist, muß daher $\Psi_v(t)$ mit dem um $x=vt$ verschobenen Zustand (3.25) $\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}\vec{P}\vec{v}t}\Psi_v(0)$ verglichen werden.

$$a_v(t)=\langle \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}\vec{P}\vec... ...lash}\vec{P}\vec{v}t}\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash}Ht}\Psi_v(0)\rangle$$ (7.66)

Die mit Geschwindigkeit $v$ bewegten Zustände $\Psi_v$ erhält man aus ruhenden Zuständen $\Psi_0$, sie sind Eigenzustände des räumlichen Impulses $\vec{P}\Psi_0 = 0$, durch die unitäre Transformation

$$\Psi_v = U(\Lambda(v)) \Psi_0 ,$$ (7.67)

die zur drehungsfreien Lorentztransformation $\Lambda(v)$ gehört, zum Beispiel

$$\Lambda(v)= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \be... ...frac{v}{c} \frac{v}{c} & 1 \end{pmatrix} & & & 1 & & & 1 \end{pmatrix}$$ (7.68)

für einen in $x$-Richtung bewegten Zustand. $\Psi_v$ ist kein Impulseigenzustand, wenn $\Psi_0$ instabil ist, da $\Psi_0$ kein Energieeigenzustand ist.

Setzen wir (7.67) in (7.66) ein und verwenden wir (7.62) so ergibt sich mit $u_m = (ct,-vt,0,0)$

$$\langle \Psi_0 \vert U^{-1}\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash... ...si_0 \vert \mathrm{e}^{-\frac{ir}{\hslash}u_m\Lambda^m{}_n P^n } \Psi_0 \rangle$$ (7.69)

Wegen $u_m\Lambda^m{}_n P^n = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} t cP^0$ und $cP^0 = H$ erhalten wir

$$a_v(t)= \langle \Psi_0 \vert \mathrm{e}^{-\frac{ir}{\hslash} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} t H}\Psi_0 \rangle =a_0({\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} t) .$$ (7.70)

Es zerfällt also das bewegte Teilchen langsamer als das ruhende. Nimmt die Überlebenswahrscheinlichkeit des ruhenden Teilchens exponentiell mit einer Lebensdauer $\tau$ ab, gilt also $\vert a_0(t)\vert^2=\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$, so gilt für das bewegte Teilchen $\vert a_v(t)\vert^2=\mathrm{e}^{-\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}t}{\tau}}$. Es hat also eine Lebensdauer von

$$\tau_v = \frac{\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} .$$ (7.71)

Auf die Frage, ob Beschleunigung die Lebensdauer beeinflußt oder ob quantenmechanische Teilchen ideale Uhren sind und die Weglänge der Weltlinie messen, gibt es keine universelle Antwort. Man muß erwarten, daß die Art der Beschleunigung wesentlich ist. So greift zum Beispiel ein Magnetfeld in die Energieverhältnisse von atomaren Niveaus ein und Beschleunigung in einem Magnetfeld ändert den Gang von Uhren, die Zeit mit atomaren Übergängen messen. Vergegenwärtigt man sich, daß der Begriff Eigenzeit von der Lokalisation der Uhr auf eine Weltlinie Gebrauch macht, daß solch eine Lokalisation zu verschiedenen Zeiten aber im Widerspruch zur Quantenmechanik steht, erkennt man, daß schon die Frage, ob quantenmechanische Uhren die Weglänge längs einer Weltlinie messen, problematisch ist.