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Wahrscheinlichkeitstreue und unitäre Abbildungen

Da die Wahrscheinlichkeit $ w(i,O,\Psi)$ dafür, daß der $ i$-te Meßwert $ a_i$ auftritt, wenn der Zustand $ \Psi\sim \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\Psi$ mit dem Apparat $ O$ vermessen wird, durch (1.1)

$\displaystyle w(i,O,\psi) = \vert\langle \Lambda_i \vert \Psi \rangle \vert^2 ,\quad O \Lambda_i = a_i \Lambda_i ,$ (8.1)

gegeben ist, läßt jede unitäre Abbildung $ U$, $ U^\dagger=U^{-1}$, der Hilbertraumvektoren $ \Psi$ und $ \Lambda_i$ auf $ U\Psi$ und $ U\Lambda_i$ sowie der Operatoren auf $ UOU^{-1}$ alle Wahrscheinlichkeiten invariant, denn alle Skalarprodukte und Eigenwertgleichungen bleiben ungeändert

$\displaystyle \langle U \Lambda \vert U \Psi \rangle = \langle \Lambda \vert \Psi \rangle  .$ (8.2)

Ebenso bleiben alle Wahrscheinlichkeiten durch jede antiunitäre Abbildung $ A$ erhalten, das heißt, durch jede invertierbare Abbildung des Hilbertraumes, die

$\displaystyle \langle A \Lambda \vert A \Psi \rangle = \langle \Psi \vert \Lambda \rangle \quad \forall \Lambda\; ,  \Psi$ (8.3)

erfüllt. Da das Skalarprodukt im linken Argument antilinear ist,

$\displaystyle \langle A \Lambda \vert A a \Psi \rangle = \langle a \Psi \vert \...
...A \Lambda \vert A \Psi \rangle = \langle A \Lambda \vert a^* A \Psi \rangle  ,$ (8.4)

ist $ A$ nicht linear, sondern antilinear,

$\displaystyle A (a \Psi) = a^* A \Psi ,\quad A(\Psi + \Lambda) = (A\Psi)+(A\Lambda) .$ (8.5)

Das Wigner-Theorem besagt: Zu jeder invertierbaren Abbildung $ T$ von Zuständen auf Zustände, also von Strahlen im Hilbertraum $ \Psi\sim \lambda \Psi$, $ \lambda\in \mathbb{C}-\{0\},$ auf Strahlen

$\displaystyle \Psi \mapsto T\Psi ,\quad \lambda \Psi \mapsto \hat{\lambda} T\Psi ,$ (8.6)

die alle Wahrscheinlichkeiten erhält,

$\displaystyle \frac{\vert\langle T\Psi \vert T \chi \rangle \vert^2}{\langle T\...
...rt \Psi\rangle \langle \chi \vert \chi \rangle } \quad \forall  \Psi, \chi ,$ (8.7)

gehört (falls der Hilbertraum mindestens dreidimensional ist) eine unitäre Abbildung $ U$ oder eine antiunitäre Abbildung $ A$ des Hilbertraumes. Dabei ist $ U$ oder $ A$ durch $ T$ bis auf eine Phase, $ U^\prime = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}U$ oder $ A^\prime = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}A$, eindeutig festgelegt.

Man beachte, daß $ T$ eine Selbstabbildung der Menge der Strahlen ist, während $ U$ oder $ A$ eine Selbstabbildung des Hilbertraums ist.

Beim folgenden Beweis des Wigner-Theorems wählen wir jeweils normierte Repräsentanten der Strahlen, $ \langle \Psi \vert \Psi \rangle = \langle T\Psi \vert T\Psi \rangle =1 $. Wir betrachten eine Orthonormalbasis $ \chi_l$. Die Strahlen $ T\chi_l=\chi^\prime_l\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_l}$ definieren, bis auf die Phasen $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_l}$ eindeutig, eine Orthonormalbasis. Denn aus den Beträgen der Skalarprodukte $ \vert\langle \chi^\prime_k \vert \chi^\prime_l\rangle \vert =\vert\langle \chi_k \vert \chi_l\rangle \vert=\delta^k{}_l$ können die Skalarprodukte

$\displaystyle \langle \chi^\prime_k \vert \chi^\prime_l\rangle = \delta^k{}_l$ (8.8)

eindeutig abgelesen werden, da $ z=0$ aus $ \vert z\vert= 0$ folgt und sich, weil Längenquadrate positiv sind, $ \langle \chi^\prime_k \vert \chi^\prime_k\rangle =1$ aus $ \vert\langle \chi^\prime_k \vert \chi^\prime_k\rangle \vert=1$ ergibt.

Weil $ T$ invertierbar ist, sind die Vektoren $ \chi^\prime_k$ nicht nur ein Orthonormalsystem, sondern eine Basis. Anderenfalls gäbe es einen Vektor $ \Psi^\prime$, der senkrecht auf allen $ \chi^\prime_k$ stünde, und ein Urbild hätte, $ \Psi^\prime=T\Psi$. Dann verschwänden aber alle $ \vert\langle \Psi \vert \chi_k\rangle \vert =
\vert\langle \Psi^\prime \vert \chi^\prime_k\rangle \vert =0 $, und die $ \chi_k$ wären keine Basis.

Für $ k=2,3,\dots $, legen wir die Phasen von $ \chi^\prime_k$ relativ zu $ \chi^\prime_1$ durch das Transformierte von $ \Upsilon_k = (\chi_1+\chi_k)/\sqrt{2}$ fest. Die Komponenten $ c_{lk}$ von $ T\Upsilon_k$ sind durch

$\displaystyle T \Upsilon_k = \Upsilon^\prime_k = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta_k}\sum_l \chi^\prime_l c_{lk}$ (8.9)

bis auf Phasen $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta_k}$ eindeutig bestimmt. Insbesondere ist für $ k\ne l\ne 1$

$\displaystyle \vert\langle \chi^\prime_k\vert\Upsilon^\prime_l \rangle \vert =\vert\langle \chi_k\vert\Upsilon_l \rangle \vert = 0$ (8.10)

und

\begin{equation*}\begin{aligned}\vert c_{1k}\vert=\vert\langle \chi^\prime_1\ver...
...vert\Upsilon_k \rangle \vert =\frac{1}{\sqrt{2}} , \end{aligned}\end{equation*}

also

$\displaystyle \Upsilon^\prime_k = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta_k}}{\sqrt{2...
...thrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_1}+ \chi^\prime_k \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_k}) .$ (8.12)

Wir wählen die Phasen der Basis $ \chi^\prime_1,\chi^\prime_2,\dots$ so, daß

$\displaystyle \Upsilon^\prime_k = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta_k}}{\sqrt{2}}(\chi^\prime_1 + \chi^\prime_k )$ (8.13)

gilt. Diese Wahl läßt eine gemeinsame Phase aller $ \chi^\prime_k$, $ k=1,2,\dots$, unbestimmt.

Ein beliebiger Strahl $ \Psi=\sum_k \chi_k \psi_k$ wird von $ T$ auf einen Strahl $ \Psi^\prime=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}\sum_k \chi^\prime_k \psi^\prime_k$ abgebildet. Hierbei sind die Beträge der Komponenten $ \psi_k$ und $ \psi^\prime_k$ gleich, denn

$\displaystyle \vert\psi_k\vert=\vert\langle \chi_k \vert \Psi \rangle \vert = \...
...ngle \chi^\prime_k \vert \Psi^\prime \rangle \vert = \vert\psi^\prime_k\vert .$ (8.14)

Weiter gilt

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\psi_1 + \psi_k\vert= \vert\langle \Upsil...
...me \rangle \vert= \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\psi^\prime_1 + \psi^\prime_k\vert .$ (8.15)

Wir untersuchen spezieller den Fall $ \psi_1\ne 0$ und multiplizieren mit $ \sqrt{2}/\vert\psi_1\vert=\sqrt{2}/\vert\psi^\prime_1\vert$

$\displaystyle \vert 1+a\vert = \vert 1+a^\prime\vert ,\quad \vert a\vert^2=\vert a^\prime\vert^2 ,$   wobei$\displaystyle \quad a=\frac{\psi_k}{\psi_1} ,\quad a^\prime=\frac{\psi^\prime_k}{\psi^\prime_1} .$ (8.16)

Wegen $ \vert 1+a\vert^2=1+\vert a\vert^2+2\Re a$ besagt dies zusammen mit $ \vert a\vert^2=\vert a^\prime\vert^2$

$\displaystyle \Re a = \Re a^\prime ,$   und$\displaystyle \quad ( \Im a = \Im a^\prime$   oder$\displaystyle \quad \Im a = -\Im a^\prime ) .$ (8.17)

Für jedes $ k$ gilt also, falls $ \psi_1\ne 0$,

$\displaystyle \frac{\psi_k}{\psi_1}=\frac{\psi^\prime_k}{\psi^\prime_1}$   oder$\displaystyle \quad \frac{\psi_k}{\psi_1}=\frac{\psi^{\prime *}_k}{\psi^{\prime *}_1} .$ (8.18)

Gruppieren wir die beiden Fälle, so gilt insgesamt

$\displaystyle T\Psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}\Bigl( \sideset{}{'}\sum_k \chi...
...psi_1} + \sideset{}{''}\sum_l \chi^\prime_l \frac{\psi^*_l}{\psi^*_1}\Bigr ) .$ (8.19)

Dabei erstrecken sich die Summen über diejenigen Werte von $ k$ oder $ l$, für die die eine oder andere Alternative gilt.

Tatsächlich kann aber für alle $ k$ nur eine der Alternative gelten, wenn sie sich unterscheiden. Gäbe es nämlich ein Paar $ k$ und $ l$ mit

$\displaystyle \frac{\psi^\prime_k}{\psi^\prime_1}=\frac{\psi_k}{\psi_1}\ne\frac{\psi^{*}_k}{\psi^{*}_1}$   und$\displaystyle \quad \frac{\psi^{\prime}_l}{\psi^{\prime}_1}=\frac{\psi^{*}_l}{\psi^{*}_1}\ne\frac{\psi_l}{\psi_1} ,$ (8.20)

dann wäre der Betrag des Skalarproduktes mit

$\displaystyle \phi=\frac{1}{\sqrt{3}}(\chi_1+\chi_k+\chi_l)$ (8.21)

nicht invariant unter $ T$. Gemäß (8.19) wird $ \phi$ von $ T$ auf $ \phi^\prime=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma}}{\sqrt{3}}(\chi^\prime_1+\chi^\prime_k+\chi^\prime_l)$ abgebildet. Aus

$\displaystyle \sqrt{3}\vert\langle \phi \vert \Psi\rangle \vert = \vert\psi_1+\...
...Psi^\prime\rangle \vert = \vert\psi^\prime_1+\psi^\prime_k + \psi^\prime_l\vert$ (8.22)

ergäbe sich nach Ausklammern von $ \vert\psi_1\vert=\vert\psi^\prime_1\vert$

$\displaystyle \abs {1+a+b}^2 = \vert 1+a+b^*\vert^2 ,$   wobei$\displaystyle \quad a=\frac{\psi_k}{\psi_1}\ne a^*$   und$\displaystyle \quad b=\frac{\psi_l}{\psi_1}\ne b^* .$ (8.23)

Ausmultiplizieren ergibt

$\displaystyle 1 + \vert a\vert^2 + \vert b\vert^2 + 2 \Re a + 2 \Re b + 2 \Re (ab^*)= 1 + \vert a\vert^2 + \vert b\vert^2 + 2 \Re a + 2 \Re b^* + 2 \Re (ab) ,$ (8.24)

das heißt

$\displaystyle \Re (ab^*)=\Re(ab) \Leftrightarrow  Re a \Re b + \Im a \Im b =  Re a \Re b - \Im a \Im b  \Leftrightarrow \Im a \Im b = 0$ (8.25)

im Widerspruch zur Annahme $ a\ne a^*$ und $ b\ne b^*$.

Es gilt also für jedes $ \Psi$

$\displaystyle T\Psi = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}\sum_k \chi^\prime_k\psi_k$   oder$\displaystyle \quad T\Psi = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta^\prime}\sum_k \chi^\prime_k\psi^*_k .$ (8.26)

Von beiden Alternativen muß bei allen Strahlen $ \Lambda_k=\frac{1}{\sqrt{2}}(\chi_1+\mathrm{i}\chi_k)$, $ k=2,3,\dots $, dieselbe realisiert sein, sonst gäbe es ein $ k$ und ein $ l$ mit

$\displaystyle T\Lambda_k=\frac{1}{\sqrt{2}}(\chi^\prime_1 + \mathrm{i}\chi^\pri...
...\quad T\Lambda_l=\frac{1}{\sqrt{2}}(\chi^\prime_1 - \mathrm{i}\chi^\prime_l) .$ (8.27)

Der Strahl $ \Gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}(\chi_1 + \mathrm{i}\chi_k+ \mathrm{i}\chi_l)$ wird auf $ \Gamma^\prime=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma}}{\sqrt{3}}(\chi^\prime_1 + \mathrm{i}\chi^\prime_k+ \mathrm{i}\chi^\prime_l)$ abgebildet oder auf $ \Gamma^\prime=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma}}{\sqrt{3}}(\chi^\prime_1 - \mathrm{i}\chi^\prime_k- \mathrm{i}\chi^\prime_l)$. Im ersten Fall ist der Betrag des Skalarproduktes mit $ \Lambda_l$ nicht invariant,

$\displaystyle \sqrt{6}\vert\langle \Gamma \vert \Lambda_l\rangle \vert= \vert\l...
...rm{i}\chi^\prime_l \vert \chi^\prime_1 - \mathrm{i}\chi^\prime_l\rangle \vert=0$ (8.28)

im zweiten Fall der Betrag des Skalarproduktes mit $ \Lambda_k$. In jedem Fall müssen $ \Gamma$ und alle $ \Lambda_k$ linear oder antilinear transformieren.

Dann aber müssen alle Strahlen $ \Psi$ genauso linear oder antilinear transformieren wie die $ \Lambda_k$. Denn gäbe es ein $ \Psi$ mit $ \Psi^\prime=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\psi^\prime_1\sum_l\chi^\prime_l (\frac{\psi_l}{\psi_1})^*$ mit einem $ \frac{\psi_l}{\psi_1}\ne(\frac{\psi_l}{\psi_1})^*$, während $ \Lambda^\prime_l=\frac{1}{\sqrt{2}}(\chi^\prime_1+\mathrm{i}\chi^\prime_l)$ gilt, dann ergäbe sich

$\displaystyle \sqrt{2}\vert\langle \Lambda_l \vert \Psi \rangle \vert = \vert\p...
...rt = \vert\psi^\prime_1\vert\vert 1-\mathrm{i}(\frac{\psi_l}{\psi_1})^*\vert ,$ (8.29)

also $ \vert 1+a\vert^2=\vert 1-a^*\vert^2$ mit $ a=-\mathrm{i}\psi_l/\psi_1$, und demnach $ 1 + \vert a\vert^2+ 2 \Re a = 1 + \vert a\vert^2 - 2 \Re a$, also $ 0=\Re a =\Im (\psi_l/\psi_1)$ im Widerspruch zur Annahme $ (\frac{\psi_l}{\psi_1})^*\ne \frac{\psi_l}{\psi_1}$.

Ebenso untersucht man die verbleibenden Fälle mit $ \psi_1 = 0$.

Wir haben damit das Wigner-Theorem bewiesen: Zu jeder invertierbaren, wahrscheinlichkeitstreuen Abbildung von Strahlen auf Strahlen gehört eine unitäre Abbildung $ U$ oder eine antiunitäre Abbildung $ A$ von Hilbertraumvektoren,

oder\begin{equation*}\quad \begin{aligned}\Psi =\sum_k \chi_k \psi_k &\mapsto U\Psi ...
..._k &\mapsto A\Psi =\sum_k \chi^\prime_k \psi^*_k . \end{aligned}\end{equation*}

Die Selbstabbildung des Hilbertraumes, $ U$ oder $ A$, ist bis auf eine gemeiname Phase aller $ \chi^\prime_k$ eindeutig durch die wahrscheinlichkeitstreue Selbstabbildung $ T$ des Zustandsraumes bestimmt.

Es ist $ U$ linear, $ U(a\Psi + b \Lambda)=a(U\psi)+b(U\Lambda) $, und unitär, $ \langle U \Lambda \vert U \Psi\rangle = \langle \Lambda \vert \Psi\rangle $, während $ A$ antilinear, $ A(a\Psi + b \Lambda)=a^*(A\psi)+b^*(A\Lambda) $, und antiunitär ist, $ \langle A \Lambda \vert A \Psi\rangle = \sum_k \Lambda_k \psi^*_k= \langle \Psi \vert \Lambda \rangle  $.

Da $ A^2$ linear und unitär ist, gehören zu Transformationen $ T$, die sich als Quadrat $ T=T^{\prime 2}$ schreiben lassen, unitäre Operatoren $ U$ im Hilbertraum, denn auch wenn $ T^\prime$ antiunitär realisiert wäre, wäre das Quadrat dieser Realisierung unitär. Insbesondere gehören zu allen Transformationen, die sich wie Translationen und Drehungen durch wiederholtes Anwenden infinitesimaler Transformationen erzeugen lassen, wenn sie alle Wahrscheinlichkeiten invariant lassen, unitäre Operatoren im Hilbertraum.

In endlichdimensionalen Räumen hat jede lineare Abbildung einen Eigenvektor. Da die Transformation $ A^2$ unitär ist, haben ihre Eigenwerte den Betrag $ 1$ und ein Eigenvektor erfüllt $ A^2 \hat{\chi}=\mathrm{e}^{2 \mathrm{i}\alpha}\hat{\chi}$.

Wenn $ A^2\hat{\chi}=\hat{\chi}$ ist, so wird $ \hat{\chi} +A \hat{\chi}$ auf sich abgebildet. Falls zudem $ A\hat{\chi}=-\hat{\chi}$ ist, definieren wir den Hilbertraumvektor als $ \chi=\mathrm{i}\hat{\chi}$, falls nicht als $ \chi = \hat{\chi} +A \hat{\chi} $. Er ist nicht Null und wird von $ A$ invariant gelassen

$\displaystyle A \chi= \chi .$ (8.31)

Wenn der Eigenwert $ \mathrm{e}^{2 \mathrm{i}\alpha}$ nicht $ 1$ ist, dann bezeichen wir $ A\hat{\chi}$ als $ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\bar{\chi}$, und $ A$ wirkt wegen $ A^2 \hat{\chi}=\mathrm{e}^{2 \mathrm{i}\alpha}\hat{\chi}$ auf diese Zustände durch

$\displaystyle A\hat{\chi} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\bar{\chi} ,\quad A \bar{\chi}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\hat{\chi} .$ (8.32)

Der Zustand $ \hat{\chi}$ steht senkrecht auf $ \bar{\chi}$, denn $ A$ ist antiunitär, $ \langle \hat{\chi} \vert A \hat{\chi}\rangle = \langle A (A \hat{\chi}) \vert A \hat{\chi}\rangle $, und wegen $ A^2 \hat{\chi}=\mathrm{e}^{2 \mathrm{i}\alpha}\hat{\chi}$ folgt $ (1 -\mathrm{e}^{-2 \mathrm{i}\alpha}) \langle \hat{\chi} \vert A \hat{\chi} \rangle =0$. Zudem haben $ \hat{\chi}$ und $ \bar{\chi}$ dieselbe Norm, $ \langle \hat{\chi} \vert \hat{\chi} \rangle =
\langle A\hat{\chi} \vert A \hat{\chi}\rangle $.

Der Unterraum der Vektoren $ \Lambda$, die senkrecht auf $ \chi$ oder $ \hat{\chi}$ und $ \bar{\chi}$ stehen, wird durch $ A$ auf sich abgebildet, da $ A$ antiunitär ist,

\begin{equation*}\begin{aligned}\langle \chi \vert \Lambda \rangle = 0  \Leftri...
...gle A\Lambda \vert \hat{\chi} \rangle = 0\bigr ) . \end{aligned}\end{equation*}

Da in diesem Unterraum wiederum ein Eigenzustand zu $ A^2$ existiert, auf dem $ A$ durch (8.31) oder (8.32) wirkt, finden wir so durch vollständige Induktion eine Orthonormalbasis, $ \chi_k, \hat{\chi}_i, \bar{\chi}_i$, in der $ A$ auf Singuletts $ \chi_k$ oder auf Dubletts $ \hat{\chi}_i,  \bar{\chi}_i$ wirkt. Auf einen beliebigen Zustand $ \Psi$ mit Komponenten $ \psi_k, \hat{\psi}_i, \bar{\psi}_i$ wirkt $ A$ als

$\displaystyle A: \Psi = \sum_k \chi_k\psi_k + \sum_i \bigl (\hat{\chi}_i \hat{\...
...si}^*_i + \bar{\chi}_i\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha_i} \hat{\psi}^*_i\bigr ) .$ (8.34)

Mit den entsprechenden Überlegungen zeigt man, daß in endlichdimensionalen Räumen die Eigenvektoren $ \chi_k$ jeder unitäre Abbildung $ U$, $ U\chi_k=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_k}\chi_k$, als Orthonormalbasis gewählt werden können und daß $ U$ folgendermaßen wirkt

$\displaystyle U: \Psi = \sum_k \chi_k\psi_k \mapsto \sum_k \chi_k\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha_k} \psi_k .$ (8.35)




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