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Nichtlineare Schrödingergleichung

Nichtlineare Zeitentwicklung verletzt den zweiten Hauptssatz der Thermodynamik, daß die Entropie eines abgeschlossenen Systems im Laufe der Zeit in keinem Fall abnimmt.

Dies folgt durch Betrachtung von Gemischen $ \rho$ zweier normierter Zustände, $ \vert u\rangle $ und $ \vert v\rangle $,

$\displaystyle \rho=\frac{1}{2}\vert u\rangle \langle u\vert+\frac{1}{2}\vert v\rangle \langle v\vert$ (8.36)

die nicht notwendig senkrecht aufeinander stehen.

Da $ 2\rho$ den Vektor $ \vert u\rangle $ auf $ 2\rho \vert u\rangle = \vert u\rangle 1 + \vert v\rangle \langle v\vert u\rangle $ und $ \vert v\rangle $ auf $ 2\rho \vert v\rangle = \vert u\rangle \langle u\vert v\rangle + \vert v\rangle 1 $ abbildet, gehört zu $ \rho$ in dieser Basis des von $ \vert u\rangle $ und $ \vert v\rangle $ aufgespannten Unterraumes die Matrix

$\displaystyle \rho=\frac{1}{2} \begin{pmatrix}1 & \langle u\vert v\rangle \ \langle v\vert u\rangle &1 \end{pmatrix}$ (8.37)

mit den Eigenwerten $ \rho_\pm = (1\pm a)/2$, $ a = \vert\langle u\vert v\rangle \vert$, $ 0\le a\le 1$.

Die Entropie (6.5) dieses Gemisches, $ S=-\frac{1}{2}\bigl((1+a)\ln(1+a)+(1-a)\ln(1-a)-2\ln2\bigr)$, ist maximal, wenn $ \vert u\rangle $ senkrecht auf $ \vert v\rangle $ steht, $ a=0$, und nimmt monoton auf Null ab, wenn $ a$ auf Eins anwächst. Damit die Entropie mit fortlaufender Zeit $ t > t^\prime$ in keinem Fall abnimmt, muß also für jedes Paar von Zuständen zur Zeit $ t$ und $ t^\prime$ die Ungleichung

$\displaystyle \vert\langle u(t) \vert v(t) \rangle \vert \le \vert\langle u(t^\prime) \vert v(t^\prime) \rangle \vert$ (8.38)

gelten. Insbesondere müssen Paare aufeinander senkrechter Zustände im Laufe der Zeit senkrecht bleiben, und jede Orthonormalbasis $ \Lambda_i(t^\prime)$ wird eine Orthonormalbasis $ \Lambda_i(t)$.

Aber dann erzwingt die Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit (1.28), daß sich kein Betrag eines Skalarproduktes mit der Zeit ändert. Denn zerlegen wir den Zustand $ v(t^\prime)$ in eine Orthonormalbasis $ \Lambda_i(t^\prime)$ mit $ \Lambda_1(t^\prime)=u(t^\prime)$ und $ v(t)$ in die Basis $ \Lambda_i(t)$, die sich daraus im Laufe der Zeit entwickelt, so gilt

$\displaystyle 1=\sum_i \vert\langle \Lambda_i(t) \vert v(t)\rangle \vert^2 \le \sum_i \vert\langle \Lambda_i(t^\prime) \vert v(t^\prime)\rangle \vert^2=1 .$ (8.39)

Da keiner der Summanden zunimmt und die Summe gleich bleibt, bleibt jeder Term ungeändert, insbesondere ist $ \vert\langle u(t) \vert v(t) \rangle \vert = \vert\langle u(t^\prime) \vert v(t^\prime) \rangle \vert$.

Demnach ist, wenn die Entropie (6.5) im Laufe der Zeit in keinem Fall abnimmt, die Zeitentwicklung eine wahrscheinlichkeitstreue Abbildung (8.7) von Strahlen des Hilbertraumes, zu der nach Wignertheorem eine unitäre oder antiunitäre Abbildung des Hilbertraumes gehört. Da das Produkt zweier antiunitärer Abbildungen unitär ist und sich jede Zeitentwicklung als hintereinander folgende Entwicklungen in Teilzeiten schreiben läßt, ist Zeitentwicklung unitär und die Schrödingergleichung linear.

Dennoch wird die Zeitentwicklung von beispielsweise einem geladenen Teilchen, das in leitenden Flächen seine Spiegeladung erzeugt, zutreffend von einer nichtlinearen Schrödingergleichung beschrieben, in der die influenzierte Ladung durch die Wellenfunktion des Teilchens ausgedrückt ist. Die Entropie eines Gemisches solcher geladenen Teilchen darf durchaus abnehmen, nur nicht die Entropie des abgeschlossenen Gesamtsystems, das auch die Spiegelladungen umfaßt. Die Schrödingergleichung des Gesamtsystems ist linear.




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