Nächste Seite: Basiszustände und Wellenfunktionen Aufwärts: Relativistische Quantenmechanik Vorherige Seite: Relativistische Quantenmechanik   Inhalt   Index

Poincaré- und Lorentztransformationen

Poincaré-Transformationen $ T_{\Lambda,a}$ sind linear inhomogene Transformationen der Raumzeit

$\displaystyle T_{\Lambda,a}: \left\{ \begin{array}{c c c} {\mathbb{R}^4}& \righ...
...& {\mathbb{R}^4} x &\mapsto & x^\prime= \Lambda x + a \end{array} \right . .$ (9.1)

Dabei können $ x^\prime$, $ x$ und $ a=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ als Spaltenvektoren gelesen werden, die wir im laufenden Text aber als Zeilenvektoren schreiben, und $ \Lambda$ als $ 4\times 4$ Matrix. Der Vierervektor $ a$ bewirkt eine Verschiebung oder Translation, $ \Lambda$ ist definitionsgemäß eine Lorentztransformation, also eine Transformation, die Skalarprodukte

$\displaystyle u \cdot v = u^0 v^0 - u^1 v^1 - u^2 v^2 - u^3 v^3$ (9.2)

invariant läßt

$\displaystyle (\Lambda u) \cdot (\Lambda v) = u \cdot v ,\quad \forall u, v .$ (9.3)

Weil das Skalarprodukt in Matrixschreibweise die Form

$\displaystyle u \cdot v = u^T \eta v$ (9.4)

hat, wobei $ \eta$ die Matrix

$\displaystyle \eta= \begin{pmatrix}1 & & & & -1  & & -1  & & & -1 \end{pmatrix}$ (9.5)

ist, erfüllen Lorentztransformationen die Matrixgleichung

$\displaystyle \Lambda^T \eta \Lambda = \eta .$ (9.6)

Zum Beispiel ist in einer Zerlegung in $ (1+3)\times (1+3)$-Blöcke die drehungsfreie Lorentztransformation $ L_{\vec{v}}$, die die durch $ s$ parametrisierte Weltlinie $ \Gamma: s \mapsto x(s) = ( s, 0, 0, 0)$ eines im Ursprung ruhenden Teilchens auf die Weltlinie $ \Gamma^\prime: s \mapsto x^\prime(s) =
\frac{s}{\sqrt{1-v^2}}( 1, \vec{v})$ eines Teilchens abbildet, das sich mit Geschwindigkeit $ \vec{v}$, $ \vec{v}^2<1$, bewegt:

$\displaystyle L_{\vec{v}} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}& \frac{\vec{v...
...iptscriptstyle {3\times 3} }+ \frac{a(v)}{v^2}\vec{v}\vec{v}^T \end{pmatrix} ,$    mit $\displaystyle \quad a(v)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}- 1 .$ (9.7)

Sie bildet den Vektor $ e_0=(1,0,0,0)$ auf $ \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(1,\vec{v})$ ab und läßt die Vektoren $ w$ invariant, die senkrecht auf $ e_0$ und $ L_{\vec{v}} e_0$ stehen, also nur einen räumlichen Anteil haben, der zudem senkrecht auf $ \vec{v}$ steht.

Hier und im folgenden verwenden wir einfachheitshalber Maßsysteme mit $ c=1$.

Drehungen sind Lorentztransformationen, die die Zeit unverändert lassen, $ x^{\prime 0}= x^0$. Die Poincaré-Transformationen bilden eine Gruppe, denn hintereinander ausgeführte oder invertierte Poincaré-Transformationen sind wieder Poincaré-Transformationen

\begin{equation*}\begin{aligned}T_{\Lambda_2,a_2}T_{\Lambda_1,a_1}(x) = T_{\Lamb...
...ambda,a})^{-1}&=T_{\Lambda^{-1},-\Lambda^{-1}a}  . \end{aligned}\end{equation*}

Die Lorentzgruppe besteht aus vier Zusammenhangskomponenten. Mit dem Determinantenproduktsatz $ \det(AB)=(\det A )(\det B)$ und wegen $ \det \Lambda^T = \det \Lambda$ folgt nämlich aus $ \Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ die Gleichung $ (\det \Lambda)^2 = 1$, also

$\displaystyle \det \Lambda = 1$    oder $\displaystyle \quad \det \Lambda = -1 .$ (9.9)

Zudem folgt aus der 0-0-Komponente von $ \Lambda^T \eta \Lambda = \eta$,

$\displaystyle (\Lambda^0{}_0)^2- (\Lambda^1{}_1)^2- (\Lambda^2{}_2)^2- (\Lambda^3{}_3)^2=1 ,$ (9.10)

die Ungleichung $ (\Lambda^0{}_0)^2\ge 1$, also

$\displaystyle \Lambda^0{}_0 \ge 1$    oder $\displaystyle \quad \Lambda^0{}_0 \le 1 .$ (9.11)

Daher können nicht die $ \mathbf 1$-Matrix, die Raumspiegelung $ \mathcal P$ und die Zeitumkehr $ \mathcal T$,

$\displaystyle {\mathcal P}= \begin{pmatrix}1 &-1 &&-1 &&&-1 \end{pmatrix} ,\quad {\mathcal T}= \begin{pmatrix}-1 &1 &&1 &&&1 \end{pmatrix} ,$ (9.12)

sowie ihr Produkt $ {\mathcal P}{\mathcal T}$ durch stetige Abänderung ihrer Matrixelemente innerhalb der Lorentzmatrizen ineinander verformt werden, denn $ \Lambda^0{}_0$ und $ \det \Lambda$ sind stetige Funktionen der Matrixelemente.

Jede Lorentztransformation ist entweder von der Form

$\displaystyle \Lambda$    oder$\displaystyle \quad {\mathcal T}\Lambda$    oder$\displaystyle \quad {\mathcal P}\Lambda$    oder$\displaystyle \quad {\mathcal T}{\mathcal P}\Lambda ,$ (9.13)

wobei $ \Lambda$ eine eigentliche Lorentztransformation ist, das heißt, sie ist orientierungstreu, $ \det \Lambda=1$, und zeitrichtungstreu, $ \Lambda^0{}_0\ge 1$.

Jede eigentliche Lorentztransformation $ \Lambda$ läßt sich als Produkt einer Drehung $ R$, die $ R^0{}_0 = 1$ und $ \det R = 1$ erfüllt, mit einer drehungsfreien Lorentztransformation $ L_{\vec{v}}$ (9.7) schreiben [6, Anhang D]

$\displaystyle \Lambda = L_{\vec{v}}R .$ (9.14)

Denn $ w=\Lambda e_0$ definiert einen räumlichen Vektor $ \vec{v}=\frac{\vec{w}}{w^0}$ und eine drehungsfreie Lorentztransformation $ L_{\vec{v}}$, die ebenfalls $ e_0$ auf $ w$ abbildet, $ L_{\vec{v}}e_0 =\Lambda e_0$. Demnach ist $ L_{\vec{v}}^{-1}\Lambda =R$ eine Lorentztransformation, die $ e_0$ invariant läßt, also eine Drehung. Diese Zerlegung $ \Lambda = L_{\vec{v}} R $ ist bei gegebenem $ e_0$, $ (e_0)^2 > 0$, eindeutig.

Da sich jedes $ L_{\vec{v}}$ und jede Drehung $ R$ mit $ \det R = 1$ als Exponentialreihe einer Matrix $ \omega$ mit

$\displaystyle \eta \omega = - (\eta \omega)^T$ (9.15)

schreiben läßt, hängen die eigentlichen Lorentztransformationen stetig mit der $ \mathbf 1$-Matrix zusammen. Umgekehrt ist jedes

$\displaystyle \Lambda = \mathrm{e}^\omega$ (9.16)

eine Lorentztransformation, wenn (9.15) erfüllt ist. Denn es gilt $ (\omega^n)^T=(\omega^T)^n$ für jede Potenz von $ \omega$ und folglich für die Exponentialreihe $ (\mathrm{e}^\omega)^T = e^{(\omega^T)}$. Zudem gilt $ \eta\omega = -\omega^T \eta$ und daher $ \eta\omega^n = (-1)^n(\omega^T)^n  \eta$ und für die Exponentialreihe $ \eta \mathrm{e}^{\omega}=\mathrm{e}^{-\omega^T}\eta$, also erfüllt $ \mathrm{e}^\omega$ die definierende Relation (9.6) von Lorentzmatrizen, $ (\mathrm{e}^{\omega})^T\eta(\mathrm{e}^\omega)=\mathrm{e}^{\omega^T}\mathrm{e}^{-\omega^T}\eta=\eta$.

Jede Translation $ T_{{\mathbf 1},a}$ läßt sich als Exponentialreihe 9.1

$\displaystyle T_{{\mathbf 1},a}=\mathrm{e}^{a^m\partial_m}$ (9.17)

von infinitesimalen Transformationen $ \partial_m$

$\displaystyle \partial_m x^n = \delta_m{}^n$ (9.18)

schreiben, wie man elementar durch Anwenden der Reihe auf Funktionen $ f(x)$ bestätigt, $ \mathrm{e}^{a^m\partial_m}f(x)=f(x+a)$.




Nächste Seite: Basiszustände und Wellenfunktionen Aufwärts: Relativistische Quantenmechanik Vorherige Seite: Relativistische Quantenmechanik   Inhalt   Index
FAQ Homepage