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Basiszustände und Wellenfunktionen

Eine unitäre Darstellung der Poincaré-Transformationen im Hilbertraum $ \mathcal H$ ordnet jeder Transformation $ T_{\Lambda,a}$ einen unitären oder antiunitären Operator $ U_{\Lambda,a}:{\mathcal H}\rightarrow {\mathcal H}$ zu, wobei das Produkt der unitären Operatoren dem Hintereinanderausführen der Poincaré-Transformationen entspricht

$\displaystyle U_{\Lambda_2,a_2}U_{\Lambda_1,a_1}=U_{\Lambda_2\Lambda_1,a_2+\Lambda_2 a_1}  .$ (9.19)

Die Transformationen $ U_{\Lambda,0}$ schreiben wir kurz als $ U_\Lambda $, die zu Translationen gehörigen $ U_{{\mathbf 1},a}$ als $ U_a $.

Da sich jede drehungsfreie Lorentztransformation als Quadrat $ \Lambda = (e^{\frac{\omega}{2}})^2$ schreiben läßt und da das Produkt von zwei antiunitären Operatoren unitär ist, gehören zu drehungsfreien Lorentztransformationen unitäre Operatoren $ U_{L_{\vec{v}}}$, Aus gleichen Grund gehören zu Drehungen $ R$ und zu Translationen unitäre Operatoren. Lediglich zur Raumspiegelung $ \mathcal P$ oder zur Zeitumkehr $ \mathcal T$ kann ein antiunitärer Operator $ \Pi$ oder $ T$ gehören.

Da sich Translationen, Drehungen und drehungsfreie Lorentztransformationen als Exponentialreihen schreiben lassen, lassen sich die zugehörigen unitären Operatoren als Exponentialreihe mit hermiteschen Operatoren $ P^m=P^{m \dagger}%=\ir U^{-1}_a \partial_{a_m}U_a
$ und $ M^{mn}=M^{mn \dagger}$, den Erzeugenden von Translationen, Drehungen und drehungsfreien Lorentztransformationen, schreiben

$\displaystyle U_a=e^{-\mathrm{i}a\cdot P} ,\quad U_\Lambda = \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{2}\omega_{mn}M^{mn}} .$ (9.20)

Hierbei verwenden wir einfachheitshalber Maßsysteme mit $ \hslash = 1$. Die Erzeugenden $ P^i$, $ i=1,2,3$, der räumlichen Translationen sind definitionsgemäß die drei Komponenten des Impulsoperators, die Erzeugende der Zeittranslation ist der Hamiltonoperator.

$\displaystyle H=P^0$ (9.21)

Die Koeffizienten $ \omega_{mn}=\eta_{ml}\omega^l{}_n=-\omega_{nm}$ sind die Matrixelemente der antisymmetrischen Matrix $ \eta \omega$ (9.15), wobei $ \Lambda=\mathrm{e}^\omega$ gilt. Wegen $ \omega_{mn}=\eta_{ml}\omega^l{}_n=-\omega_{nm}$ gilt auch $ M^{mn}=-M^{nm}$, ein eventueller symmetrischer Anteil würde in der Doppelsumme $ \omega_{mn}M^{mn}$ nicht beitragen. Die Operatoren $ M^{0i}$ erzeugen drehungsfreie Lorentztransformationen, die Operatoren $ M^{12}=-J_z$, $ M^{23}=-J_x$ und $ M^{31}=-J_y$ erzeugen Drehungen und sind definitionsgemäß die drei Komponenten des Drehimpulsoperators $ \vec{J}$.

Weil Translationen vertauschen, $ U_a U_b = U_{a+b}= U_b U_a$, vertauschen die Komponenten des Viererimpulses

$\displaystyle [P^m,P^n] = 0$ (9.22)

und die Operatoren $ P^m$ haben gemeinsame Eigenzustände $ \chi_{p\sigma}$

$\displaystyle P^m \chi_{p\sigma} = p_m \chi_{p\sigma} ,$ (9.23)

die eine Basis des Hilbertraumes aufspannen. Der Index $ \sigma$ ist ein Entartungsindex, den wir im Vorgriff auf das Ergebnis unserer Betrachtung als Spin des Zustandes $ \chi_{p\sigma}$ mit Impuls $ p$ bezeichnen.

Mit Lorentztransformationen werden Translationen transformiert,

$\displaystyle U_\Lambda U_a U_\Lambda^{-1}= U_{\Lambda a}$ (9.24)

denn es gilt % latex2html id marker 27301
$ U_{\Lambda,0}U_{{\mathbf 1},a}U_{\Lambda^{-1},0}...
...Lambda a}U_{\Lambda^{-1},0}
\stackrel{\ref{uprod}}{=}U_{\mathbf 1 ,\Lambda a} $, und für den Viererimpuls $ P$ folgt % latex2html id marker 27305
$ U_\Lambda e^{-\mathrm{i}a\cdot P} U_\Lambda^{-1}...
...ambda^{-1}P)}
\stackrel{\ref{skalinv}}{=}e^{-\mathrm{i}a\cdot (\Lambda^{-1}P)} $. Weil für jede Potenzreihe $ U f(P) U^{-1}=f(UPU^{-1})$ gilt, folgt also $ \mathrm{e}^{(-\mathrm{i}a \cdot U_\Lambda P U_{\Lambda}^{-1})}= \mathrm{e}^{-\mathrm{i}a \cdot (\Lambda^{-1} P)}$ oder, für die inverse Lorentztransformation ausgeschrieben,

$\displaystyle U_\Lambda^{-1} P^m U_\Lambda= \Lambda^{m}{}_n P^n .$ (9.25)

Daher ist $ U_\Lambda \chi_{p\sigma}$ ein Zustand mit Viererimpuls $ \Lambda p $.

$\displaystyle P^m (U_\Lambda \chi_{p\sigma})= U_\Lambda (U_\Lambda^{-1}P^mU_\La...
...bda \Lambda^m{}_nP^n \chi_{p\sigma}= \Lambda^m{}_np^n(U_\Lambda \chi_{p\sigma})$ (9.26)

Im letzten Schritt ist die Eigenwertgleichung (9.23) verwendet worden, und die Multiplikation mit den Zahlen $ \Lambda^m{}_np^n$ ist mit der unitären Transformation $ U_\Lambda$ vertauscht worden. Weil der Zustand $ (U_\Lambda \chi_{p\sigma})$ Vierimpuls $ \Lambda p$ hat, ist er eine Linearkombination von Basiszuständen mit diesem Impuls

$\displaystyle U_\Lambda \chi_{p\sigma} = \sum_{\sigma^\prime} \chi_{(\Lambda p)\sigma^\prime}M_{\sigma^\prime \sigma}$ (9.27)

Wenn es, wie wir im weiteren unterstellen wollen, Zustände $ \chi_{\text{Ruhe} \sigma}$ gibt, die zu einem ruhenden Teilchen gehören, dessen Energie seine Masse ist, $ p^0=m$, und dessen Impuls $ \vec{p}=0$ verschwindet, dann gibt es auch Zustände $ U_{L_{\vec{v}}}\chi_{\text{Ruhe} \sigma}$ des bewegten Teilchens mit Energie $ p^0=\frac{m}{\sqrt{1-v^2}}$ und Impuls $ \vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-v^2}}$, $ p=(p^0,\vec{p}^T)^T=L_{\vec{v}}(m,0,0,0)^T$, die man durch drehungsfreie Lorentztransformation (9.7) des ruhenden Teilchens erhält. Dabei ist $ m$ eine feste Zahl und nicht ein Eigenwert aus einem Kontinuum möglicher Energien, die Mehrteilchenzustände mit verschwindendem Gesamtimpuls $ \vec{p}$ haben können. Die möglichen Eigenwerte $ p$, die dieses Teilchen haben kann, bilden die Massenschale

$\displaystyle p^2 = p^{0  2} - \vec{p}^2 = m^2 .$ (9.28)

Auf diesen Einteilchenzuständen wirkt $ H$ als der Operator

$\displaystyle H=P^0 = \sqrt{m^2 + \vec{P}^2} .$ (9.29)

Weil das Spektrum von $ \vec{P}$ dreidimensional kontinuierlich ist, können die Eigenzustände nicht normierbar sein, sondern müssen kontinuumsnormiert sein. Wir verlangen daher

$\displaystyle \langle \chi_{p \sigma} \vert \chi_{p^\prime \sigma^\prime} \rangle =\delta^3(\vec{p}-\vec{p}^\prime) \delta_{\sigma\sigma^\prime}$ (9.30)

und setzen aus den Basiszuständen normierbare Wellenpakete zusammen

$\displaystyle \vert\Psi\rangle = \sum_\sigma \int d^3 p \vert\chi_{p\sigma}\rangle \tilde{\psi}_{\sigma}(\vec{p}) .$ (9.31)

Dabei ist $ \tilde{\psi}_{\sigma}(\vec{p})$ die Impulswellenfunktion für Spin $ \sigma$, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung des Zustandes $ \vert\Psi\rangle$ den Spin $ \sigma$ zu messen und dabei den Impuls $ \vec{p}$ in einem Bereich $ \Delta_p$ zu finden, ist

$\displaystyle w(\sigma, \Delta_p, \Psi)=\int_{\Delta_p}\!\! d^3 p  \vert\tilde{\psi}_{\sigma}(\vec{p})\vert^2 .$ (9.32)

Ist $ \Delta_p$ eine kleiner Bereich bei $ \vec{p}$ von der Größe $ d^3 p$, so gilt näherungsweise

$\displaystyle w(\sigma, \vec{p}, d^3 p , \Psi)= \vert\tilde{\psi}_{\sigma}(\vec{p})\vert^2 d^3 p .$ (9.33)

Die Ortswellenfunktion $ \Psi_\sigma(\vec{x})=\langle \Lambda_{x \sigma} \vert\Psi\rangle $ ist das Skalarprodukt des Ortseigenzustandes $ \Lambda_{x \sigma}$ mit Spin $ \sigma$ mit dem Zustand $ \Psi$. Es ergibt sich aus den Ortswellenfunktionen der Impulszustände

$\displaystyle \langle \Lambda_{x \sigma} \vert\chi_{p \sigma^\prime}\rangle = \...
...{1}{(2\pi)^{3/2}} \delta_{\sigma\sigma^\prime}  \mathrm{e}^{i \vec{p}\vec{x}}$ (9.34)

als

$\displaystyle \psi_\sigma(\vec{x})= \int\! d^3 p  \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}  \mathrm{e}^{i \vec{p}\vec{x}}  \tilde{\psi}_{\sigma}(\vec{p}) .$ (9.35)

Daß die Ortswellenfunktion die Fouriertransformierte der Impulswellenfunktion ist (3.53), gilt immer, wenn die Orts- und Impulsoperatoren die Heisenbergschen Vertauschungsrelation $ [X,P]=\mathrm{i}$ (2.31) erfüllen. Wir verwenden diese Vertauschungsrelation, die daraus folgt, daß $ \vec{P}$ Translationen von $ \vec{X}$ erzeugt, um den Ortsoperator in relativistischer Quantenmechanik zu definieren.

Es läßt sich in relativistischer Quantenmechanik kein Operator $ X^0$ definieren, der die Zeit mißt und mit den anderen Orts- und Impulsoperatoren Heisenbergsche Vertauschungsrelationen

$\displaystyle [X^m, P^n] = - \mathrm{i}\eta^{mn}$ (9.36)

erfüllt. Solche Relationen sind zwar verträglich damit, daß $ X$ und $ P$ unter Lorentztransformationen wie Vektoren transformieren, sie hätten aber zur Folge, daß das Spektrum von $ H$ so wie das Spektrum der Operatoren $ P_x$, $ P_y$ und $ P_z$ kontinuierlich ist und auch bei festgehaltenen Werten der anderen Impulsoperatoren aus allen reellen Zahlen besteht. Das Spektrum möglicher Energien wäre also nach unten unbeschränkt. Zudem wäre (9.36) unverträglich mit $ P^0=\sqrt{m^2+\vec{P}^2}$ (9.29), denn $ P^0(\vec{P})$ vertauscht mit $ X^0$, wenn $ X^0$ mit $ \vec{P}$ vertauscht.

Da kovariante String-Theorien die Relation (9.36) enthalten, sind sie meiner Einschätzung nach physikalisch unhaltbar. Zwar enthalten sie eine Auswahlregel, daß für physikalische Zustände $ p^2 = m^2$ gelten muß, wobei für $ m^2$ eine diskrete Menge von Zahlen zulässig ist. Es lassen sich aber aus kontinuumsnormierten Basiszuständen $ \langle \chi_{p } \vert \chi_{p^\prime } \rangle =\delta^4({p}-{p}^\prime)$, wie sie zur Realisierung von (9.36) erforderlich wären, keine normierbaren Wellenpakete zusammensetzen, deren Impulswellenfunktionen $ \tilde{\psi}({p})$ nur bei $ p^2 = m^2$ von Null verschieden sind: Durch Abändern des Funktionswertes der Wellenfunktion in einzelnen Punkten eines Kontinuums ändert man den Zustand nicht, denn alle Skalarprodukte bleiben unverändert. Folglich gehört eine Wellenfunktion, die nur für $ p^2 = m^2$ von Null verschieden ist und im übrigen in einem vierdimensionalen Kontinuum von Impulswerten verschwindet, zum Nullvektor des Hilbertraumes $ \mathcal H$ und nicht zu einem physikalischen Zustand. Enthielte die Wellenfunktion eine Deltafunktion $ \tilde{\psi}({p})=\delta(p^0 - \sqrt{m^2 + \vec{p}^2})f(\vec{p})$, so wäre $ \langle \Psi \vert \Psi \rangle $ nicht Null sondern unendlich und gehörte wiederum nicht zu einem physikalischen Zustand. Das Problem wird von String-Theoretikern ignoriert.

Wegen $ H=\sqrt{m^2 + \vec{P}^2}$ (9.29) ist die Zeitentwicklung von Einteilchenzuständen und ihrer Ortswellenfunktion einfach

$\displaystyle \vert\Psi(t)\rangle$ $\displaystyle = \sum_\sigma \int\! d^3 p  \vert\chi_{p\sigma}\rangle   \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{m^2+\vec{p}^2} t}  \tilde{\psi}_{\sigma}(\vec{p}) ,$ (9.37)
$\displaystyle \psi_\sigma(t,\vec{x})$ $\displaystyle = \int\! d^3 p  \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}  \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec{p}\vec{x}-p^0 t)}  \tilde{\psi}_{\sigma}(\vec{p}) .$ (9.38)

Auch wenn hier $ \vec{x}$ und $ t$ im Lorentzinvarianten Skalarprodukt auftreten, so haben sie doch wesentlich verschiedene Eigenschaften: $ \vec{x}$ sind mögliche Meßwerte von Ortsoperatoren $ \vec{X}$, $ t$ parametrisiert die Zustände im Ablauf der Zeit. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Zustand $ \Psi(t)$ mit Spinwert $ \sigma$ in einem örtlichen Bereich $ \Delta$ zu finden, ist

$\displaystyle w(\sigma, \Delta, \Psi) = \int_\Delta\!\! d^3 x  \vert\psi_\sigma(t,\vec{x})\vert^2 .$ (9.39)

Auch in relativistischer Quantenmechanik sind Ort und Zeit konzeptionell grundverschieden.

Durch inverse Fouriertransformation läßt sich die Impulswellenfunktion durch die Ortswellenfunktion ausdrücken

$\displaystyle \tilde{\psi}_{\sigma}(\vec{p})= \int\! d^3 x  \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}  \mathrm{e}^{-i (\vec{p}\vec{x}-p^0 t)}  {\psi}_{\sigma}(t,\vec{x}) .$ (9.40)

Dies gilt für alle Zeiten $ t$. In (9.38) eingesetzt ergibt sich ( $ x=(t,\vec{x})$, $ y=(y^0,\vec{y})$)

$\displaystyle \psi_\sigma(x)= \int\! d^3 y   D(x,y)  {\psi}_{\sigma}(y)$ mit $\displaystyle D(x,y)= \int\! d^3 p  \frac{1}{(2\pi)^{3}}  \mathrm{e}^{i(\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})-\sqrt{m^2+\vec{p}^2} (x^0-y^0))} .$ (9.41)

Die Funktion $ D(x,y)$ verschwindet nicht, wenn $ x$ raumartig zu $ y$ liegt. Sie hängt nur von $ x-y$ ab und schreibt sich mit dem Lorentzinvarianten Integrationsmaß

$\displaystyle \tilde{d}p = \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 2p^0} ,\quad p^0 = \sqrt{m^2+\vec{p}^{ 2}}$ (9.42)

als Ableitung

$\displaystyle D(x)=\int\! \tilde{d}p  2p^0  \mathrm{e}^{\mathrm{i}p\cdot x} =...
...artial x^0} (-\mathrm{i})\int\!\tilde{d} p  \mathrm{e}^{\mathrm{i}p\cdot x} .$ (9.43)

Im Anhang zeigen wir, daß das Integral für große raumartige Abstände $ r$ wie $ \mathrm{e}^{-mr}$ abnimmt.

Daß $ D(x)$ für raumartige Abstände nicht verschwindet, besagt nur, daß man in relativistischer Quantenmechanik Zustände höchstens zu einem Zeitpunkt strikt lokalisieren kann. Das Problem ist die Zeitableitung der Ortswellenfunktion. Wenn die Wellenfunktion zu einem Zeitpunkt außerhalb eines Gebietes verschwindet, so ist in diesem Augenblick schon die Zeitableitung der Wellenfunktion auch außerhalb dieses Gebietes von Null verschieden. Könnte man nämlich zu einer Zeit $ t=0$ die Ortswellenfunktion $ \psi(0,\vec{x})$ und ihre Zeitableitung $ \dot{\psi}(0,\vec{x})$ auf ein Gebiet lokalisieren, so wäre $ \psi(t,\vec{x})$ eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung $ (\Box + m^2)\psi = 0$ mit lokalisierten Anfangsbedingungen und diese Lösungen verschwinden außerhalb des Vorwärts- und Rückwärtslichtkegels des Lokalisierungsgebietes.

Das Problem der Lokalisierung relativistischer Einteilchenzustände zeigt sich auch beim Wahrscheinlichkeitsstrom. Auch wenn wegen der Schrödingergleichung die Wahrscheinlichkeit erhalten ist, so gehören dennoch zu den Ortswahrscheinlichkeitsdichten

$\displaystyle \rho_\sigma(t,\vec{x}) = \vert\psi_\sigma(t,\vec{x})\vert^2$ (9.44)

keine lokalen Ströme $ \vec{\jmath}_\sigma(t,\vec{x})$, die Kontinuitätsgleichungen $ \dot{\rho}_\sigma +$   div$ \vec{\jmath}_\sigma = 0$ erfüllen und zu lokaler Erhaltung von Wahrscheinlichkeiten gehören. Es ist nämlich definitionsgemäß ein lokaler Strom aus den Funktionen $ \psi_\sigma(t,x)$, $ \psi^*_\sigma(t,x)$ und endlich vielen ihrer Ableitungen gebildet. Er muß, wenn er zu $ \rho_\sigma$ gehört, linear in Ableitungen von $ \psi_\sigma$ und linear in Ableitungen von $ \psi^*_\sigma$ sein und ist dann wegen (9.38) von der Form

$\displaystyle \vec{\jmath}_\sigma(x)=\int d^3p^\prime d^3p  \frac{1}{(2\pi)^3}...
...^\prime) \tilde{\psi}_\sigma(\vec{p}) \vec{J}_\sigma(\vec{p}^\prime,\vec{p}) .$ (9.45)

Der Strom ist lokal und macht nur Gebrauch von endlich vielen Ableitungen von $ \psi_\sigma$ und $ \psi_\sigma^* $, wenn $ \vec{J}_\sigma$ polynomial von $ \vec{p}$ und $ \vec{p}^\prime$ abhängt. Dann ist auch div $ \vec{\jmath}_\sigma$ von dieser Form

div $\displaystyle \vec{\jmath}_\sigma(x)=\int d^3p^\prime d^3p  \frac{\mathrm{i}}{...
..._\sigma(\vec{p})(\vec{p}-\vec{p}^\prime) \vec{J}_\sigma(\vec{p}^\prime,\vec{p})$ (9.46)

und $ (\vec{p}-\vec{p}^\prime) \vec{J}_\sigma(\vec{p}^\prime,\vec{p})$ ist polynomial in $ \vec{p}$ und $ \vec{p}^\prime$. Es ist aber in

$\displaystyle \dot{\rho}_\sigma(x)=\int d^3p^\prime d^3p  \frac{-\mathrm{i}}{(...
...\psi}_\sigma^*(\vec{p}^\prime) \tilde{\psi}_\sigma(\vec{p})(p^0-p^{\prime  0})$ (9.47)

die Größe $ p^0-p^{\prime  0}=\sqrt{m^2+\vec{p}^2}-\sqrt{m^2+\vec{p}^{\prime 2}}$ nichtpolynomial und der Strom mit

$\displaystyle \vec{J}_\sigma(\vec{p}, \vec{p}^\prime)=(\vec{p}+\vec{p}^\prime) ...
...{m^2+\vec{p}^2}-\sqrt{m^2+\vec{p}^{\prime 2}}}{\vec{p}^2-\vec{p}^{\prime  2}}$ (9.48)

erfüllt zwar eine Kontinuitätsgleichung, ist aber nichtlokal.

Diese unausweichlichen Schlußfolgerungen sind hinzunehmen. Genau betrachtet gibt es in der Quantenmechanik keinen Operator im Hilbertraum, der zur Messung eines Wahrscheinlichkeitsstromes gehört. Auch in nichtrelativistischer Quantenmechanik gehört zum Wahrscheinlichkeitsstrom

$\displaystyle \vec{\jmath}=\frac{\hslash}{2\mathrm{i}m}(\psi^* \overset{\leftri...
...\hslash}{2\mathrm{i}m}(\psi^* \vec{\partial} \psi - (\vec{\partial}\psi^*)\psi)$ (9.49)

kein hermitescher Operator. Gemessen werden Impulse, daraus werden Geschwindigkeiten und Ströme rekonstruiert. Die quantenmechanische Impulsmessung aber ist nichtlokal.




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