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Unitäre Darstellung der Stabilitätsgruppe

Die Untergruppe $ H_p$ aller Lorentztransformationen, die einen Impuls $ p$ invariant lassen, $ H_p=\{\Lambda: \Lambda p = p\}$, nennen wir Stabilitätsgruppe von $ p$ oder auch kleine Gruppe.

Weil zu Lorentztransformationen gehörige unitäre Transformationen $ U_\Lambda$ Zustände $ \chi_{p\sigma}$ mit Impuls $ p$ auf Zustände mit Impuls $ \Lambda p$ abbilden (9.27), werden die Unterräume von Zuständen mit festem Impuls $ p$ durch die zur Stabilitätsgruppe $ H_p$ gehörigen unitären Transformationen auf sich abgebildet.

Die Stabilitätsgruppe des Viererimpulses ruhender Teilchen $ \underline{p}=(m,0,0,0)$ besteht aus Drehungen $ R$. Die zugehörigen unitären Transformationen drehen die Basiszustände $ \chi_{\text{Ruhe} \sigma}$ in Linearkombinationen

$\displaystyle U_R \chi_{\text{Ruhe}  \sigma} = \sum_{\sigma^\prime}\chi_{\text{Ruhe}  \sigma^\prime} D_{\sigma^\prime \sigma}(R) .$ (9.50)

Die hierbei auftretenden Entwicklungskoeffizienten $ D_{\sigma^\prime \sigma}(R)$ sind die Matrixelemente einer unitären Darstellung der Gruppe der Drehungen!

Denn für hintereinander ausgeführte Drehungen gilt

\begin{equation*}\begin{aligned}U_{R_1}U_{R_2} \chi_{\text{Ruhe}  \sigma} &=U_{...
...\prime}} D_{\sigma{\prime\prime} \sigma}(R_1R_2) , \end{aligned}\end{equation*}

und $ D(R)$ ist folglich eine Darstellung

$\displaystyle \sum_{\sigma^\prime}D_{\sigma{\prime\prime} \sigma^\prime}(R_1)D_{\sigma^\prime \sigma}(R_2) =D_{\sigma{\prime\prime} \sigma}(R_1R_2) .$ (9.52)

Die Darstellungsmatrizen $ D(R)$ sind unitär, denn $ U_R$ ist unitär und läßt Skalarprodukte invariant

\begin{equation*}
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\begin{aligned}\delta^3(\vec{p}^\...
...M^*_{\nu^\prime \sigma^\prime}D_{\nu \sigma }(R) . \end{aligned}\end{equation*}

Wegen $ f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)$ können wir den Faktor bei $ \delta^3(R\vec{p}^\prime)$ bei $ \vec{p}^\prime=0$ auswerten. Dort ist $ M_{\nu^\prime \sigma^\prime}=D_{\nu^\prime \sigma^\prime}(R)$ (9.50). Zudem ist $ \delta^3(R\vec{p}^\prime)=\delta^3(\vec{p}^\prime)/\vert\det R\vert=
\delta^3(\vec{p}^\prime)$. Vergleichen wir nun die Koeffizienten der Deltafunktion, so lesen wir ab, daß $ D_{\nu \sigma}$ Matrixelemente einer Matrix sind, die $ D^\dagger D = 1$ erfüllt, also unitär ist

$\displaystyle \delta_{\sigma^\prime \sigma}= \sum_\nu D^*_{\nu \sigma^\prime}(R)D_{\nu \sigma}(R) =(D^{*T }D)_{\sigma^\prime \sigma} .$ (9.54)

Daß die Darstellung der Drehgruppe unitär sein muß, schränkt sie nicht wesentlich ein. Denn da die Drehgruppe kompakt ist, ist jede ihrer irreduziblen Darstellungen in geeigneter Basis unitär.

Der Unterraum der Zustände des ruhenden Teilchens zerfällt in Drehimpulsmultipletts. Da verschiedene Multipletts nicht ineinander transformieren, reicht es, jeweils nur ein Multiplett zu betrachten, also einfachheitshalber zu unterstellen, daß $ D$ eine Darstellung mit Spin $ s$ ist mit $ 2s+1$ Basiszuständen. Diese Basiszustände wählen wir als Eigenzustände von $ J_z$ und bezeichnen sie mit ihrem Spin in $ z$-Richtung (2.46)

$\displaystyle J_z \chi_{\text{Ruhe}  \sigma}= \sigma \chi_{\text{Ruhe}  \sigma} ,\quad \sigma \in \{s,s-1,\dots, -s \} .$ (9.55)

Die Leiteroperatoren $ J_{\pm}=J_x\pm \mathrm{i}J_y$ erhöhen und erniedrigen den Spin in $ z$-Richtung

$\displaystyle J_{\pm} \chi_{\text{Ruhe}  \sigma}= \sqrt{(s\mp\sigma)(s\pm\sigma + 1)} \chi_{\text{Ruhe}  \sigma\pm 1} .$ (9.56)

Mit $ J_x=(J_++J_-)/2$ und $ J_y=(J_+-J_-)/(2\mathrm{i})$ läßt sich durch Auswertung der Exponentialreihe $ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\vec{\alpha}\vec{J}}\chi_{\text{Ruhe}  \sigma}=\sum_{\sigma^\prime}\chi_{\text{Ruhe}  \sigma^\prime}D_{\sigma^\prime \sigma}(R)$ die Darstellungsmatrix derjenigen Drehung $ R$ bestimmen, die um die Achse $ \vec{\alpha}/\vert\vec{\alpha}\vert$ um den Winkel $ \vert\vec{\alpha}\vert$ dreht.




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