Induzierte Darstellung

Die Darstellung $D$ der Stabilitätsgruppe $H_p$ auf den Zuständen mit festem Impuls $p$ induziert die Darstellung $U_\Lambda$ aller Lorentztransformationen. Sie wirkt auf dem Hilbertraum, der von Zuständen aufgespannt wird, deren Impulse auf der zu $p$ gehörigen Massenschale liegen, also aus $p$ durch Lorentztransformationen hervorgehen.

Um dies zu zeigen, betrachten wir die drehungsfreie Lorentztransformation $L_p$, die den Viererimpuls $\underline{p}=(m,0,0,0)$ des ruhenden Teilchens auf $p$ abbildet

$$L_p \underline{p}=p .$$ (9.57)

Sie ist durch $L_{\vec{v}}$ (9.7) mit $\vec{v}=\vec{p}/p^0$ gegeben. In einer Zerlegung in $(1+3)\times (1+3)$-Blöcke ist sie

$$L_p = \frac{1}{m} \begin{pmatrix}p^0 & p^j p^i & m \delta^{ij} + \frac{p^i p^j}{p^0+m} \end{pmatrix} , p^0=\sqrt{m^2+\vec{p}^2} .$$ (9.58)

Hierbei zählen $i$ und $j$, $i,j\in\{1,2,3\}$, die räumlichen Zeilen und Spalten ab. Eine Drehung $R$ hat in derselben Zerlegung die Form

$$R = \begin{pmatrix}1 & 0 0 & \hat{R} \end{pmatrix} ,\quad R^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 0 & \hat{R}^T \end{pmatrix} ,$$ (9.59)

wobei $\hat{R}$ eine dreidimensionale Drehung ist, $\hat{R}^T=\hat{R}^{-1}$. Man rechnet elementar nach

$$R L_p R^{-1}=L_{Rp} .$$ (9.60)

Der zur Lorentztransformation $L_p$ gehörige Operator $U_{L_p}$ transformiert die Basis $\chi_{\text{Ruhe} \sigma}$ der Zustände in Ruhe in eine Basis der Zustände mit Impuls $p$. Wir denken uns die Basis $\chi_{p\sigma}$ schon so gewählt, daß sie bis auf positive Normierungsfaktoren $N(p,\sigma)$ mit $U_{L_p}\chi_{\text{Ruhe} \sigma}$ übereinstimmt

$$\chi_{p\sigma}= N(p,\sigma) U_{L_p}\chi_{\text{Ruhe} \sigma} .$$ (9.61)

Wie $U_\Lambda$ auf diese Basis wirkt, ist vollständig durch die Lorentzgruppe, ihre Wirkung auf $p$ und die Darstellung $D$ der Stabilitätsgruppe $H_{\underline{p}}$ festgelegt.

$$U_\Lambda \chi_{p\sigma}=N(p,\sigma) U_\Lambda U_{L_p}\chi_{\text... ...Lambda p}} U_{L_{\Lambda p}}{}^{-1} U_\Lambda U_{L_p}\chi_{\text{Ruhe} \sigma}$$ (9.62)

Die Operatoren $U_\Lambda$ sind eine Darstellung, folglich ist $U_{L_{\Lambda p}}{}^{-1} U_\Lambda U_{L_p}=U_{W}$ mit

$$W(\Lambda,p)={L_{\Lambda p}}^{-1} \Lambda {L_p} .$$ (9.63)

Es ist aber $W(\Lambda,p)$ eine Lorentztransformation, die $\underline{p}$ zunächst mit $L_p$ auf $p$ abbildet, dann auf $\Lambda p$ und schließlich drehungsfrei mit $L_{\Lambda p}^{-1}$ zurück auf $\underline{p}$. Sie läßt also $\underline{p}$ invariant und ist eine Drehung, die sogenannte Wigner-Rotation.

Drehungen $W$ werden durch $D(W)$ dargestellt

$$U_\Lambda \chi_{p\sigma}= N(p,\sigma) U_{L_{\Lambda p}} U_W \chi_... ...um_{\sigma^\prime} \chi_{\text{Ruhe} \sigma^\prime}D_{\sigma^\prime \sigma}(W)$$ (9.64)

und mit (9.61) ergibt sich

$$U_\Lambda \chi_{p\sigma}=\sum_{\sigma^\prime} \frac{N(p,\sigma)}{... ...ime)} \chi_{\Lambda p \sigma^\prime}D_{\sigma^\prime \sigma}(W(\Lambda,p)) .$$ (9.65)

Aus der Normierungsbedingung (9.30) folgen die Normierungsfaktoren $N(p,\sigma)$

$$\begin{aligned}\delta^3(\vec{q} -\vec{p})\delta_{\nu \sigma} = ... ...}{N(L_p^{-1}q,\nu)} D^*_{\sigma \nu}(W(L_p^{-1},q)) \end{aligned}$$

Wegen $f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)$ kann der Faktor bei der $\delta$-Funktion dort ausgewertet werden, wo $\overrightarrow{L_p^{-1}q}$ verschwindet, also bei $q=p$. Dort ist die Wigner-Rotation $W(L_p^{-1},p)$ wegen $L_p^{-1} p=\underline{p}$ die Identität, $L_{L_p^{-1}p} L_p^{-1}L_p = L_{L_p^{-1}p}=L_{\underline{p}}=\mathbf 1$. Sie wird durch $D(1)=1$ dargestellt, $D^*_{\sigma \nu}(W(L_p^{-1},p))=\delta_{\sigma\nu}$.

Die Normierungsfaktoren vereinfachen sich bei $q=p$ zu $N(p,\sigma)^2$, denn $N(\underline{p},\nu)=1$.

Vom Argument der $\delta$-Funktion ziehen wir $\vec{0}=\vec{\underline{p}}=\overrightarrow{L^{-1}_p p}$ ab

$$\delta^3(\overrightarrow{L_p^{-1}q}-\overrightarrow{L^{-1}_p p})=... ...rrightarrow{L_p^{-1}(q-p}))=\frac{1}{\vert\det J\vert}\delta^3(\vec{q}-\vec{p})$$ (9.67)

Dabei ist $J$ die $3 \times 3$-Matrix der partiellen Ableitungen von $\overrightarrow{L_p^{-1}(q-p})$ nach den Komponenten von $\vec{q}$ bei $q=p$. Sie hat die Matrixelemente (9.58)

$$J^i{}_j=\delta^i{}_j -\frac{p^ip^j}{p^0(p^0+m)}$$ (9.68)

Ihre Determinante ist das Produkt ihrer Eigenwerte. Von denen sind zwei $1$, denn Vektoren, die senkrecht auf $\vec{p}$ stehen, werden durch $J$ auf sich abgebildet. Zudem ist $\vec{p}$ Eigenvektor, $J\vec{p}= -\frac{m}{p^0}\vec{p}$. Die Determinante von $J$ hat also den Betrag $\frac{m}{p^0}$.

Für $N(p,\sigma)$ erhalten wir schließlich

$$N(p,\sigma) = \sqrt{\frac{m}{p^0}} .$$ (9.69)

Die Wirkung von eigentlichen Lorentztransformationen und Translationen auf Einteilchenzuständen

$$U_\Lambda \chi_{p\sigma}= \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}} \sum_{... ...Lambda,p)) ,\quad U_a \chi_{p\sigma} = e^{-\mathrm{i}a \cdot p} \chi_{p\sigma}$$ (9.70)

ist, wie behauptet, vollständig durch die Masse und den Spin des Teilchens festgelegt.

Wegen (9.60) ist die Wigner-Rotation, die zu einer Drehung $R$ gehört, unabhängig von $p$ und einfach $R$ selbst

$$W(R,p)= L_{Rp}{}^{-1} R L_p = L_{Rp}{}^{-1} ( R L_p R^{-1}) R = L_{Rp}{}^{-1} L_{Rp}{} R = R ,$$ (9.71)

und die Wirkung von Drehungen $R$ auf Basiszustände vereinfacht sich zu

$$U_R \chi_{p \sigma}= \sum_{\sigma^\prime}\chi_{Rp \sigma^\prime}D_{\sigma^\prime \sigma}(R) .$$ (9.72)

Die Ortswellenfunktionen $\psi_\sigma(t,\vec{x})=\langle \Lambda_{\vec{x} \sigma}\vert \Psi(t)\rangle$ normierbarer Wellenpakete (9.31)

$$\vert\Psi(t)\rangle = \sum_\sigma \int d^3p \vert\chi_{p \sigma}\rangle \tilde{\psi}_\sigma(p) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}p^0 t}$$ (9.73)

werden unabhängig vom Spin durch Translation verschoben

$$\begin{split}\vert U_a \Psi(t)\rangle &= \sum_\sigma \int d^3... ...mathrm{i}p^0 t}= \psi_\sigma(t+a^0,\vec{x}+\vec{a}) \end{split}$$ (9.74)

und durch Drehungen $R$ im Spin und Ort gedreht

$$\begin{split}\vert U_R \Psi(t)\rangle &= \sum_{\sigma^\prime ... ...a^\prime \sigma}(R) \psi_\sigma(t,R^{-1}\vec{x}) , \end{split}$$ (9.75)

wobei wir verwendet haben, daß sich das Skalarprodukt unter Drehungen nicht ändert $(R\vec{p})\vec{x}=(R\vec{p})(RR^{-1}\vec{x})=\vec{p}(R^{-1}\vec{x})$.

Lorentztransformationen wirken nicht in dieser einfachen Form

$$(U_\Lambda \psi)_\sigma (\Lambda x) \ne \sum_{\sigma^\prime} M_{\sigma \sigma^\prime}(\Lambda)\psi_{\sigma^\prime}(x) ,$$ (9.76)

wobei $M(\Lambda)$ Darstellungen der Lorentzgruppe sind, sondern sind nichtlokal. Um dies zu zeigen, schreiben wir den Einteilchenzustand

$$\Psi = \sum_\sigma\int\! d^3 p \chi_{p,\sigma} \tilde{\psi}_\... ...{p,\sigma}} D^{-1}_{\sigma\sigma^\prime}(L_p) \breve{\psi}_{\sigma^\prime}(p)$$ (9.77)

mit dem Lorentzinvarianten Maß $\tilde{d}p$ (9.42) als Superposition reskalierter Basiszustände

$$\hat{\chi}_{p,\sigma}=\sqrt{(2\pi)^3 2 p^0} \chi_{p,\sigma} ,\q... ...at{\chi}_{p,\sigma}\rangle = (2\pi)^3 2 p^0 \delta^3(\vec{p}^\prime-\vec{p}) ,$$ (9.78)

die einfacher transformieren

$$U_\Lambda \hat{\chi}_{p,\sigma} = \sum_{\sigma^\prime}\hat{\chi}_{\Lambda p,\sigma^\prime} D_{\sigma^\prime\sigma}(W(\Lambda,p)) .$$ (9.79)

Wir unterstellen, daß es sich bei den Darstellungsmatrizen $D$ der Drehgruppe um die Einschränkung einer Darstellung der Lorentzgruppe auf die Untergruppe der Drehungen handelt und spalten zudem die Matrixelementen $D^{-1}_{\sigma\sigma^\prime}(L_p)$ von den Amplituden ab. Dann hat $\Psi$ Koeffizientenfunktionen

$$\breve{\psi}_\sigma(p) = \sum_{\sigma^\prime}\sqrt{(2\pi)^3 2 p^0} D_{\sigma\sigma^\prime}(L_p) \tilde{\psi}_{\sigma^\prime}(p) .$$ (9.80)

Diese Funktionen $\breve{\psi}$ transformieren wie Felder, $(\breve{U_\Lambda \psi })_\sigma(p)= D_{\sigma\sigma^\prime}(\Lambda) \breve{\psi}_{\sigma^\prime}(\Lambda^{-1} p)$. Denn es gilt

$$U_\Lambda \Psi = \sum_{\sigma\sigma^\prime\sigma^{\prime\prime}} ... ...a^\prime\sigma^{\prime\prime}}(L_p) \tilde{\psi}_{\sigma^{\prime\prime}}(p) .$$ (9.81)

Das Produkt der Darstellungsmatrizen ist nach Definition der Wignerrotation gleich $D(L^{-1}_{{\Lambda p}}) D(\Lambda)$. Integrieren wir statt über $p$ über $p^\prime=\Lambda p$, so ändert sich das Integrationsmaß nicht und wir erhalten, wenn wir zudem den Strich $^\prime$ weglassen,

$$U_\Lambda \Psi = \sum_{\sigma\sigma^\prime\sigma^{\prime\prime}} ... ...\prime\prime}}(\Lambda) \tilde{\psi}_{\sigma^{\prime\prime}}(\Lambda^{-1}p) ,$$ (9.82)

woraus wir das Transformationsgesetz der Koeffizientenfunktion ablesen

$$(\breve{U_\Lambda \psi })_\sigma(p)=\sum_{\sigma^\prime} D_{\sigma\sigma^\prime}(\Lambda) \breve{\psi}_{\sigma^\prime}(\Lambda^{-1} p) .$$ (9.83)

Die Fouriertransformierte Koeffizientenfunktion

$$\check{\psi}_\sigma(x) = \int\!\tilde{d}p \mathrm{e}^{-\mathrm{i}p x}\breve{\psi}_\sigma(p)$$ (9.84)

transformiert folglich lokal, $(\check{U_\Lambda \psi })_\sigma(x)=\sum_{\sigma^\prime} D_{\sigma\sigma^\prime}(\Lambda) \check{\psi}_{\sigma^\prime}(\Lambda^{-1} x)$. Aber sie ist nicht die Ortwellenfunktion (9.38), sondern die Ortswellenfunktion ist die Fouriertransformierte der Impulswellenfunktion $\tilde{\psi}$

$$\psi_\sigma(t,x)=\int\!\frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e}^{-\m... ... x}\sqrt{2p^0}D^{-1}_{\sigma\sigma^\prime}(L_p) \breve{\psi}_{\sigma^\prime}(p)$$ (9.85)

also die Fouriertransformierte eines Produktes umd demnach ein Faltungsintegral der lokal transformierenden Funktion $\check{\psi}$ mit der Fouriertransformierten der Funktion $\sqrt{2p^0}D^{-1}_{\sigma\sigma^\prime}(L_p)$.

Da Ortswellenfunktionen unter Lorentztransformationen nichtlokal transformieren, muß es sich bei Feldern mit einem Transformationsgesetz

$$T_\Lambda \Phi_\alpha (x) = D_{\alpha \beta }(\Lambda) \Phi_\beta(\Lambda^{-1}x)$$ (9.86)

um etwas anderes handeln.