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Induzierte Darstellung

Die Darstellung $ D$ der Stabilitätsgruppe $ H_p$ auf den Zuständen mit festem Impuls $ p$ induziert die Darstellung $ U_\Lambda$ aller Lorentztransformationen. Sie wirkt auf dem Hilbertraum, der von Zuständen aufgespannt wird, deren Impulse auf der zu $ p$ gehörigen Massenschale liegen, also aus $ p$ durch Lorentztransformationen hervorgehen.

Um dies zu zeigen, betrachten wir die drehungsfreie Lorentztransformation $ L_p$, die den Viererimpuls $ \underline{p}=(m,0,0,0)$ des ruhenden Teilchens auf $ p$ abbildet

$\displaystyle L_p \underline{p}=p .$ (9.57)

Sie ist durch $ L_{\vec{v}}$ (9.7) mit $ \vec{v}=\vec{p}/p^0$ gegeben. In einer Zerlegung in $ (1+3)\times (1+3)$-Blöcke ist sie

$\displaystyle L_p = \frac{1}{m} \begin{pmatrix}p^0 & p^j p^i & m \delta^{ij} + \frac{p^i p^j}{p^0+m} \end{pmatrix} ,$ wobei $\displaystyle p^0=\sqrt{m^2+\vec{p}^2} .$ (9.58)

Hierbei zählen $ i$ und $ j$, $ i,j\in\{1,2,3\}$, die räumlichen Zeilen und Spalten ab. Eine Drehung $ R$ hat in derselben Zerlegung die Form

$\displaystyle R = \begin{pmatrix}1 & 0 0 & \hat{R} \end{pmatrix} ,\quad R^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 0 & \hat{R}^T \end{pmatrix} ,$ (9.59)

wobei $ \hat{R}$ eine dreidimensionale Drehung ist, $ \hat{R}^T=\hat{R}^{-1}$. Man rechnet elementar nach

$\displaystyle R L_p R^{-1}=L_{Rp} .$ (9.60)

Der zur Lorentztransformation $ L_p$ gehörige Operator $ U_{L_p}$ transformiert die Basis $ \chi_{\text{Ruhe} \sigma}$ der Zustände in Ruhe in eine Basis der Zustände mit Impuls $ p$. Wir denken uns die Basis $ \chi_{p\sigma}$ schon so gewählt, daß sie bis auf positive Normierungsfaktoren $ N(p,\sigma)$ mit $ U_{L_p}\chi_{\text{Ruhe} \sigma}$ übereinstimmt

$\displaystyle \chi_{p\sigma}= N(p,\sigma) U_{L_p}\chi_{\text{Ruhe} \sigma} .$ (9.61)

Wie $ U_\Lambda$ auf diese Basis wirkt, ist vollständig durch die Lorentzgruppe, ihre Wirkung auf $ p$ und die Darstellung $ D$ der Stabilitätsgruppe $ H_{\underline{p}}$ festgelegt.

$\displaystyle U_\Lambda \chi_{p\sigma}=N(p,\sigma) U_\Lambda U_{L_p}\chi_{\text...
...Lambda p}} U_{L_{\Lambda p}}{}^{-1} U_\Lambda U_{L_p}\chi_{\text{Ruhe} \sigma}$ (9.62)

Die Operatoren $ U_\Lambda$ sind eine Darstellung, folglich ist $ U_{L_{\Lambda p}}{}^{-1} U_\Lambda U_{L_p}=U_{W}$ mit

$\displaystyle W(\Lambda,p)={L_{\Lambda p}}^{-1} \Lambda {L_p} .$ (9.63)

Es ist aber $ W(\Lambda,p)$ eine Lorentztransformation, die $ \underline{p}$ zunächst mit $ L_p$ auf $ p$ abbildet, dann auf $ \Lambda p$ und schließlich drehungsfrei mit $ L_{\Lambda p}^{-1}$ zurück auf $ \underline{p}$. Sie läßt also $ \underline{p}$ invariant und ist eine Drehung, die sogenannte Wigner-Rotation.

Drehungen $ W$ werden durch $ D(W)$ dargestellt

$\displaystyle U_\Lambda \chi_{p\sigma}= N(p,\sigma) U_{L_{\Lambda p}} U_W \chi_...
...um_{\sigma^\prime} \chi_{\text{Ruhe} \sigma^\prime}D_{\sigma^\prime \sigma}(W)$ (9.64)

und mit (9.61) ergibt sich

$\displaystyle U_\Lambda \chi_{p\sigma}=\sum_{\sigma^\prime} \frac{N(p,\sigma)}{...
...ime)} \chi_{\Lambda p  \sigma^\prime}D_{\sigma^\prime \sigma}(W(\Lambda,p)) .$ (9.65)

Aus der Normierungsbedingung (9.30) folgen die Normierungsfaktoren $ N(p,\sigma)$

\begin{equation*}\begin{aligned}\delta^3(\vec{q} -\vec{p})\delta_{\nu \sigma} = ...
...}{N(L_p^{-1}q,\nu)} D^*_{\sigma \nu}(W(L_p^{-1},q)) \end{aligned}\end{equation*}

Wegen $ f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)$ kann der Faktor bei der $ \delta$-Funktion dort ausgewertet werden, wo $ \overrightarrow{L_p^{-1}q}$ verschwindet, also bei $ q=p$. Dort ist die Wigner-Rotation $ W(L_p^{-1},p)$ wegen $ L_p^{-1} p=\underline{p}$ die Identität, $ L_{L_p^{-1}p} L_p^{-1}L_p = L_{L_p^{-1}p}=L_{\underline{p}}=\mathbf 1 $. Sie wird durch $ D(1)=1$ dargestellt, $ D^*_{\sigma \nu}(W(L_p^{-1},p))=\delta_{\sigma\nu}$.

Die Normierungsfaktoren vereinfachen sich bei $ q=p$ zu $ N(p,\sigma)^2$, denn $ N(\underline{p},\nu)=1$.

Vom Argument der $ \delta$-Funktion ziehen wir $ \vec{0}=\vec{\underline{p}}=\overrightarrow{L^{-1}_p p}$ ab

$\displaystyle \delta^3(\overrightarrow{L_p^{-1}q}-\overrightarrow{L^{-1}_p p})=...
...rrightarrow{L_p^{-1}(q-p}))=\frac{1}{\vert\det J\vert}\delta^3(\vec{q}-\vec{p})$ (9.67)

Dabei ist $ J$ die $ 3 \times 3$-Matrix der partiellen Ableitungen von $ \overrightarrow{L_p^{-1}(q-p})$ nach den Komponenten von $ \vec{q}$ bei $ q=p$. Sie hat die Matrixelemente (9.58)

$\displaystyle J^i{}_j=\delta^i{}_j -\frac{p^ip^j}{p^0(p^0+m)}$ (9.68)

Ihre Determinante ist das Produkt ihrer Eigenwerte. Von denen sind zwei $ 1$, denn Vektoren, die senkrecht auf $ \vec{p}$ stehen, werden durch $ J$ auf sich abgebildet. Zudem ist $ \vec{p}$ Eigenvektor, $ J\vec{p}= -\frac{m}{p^0}\vec{p}$. Die Determinante von $ J$ hat also den Betrag $ \frac{m}{p^0}$.

Für $ N(p,\sigma)$ erhalten wir schließlich

$\displaystyle N(p,\sigma) = \sqrt{\frac{m}{p^0}} .$ (9.69)

Die Wirkung von eigentlichen Lorentztransformationen und Translationen auf Einteilchenzuständen

$\displaystyle U_\Lambda \chi_{p\sigma}= \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}} \sum_{...
...Lambda,p)) ,\quad U_a \chi_{p\sigma} = e^{-\mathrm{i}a \cdot p} \chi_{p\sigma}$ (9.70)

ist, wie behauptet, vollständig durch die Masse und den Spin des Teilchens festgelegt.

Wegen (9.60) ist die Wigner-Rotation, die zu einer Drehung $ R$ gehört, unabhängig von $ p$ und einfach $ R$ selbst

$\displaystyle W(R,p)= L_{Rp}{}^{-1} R L_p = L_{Rp}{}^{-1} ( R L_p R^{-1}) R = L_{Rp}{}^{-1} L_{Rp}{} R = R ,$ (9.71)

und die Wirkung von Drehungen $ R$ auf Basiszustände vereinfacht sich zu

$\displaystyle U_R \chi_{p \sigma}= \sum_{\sigma^\prime}\chi_{Rp \sigma^\prime}D_{\sigma^\prime \sigma}(R) .$ (9.72)

Die Ortswellenfunktionen $ \psi_\sigma(t,\vec{x})=\langle \Lambda_{\vec{x} \sigma}\vert \Psi(t)\rangle $ normierbarer Wellenpakete (9.31)

$\displaystyle \vert\Psi(t)\rangle = \sum_\sigma \int d^3p  \vert\chi_{p \sigma}\rangle \tilde{\psi}_\sigma(p) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}p^0 t}$ (9.73)

werden unabhängig vom Spin durch Translation verschoben

\begin{displaymath}\begin{split}\vert U_a \Psi(t)\rangle &= \sum_\sigma \int d^3...
...mathrm{i}p^0 t}= \psi_\sigma(t+a^0,\vec{x}+\vec{a}) \end{split}\end{displaymath} (9.74)

und durch Drehungen $ R$ im Spin und Ort gedreht

\begin{displaymath}\begin{split}\vert U_R \Psi(t)\rangle &= \sum_{\sigma^\prime ...
...a^\prime \sigma}(R) \psi_\sigma(t,R^{-1}\vec{x}) , \end{split}\end{displaymath} (9.75)

wobei wir verwendet haben, daß sich das Skalarprodukt unter Drehungen nicht ändert $ (R\vec{p})\vec{x}=(R\vec{p})(RR^{-1}\vec{x})=\vec{p}(R^{-1}\vec{x})$.

Lorentztransformationen wirken nicht in dieser einfachen Form

$\displaystyle (U_\Lambda \psi)_\sigma (\Lambda x) \ne \sum_{\sigma^\prime} M_{\sigma \sigma^\prime}(\Lambda)\psi_{\sigma^\prime}(x) ,$ (9.76)

wobei $ M(\Lambda)$ Darstellungen der Lorentzgruppe sind, sondern sind nichtlokal. Um dies zu zeigen, schreiben wir den Einteilchenzustand

$\displaystyle \Psi = \sum_\sigma\int\! d^3 p  \chi_{p,\sigma}  \tilde{\psi}_\...
...{p,\sigma}} D^{-1}_{\sigma\sigma^\prime}(L_p) \breve{\psi}_{\sigma^\prime}(p)$ (9.77)

mit dem Lorentzinvarianten Maß $ \tilde{d}p$ (9.42) als Superposition reskalierter Basiszustände

$\displaystyle \hat{\chi}_{p,\sigma}=\sqrt{(2\pi)^3 2 p^0} \chi_{p,\sigma} ,\q...
...at{\chi}_{p,\sigma}\rangle = (2\pi)^3 2 p^0 \delta^3(\vec{p}^\prime-\vec{p}) ,$ (9.78)

die einfacher transformieren

$\displaystyle U_\Lambda \hat{\chi}_{p,\sigma} = \sum_{\sigma^\prime}\hat{\chi}_{\Lambda p,\sigma^\prime}  D_{\sigma^\prime\sigma}(W(\Lambda,p)) .$ (9.79)

Wir unterstellen, daß es sich bei den Darstellungsmatrizen $ D$ der Drehgruppe um die Einschränkung einer Darstellung der Lorentzgruppe auf die Untergruppe der Drehungen handelt und spalten zudem die Matrixelementen $ D^{-1}_{\sigma\sigma^\prime}(L_p)$ von den Amplituden ab. Dann hat $ \Psi$ Koeffizientenfunktionen

$\displaystyle \breve{\psi}_\sigma(p) = \sum_{\sigma^\prime}\sqrt{(2\pi)^3 2 p^0} D_{\sigma\sigma^\prime}(L_p) \tilde{\psi}_{\sigma^\prime}(p) .$ (9.80)

Diese Funktionen $ \breve{\psi}$ transformieren wie Felder, $ (\breve{U_\Lambda \psi })_\sigma(p)=
D_{\sigma\sigma^\prime}(\Lambda) \breve{\psi}_{\sigma^\prime}(\Lambda^{-1} p)$. Denn es gilt

$\displaystyle U_\Lambda \Psi = \sum_{\sigma\sigma^\prime\sigma^{\prime\prime}} ...
...a^\prime\sigma^{\prime\prime}}(L_p) \tilde{\psi}_{\sigma^{\prime\prime}}(p) .$ (9.81)

Das Produkt der Darstellungsmatrizen ist nach Definition der Wignerrotation gleich $ D(L^{-1}_{{\Lambda p}}) D(\Lambda)$. Integrieren wir statt über $ p$ über $ p^\prime=\Lambda p$, so ändert sich das Integrationsmaß nicht und wir erhalten, wenn wir zudem den Strich $ ^\prime$ weglassen,

$\displaystyle U_\Lambda \Psi = \sum_{\sigma\sigma^\prime\sigma^{\prime\prime}} ...
...\prime\prime}}(\Lambda) \tilde{\psi}_{\sigma^{\prime\prime}}(\Lambda^{-1}p) ,$ (9.82)

woraus wir das Transformationsgesetz der Koeffizientenfunktion ablesen

$\displaystyle (\breve{U_\Lambda \psi })_\sigma(p)=\sum_{\sigma^\prime} D_{\sigma\sigma^\prime}(\Lambda) \breve{\psi}_{\sigma^\prime}(\Lambda^{-1} p) .$ (9.83)

Die Fouriertransformierte Koeffizientenfunktion

$\displaystyle \check{\psi}_\sigma(x) = \int\!\tilde{d}p  \mathrm{e}^{-\mathrm{i}p x}\breve{\psi}_\sigma(p)$ (9.84)

transformiert folglich lokal, $ (\check{U_\Lambda \psi })_\sigma(x)=\sum_{\sigma^\prime}
D_{\sigma\sigma^\prime}(\Lambda) \check{\psi}_{\sigma^\prime}(\Lambda^{-1} x)$. Aber sie ist nicht die Ortwellenfunktion (9.38), sondern die Ortswellenfunktion ist die Fouriertransformierte der Impulswellenfunktion $ \tilde{\psi}$

$\displaystyle \psi_\sigma(t,x)=\int\!\frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e}^{-\m...
... x}\sqrt{2p^0}D^{-1}_{\sigma\sigma^\prime}(L_p) \breve{\psi}_{\sigma^\prime}(p)$ (9.85)

also die Fouriertransformierte eines Produktes umd demnach ein Faltungsintegral der lokal transformierenden Funktion $ \check{\psi}$ mit der Fouriertransformierten der Funktion $ \sqrt{2p^0}D^{-1}_{\sigma\sigma^\prime}(L_p)$.

Da Ortswellenfunktionen unter Lorentztransformationen nichtlokal transformieren, muß es sich bei Feldern mit einem Transformationsgesetz

$\displaystyle T_\Lambda \Phi_\alpha (x) = D_{\alpha \beta }(\Lambda) \Phi_\beta(\Lambda^{-1}x)$ (9.86)

um etwas anderes handeln.




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