Matrixalgebra

Gemäß (1.10) läßt sich das Skalarprodukt einfach aus den Komponenten berechnen.

$$\langle \Phi\vert\Psi\rangle =\sum_j \phi_j^*\psi_j$$ (1.14)

Ordnet man die Komponenten eines Ket-Vektors als Spalte an und die Komponenten des Bra-Vektors als Zeile - sie sind wegen (1.12) die komplex konjugierten Komponenten des zugehörigen Ket-Vektors - dann erhält man das Skalarprodukt durch Matrixmultiplikation der Zeile mit der Spalte.

Wendet man einen Operator $A$ auf einen Vektor $\Psi$ an, so erhält man den Spaltenvektor der Komponenten von $A\Psi$ durch Matrixmultiplikation der Matrix, die in der $n$-ten Zeile und $m$-ten Spalte das Matrixelement

$$A_{nm}=\langle \Lambda_n \vert A \Lambda_m\rangle$$ (1.15)

enthält, mit dem Spaltenvektor der Komponenten von $\Psi$,

$$(A\Psi)_n = \langle \Lambda_n \vert A \Psi\rangle = \sum_m \langl... ...A \Lambda_m\rangle \langle \Lambda_m \vert \Psi\rangle = \sum_m A_{nm}\psi_m .$$ (1.16)

Der hermitesch adjungierte Operator $A^\dagger$ eines linearen Operators $A$ ist durch

$$\langle \Lambda \vert A \Psi \rangle = \langle A^\dagger \Lambda \vert \Psi \rangle \forall \Lambda,\Psi$$ (1.17)

definiert. Beim hermitesch Adjungieren eines Produkts von Operatoren wird die Reihenfolge gespiegelt

$$\langle \Lambda \vert A B\Psi \rangle = \langle A^\dagger \Lambda... ...\dagger \Lambda \vert \Psi \rangle ,\quad (AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger ,$$ (1.18)

Zahlen werden komplex konjugiert $c^\dagger=c^*$. Hermitesch adjungierte (transponierte und komplex konjugierte) Matrizen entsprechen hermitesch adjungierten Operatoren.

$$(A^{\dagger})_{nm}=\langle \Lambda_n \vert A^\dagger \Lambda_m\ra... ...vert \Lambda_m\rangle = \langle \Lambda_m \vert A \Lambda_n\rangle^* = A_{mn}^*$$ (1.19)

Mit den Matrixelementen $A_{nm}$ und den Basisvektoren schreiben sich in Bracket-Schreibweise die Operatoren $A$ als

$$A=\sum_{nm} \vert\Lambda_n\rangle A_{nm} \langle \Lambda_m \vert ,$$ (1.20)

oder in konventionellerer Schreibweise als

$$A: \Psi \mapsto \sum_{nm} \Lambda_n A_{nm}\langle \Lambda_m\vert\Psi\rangle .$$ (1.21)