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Matrixalgebra

Gemäß (1.10) läßt sich das Skalarprodukt einfach aus den Komponenten berechnen.

$\displaystyle \langle \Phi\vert\Psi\rangle =\sum_j \phi_j^*\psi_j$ (1.14)

Ordnet man die Komponenten eines Ket-Vektors als Spalte an und die Komponenten des Bra-Vektors als Zeile - sie sind wegen (1.12) die komplex konjugierten Komponenten des zugehörigen Ket-Vektors - dann erhält man das Skalarprodukt durch Matrixmultiplikation der Zeile mit der Spalte.

Wendet man einen Operator $ A$ auf einen Vektor $ \Psi$ an, so erhält man den Spaltenvektor der Komponenten von $ A\Psi$ durch Matrixmultiplikation der Matrix, die in der $ n$-ten Zeile und $ m$-ten Spalte das Matrixelement

$\displaystyle A_{nm}=\langle \Lambda_n \vert A \Lambda_m\rangle$ (1.15)

enthält, mit dem Spaltenvektor der Komponenten von $ \Psi$,

$\displaystyle (A\Psi)_n = \langle \Lambda_n \vert A \Psi\rangle = \sum_m \langl...
...A \Lambda_m\rangle \langle \Lambda_m \vert \Psi\rangle = \sum_m A_{nm}\psi_m .$ (1.16)

Der hermitesch adjungierte Operator $ A^\dagger$ eines linearen Operators $ A$ ist durch

$\displaystyle \langle \Lambda \vert A \Psi \rangle = \langle A^\dagger \Lambda \vert \Psi \rangle   \forall \Lambda,\Psi$ (1.17)

definiert. Beim hermitesch Adjungieren eines Produkts von Operatoren wird die Reihenfolge gespiegelt

$\displaystyle \langle \Lambda \vert A B\Psi \rangle = \langle A^\dagger \Lambda...
...\dagger \Lambda \vert \Psi \rangle  ,\quad (AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger ,$ (1.18)

Zahlen werden komplex konjugiert $ c^\dagger=c^*$. Hermitesch adjungierte (transponierte und komplex konjugierte) Matrizen entsprechen hermitesch adjungierten Operatoren.

$\displaystyle (A^{\dagger})_{nm}=\langle \Lambda_n \vert A^\dagger \Lambda_m\ra...
...vert \Lambda_m\rangle = \langle \Lambda_m \vert A \Lambda_n\rangle^* = A_{mn}^*$ (1.19)

Mit den Matrixelementen $ A_{nm}$ und den Basisvektoren schreiben sich in Bracket-Schreibweise die Operatoren $ A$ als

$\displaystyle A=\sum_{nm} \vert\Lambda_n\rangle A_{nm} \langle \Lambda_m \vert  ,$ (1.20)

oder in konventionellerer Schreibweise als

$\displaystyle A: \Psi \mapsto \sum_{nm} \Lambda_n A_{nm}\langle \Lambda_m\vert\Psi\rangle .$ (1.21)




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