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Zeitumkehr und Raumspiegelung

Die Zeitumkehr muß, wenn überhaupt, im Hilbertraum als antiunitäre Operation $ T$ realisiert sein, wenn der Hamiltonoperator ein nach unten beschränktes und nach oben unbeschränktes Spektrum hat.

Wegen (9.24) gilt nämlich

$\displaystyle T U_a T^{-1} = U_{{\mathcal T}a } ,\quad T \mathrm{e}^{-\mathrm{...
...rm{i}({\mathcal{T}}a)\cdot P} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}a\cdot ({\mathcal{T}}P)}$ (9.87)

also

$\displaystyle T(\mathrm{i}P^0)T^{-1}= -\mathrm{i}P^0 ,\quad T(\mathrm{i}\vec{P})T^{-1}= \mathrm{i}\vec{P} .$ (9.88)

Falls nun $ T$ linear wäre, würde $ T P^0T^{-1}= - P^0$ folgen. Zu jedem Energieeigenzustand $ \chi_E$ mit Energie $ E$, $ P^0\chi_E= E \chi_E$, gäbe es dann den Zustand $ T\chi_E$ mit Energie $ -E$.

$\displaystyle P^0 (T\chi_E) = - (T P^0 T^{-1}) (T \chi_E) = - T P^0 \chi_E = - E (T \chi_E)$ (9.89)

Wenn das Energiespektrum nicht spiegelsymmetrisch zu Null ist, wie das in allen physikalisch akzeptablen Theorien der Fall ist, so ist $ T$ antilinear

$\displaystyle T (c\Psi) = c^* (T\Psi) ,\quad \forall c \in {\mathbb{C}} \forall \Psi \in {\mathcal{H}} .$ (9.90)

und erfüllt in relativistischer Quantenmechanik

$\displaystyle TP^0 T^{-1}= P^0 ,T\vec{P}T^{-1}=-\vec{P} .$ (9.91)

Die Zeitumkehr dreht also Impulse um und läßt Energien unverändert.

Wegen $ U_{\Lambda_1}U_{\Lambda_2}=U_{\Lambda_1 \Lambda_2}$ folgt $ TU_\Lambda T^{-1}=U_{{\mathcal T}\Lambda {\mathcal T}^{-1}}$ und damit das Transformationsverhalten der Erzeugenden $ M^{0i}$ und $ M^{ij}$ von drehungsfreien Lorentztransformationen und Drehungen. In beiden Fällen ist $ U_\Lambda = \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{2}\omega_{mn}M^{mn}}$ wobei $ \Lambda$ die Matrix $ \mathrm{e}^{\omega}$ ist. Einerseits gilt $ {\mathcal T}\Lambda {\mathcal T}^{-1} = \mathrm{e}^{{\mathcal T}\omega{\mathcal T}^{-1}}=\mathrm{e}^{(\omega^t)}$ mit $ \omega^t_{0i}=-\omega_{0i}$ und $ \omega^t_{ij}=\omega_{ij}$ und andererseits $ T \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{2}\omega_{mn}M^{mn}} T^{-1}$ = $ \mathrm{e}^{T\frac{\mathrm{i}}{2}\omega_{mn}M^{mn}T^{-1}}
=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{2}\omega_{mn}TM^{mn}T^{-1}} $, da $ T$ antilinear ist, und folglich

$\displaystyle T M^{0i}T^{-1}=M^{0i} ,\quad T M^{ij}T^{-1}=- M^{ij} .$ (9.92)

Es werden also Spins umgedreht, nicht aber Boostoperatoren. Daß die Geschwindigkeit von drehungsfreien Lorentztransformationen $ L_{\vec{v}}$ umgedreht wird, folgt aus der Antilinearität von $ T$.



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