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lim $ {}_{\varepsilon\rightarrow 0+}   \frac{1}{x+\mathrm{i} \varepsilon} =$   PV$  \frac{1}{x}-\mathrm{i}\pi\delta(x)$

Um den Grenzwert $ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}  \frac{1}{x+\mathrm{i} \varepsilon}$ zu untersuchen, wenden wir $ \frac{1}{x+\mathrm{i} \varepsilon}=\frac{x -\mathrm{i} \varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}$ auf eine reelle Testfunktionen $ t(x)$ an.

Der Imaginärteil wird durch Variablensubstitution identifiziert.

$\displaystyle \int\!\mathrm{d}x t(x) \frac{-\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}=-...
...xt{sign}}(\varepsilon)\! \int\! \mathrm{d}x  t(\varepsilon x) \frac{1}{1+x^2}$    

Bei stetigen, beschränkten Testfunktionen $ t(x)$ strebt dies für $ \varepsilon\rightarrow 0+$ gegen

$\displaystyle -t(0)\int\! \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=-\pi t(0) = - \int\! \mathrm{d}x  t(x) \pi\delta (x) .$ (10.1)

Der Realteil $ \frac{x}{x^2+\varepsilon^2}$ ist eine ungerade Funktion von $ x$. Auf eine Testfunktion $ t(x)$ angewendet, die für große $ x$ genügend schnell abfällt, trägt daher nur deren ungerader Anteil $ x\hat{t}(x)$ bei.

$\displaystyle t(x) - t(-x)= 2 x  \hat{t}(x)$ (10.2)

\begin{displaymath}\begin{split}&\int\! \mathrm{d}x  t(x) \frac{x}{x^2+ \varep...
...n\rightarrow 0}]{} \int\! \mathrm{d}x  \hat{t}(x) \end{split}\end{displaymath} (10.3)

Für differenzierbare Testfunktionen $ t$ ist $ \hat{t}$ stetig ergänzbar bei $ x=0$ und hat dort den Wert $ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$. Das Integral über $ \hat{t}$ ist der Hauptwert (principal value) PV $ \frac{1}{x}$ integriert mit einer Testfunktion $ t(x)$.

$\displaystyle \int\! \mathrm{d}x  \frac{1}{2} \frac{t(x)-t(-x)}{x} =\lim_{\va...
...rm{d}x \frac{t(x)}{x} \bigr ) =- \mspace{-19mu}\int \mathrm{d}x \frac{t(x)}{x}$ (10.4)

Damit ist die Behauptung

$\displaystyle \lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}  \frac{1}{x+\mathrm{i} \varepsilon} =$   PV$\displaystyle  \frac{1}{x}-\mathrm{i}\pi\delta(x)$ (10.5)

gezeigt.




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