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lim$ _{t\rightarrow \infty}\frac{\sin^2(tx)}{tx^2}=\pi\delta(x)$

Das Integral mit einer Testfunktion $ f(x)$ schreibt sich als

$\displaystyle \int\! \mathrm{d}x  f(x)  \frac{\sin^2(tx)}{tx^2} = \int\! t \m...
...ac{\sin^2tx}{(tx)^2}= \int\! \mathrm{d}x  f(\frac{x}{t})  \frac{\sin^2x}{x^2}$ (11.1)

und strebt, falls $ f$ eine stetige, beschränkte Testfunktion ist, für $ t\rightarrow \infty$ gegen

$\displaystyle f(0)\int \mathrm{d}x  \frac{\sin^2x}{x^2}= f(0)\pi .$ (11.2)

Es ist also

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty}\frac{\sin^2(tx)}{tx^2}=\pi\delta(x) .$ (11.3)



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