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Bemerkung zur Fouriertransformation

Fouriertransformation bildet quadratintegrable Funktionen $ \psi$ unitär auf quadratintegrable Funktionen $ \tilde{\psi}$ ab

$\displaystyle \widetilde{\psi}(x)=\int\! \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{2\pi}}  \mat...
...frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{2\pi}}  \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x y}\tilde{\psi}(y)  ,$ (12.1)

denn das Skalarprodukt

$\displaystyle \int\!\mathrm{d}x  \widetilde{\phi}^*(x)\widetilde{\psi}(x)= \in...
...e}^{-\mathrm{i}x y} \mathrm{e}^{\mathrm{i}x y^\prime}  \phi^*(y)\psi(y^\prime)$ (12.2)

stimmt wegen (3.49) mit dem ursprünglichen Skalarprodukt $ \int\!\mathrm{d}y  \phi^*(y)\psi(y)$ überein. Wegen $   \widetilde{\mspace{-6mu}\widetilde{f}}(x)=f(-x)$ führt vierfach hintereinander ausgeführte Fouriertransformation zur Ausgangsfunktion $ f$ zurück. Da die Fouriertransformation unitär ist, kann sie nur Eigenwerte $ \lambda$ vom Betrag $ 1$ haben, die zudem $ \lambda^4=1$ erfüllen. Die möglichen Eigenwerte sind also $ \pm 1,\pm \mathrm{i}$. Zerlegt man eine Funktion in $ f=g+u$ in einen geraden $ g(x)=g(-x)$ und einen ungeraden $ u(x)=-u(-x)$ Anteil, so kann man $ f$ als Summe von vier Eigenanteilen unter Fouriertransformation mit den Eigenwerten $ \pm 1,\pm \mathrm{i}$ schreiben: $ g=1/2(g+\tilde{g})+1/2(g-\tilde{g})$ und $ u=1/2(u-\mathrm{i}\tilde{u})+1/2(u+\mathrm{i}\tilde{u})$.

Daß Fouriertransformation eine Funktion wie die Gaußfunktion wieder auf sich abbildet, ist also nicht außergewöhnlich.



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