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Ableitung der Determinante

Die Determinante einer Matrix $ M$ ist eine polynomiale Funktion der Matrixelemente $ M^i{}_{j}$. Aus ihrer Definition

$\displaystyle \det M = \varepsilon_{i_1i_2\dots i_n}M^{i_1}{}_1M^{i_2}{}_2\dots M^{i_n}{}_n$ (13.1)

folgt durch Differenzieren

$\displaystyle \frac{\partial \det M}{\partial M^{i}{}_j}= \varepsilon_{i_1,\dot...
..._n}M^{i_1}{}_1 \dots M^{i_{j-1}}{}_{j-1}M^{i_{j+1}}{}_{j+1}\dots M^{i_n}{}_n .$ (13.2)

Multipliziert man das Ergebnis mit $ M^{i}{}_l$ und summiert über $ i$, so erhält man wieder die Determinante, wenn $ l=j$ ist. Im anderen Fall $ l\ne j$ erhält man Null, weil in der Summe mit dem $ \epsilon$- Tensor schon $ M^{i_l}{}_l$ steht und $ \varepsilon$ total antisymmetrisch ist. Damit ist die Ableitung $ \frac{\partial \det M}{\partial M^{i}{}_j}$ identifiziert.

$\displaystyle \frac{\partial \det M}{\partial M^i{}_j}=\det M (M^{-1})^j{}_i$ (13.3)

Die Ableitung der Determinante einer einparametrigen Schar von Matrizen $ M(\alpha)$ ist daher nach Kettenregel

$\displaystyle \partial_\alpha \det M(\alpha) = \det M (M^{-1})^j{}_i  \partial_\alpha M^i{}_j .$ (13.4)

Ist für $ \alpha=0$ die Matrix $ M(0)=\mathbbm{1}$, so ist dort die Ableitung der Determinante die Spur der abgeleiteten Matrix $ \partial_\alpha M_{\vert _{\alpha=0}}$

$\displaystyle \partial_\alpha \det M_{\vert _{\alpha=0}}=1\cdot \delta^i{}_j  ...
... M^i{}_j{}_{\vert _{\alpha=0}} =\partial_\alpha M^i{}_i{}_{\vert _{\alpha=0}} =$tr $\displaystyle \partial_\alpha M_{\vert _{\alpha=0}}$ (13.5)




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