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Projektoren, Zerlegung der Eins

Gemäß (1.11) wird jeder Zustand $ \vert\Psi\rangle$ von $ \sum_j \vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert$ auf sich abgebildet, die Summe ist also der $ \mathbbm{1}$-Operator

$\displaystyle \mathbbm{1}=\sum_j \vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert .$ (1.22)

Die einzelnen Anteile

$\displaystyle P_j=\vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert$ (1.23)

sind Projektoren

$\displaystyle P_j^2=P_j$ (1.24)

auf zueinander orthogonale Unterräume

$\displaystyle P_iP_j=0$    falls $\displaystyle i\ne j .$ (1.25)

Die Darstellung (1.22) des $ \mathbbm{1}$-Operators als Summe von Projektionsoperatoren nennt man eine Zerlegung der Eins.

Mit Zerlegungen der Eins und der Bracket-Schreibweise ist die beim Basiswechsel zu bewältigende Algebra sehr übersichtlich: Seien $ \vert\Gamma_i\rangle$ und $ \vert\Lambda_i\rangle$ zwei Orthonormalbasen. Der Zusammenhang zwischen den Komponenten in den verschiedenen Basen ergibt sich, wenn man eine Zerlegung der Eins einschiebt

$\displaystyle \langle \Gamma_i \vert\Psi\rangle = \sum_j \langle \Gamma_i \vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert \Psi \rangle .$ (1.26)




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