Projektoren, Zerlegung der Eins

Gemäß (1.11) wird jeder Zustand $\vert\Psi\rangle$ von $\sum_j \vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert$ auf sich abgebildet, die Summe ist also der $\mathbbm{1}$-Operator

$$\mathbbm{1}=\sum_j \vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert .$$ (1.22)

Die einzelnen Anteile

$$P_j=\vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert$$ (1.23)

sind Projektoren

$$P_j^2=P_j$$ (1.24)

auf zueinander orthogonale Unterräume

$$P_iP_j=0 i\ne j .$$ (1.25)

Die Darstellung (1.22) des $\mathbbm{1}$-Operators als Summe von Projektionsoperatoren nennt man eine Zerlegung der Eins.

Mit Zerlegungen der Eins und der Bracket-Schreibweise ist die beim Basiswechsel zu bewältigende Algebra sehr übersichtlich: Seien $\vert\Gamma_i\rangle$ und $\vert\Lambda_i\rangle$ zwei Orthonormalbasen. Der Zusammenhang zwischen den Komponenten in den verschiedenen Basen ergibt sich, wenn man eine Zerlegung der Eins einschiebt

$$\langle \Gamma_i \vert\Psi\rangle = \sum_j \langle \Gamma_i \vert\Lambda_j\rangle \langle \Lambda_j \vert \Psi \rangle .$$ (1.26)