Nächste Seite: Strahlen im Hilbertraum Aufwärts: Wahrscheinlichkeit von Me▀werten Vorherige Seite: Projektoren, Zerlegung der Eins   Inhalt   Index

Endliche Norm

Der Hilbertraum der Zustände ist oft (abhängig von den präparierten und zu vermessenden Systemen) nicht endlichdimensional und die Summen über Basen müssen auf ihre Konvergenz geprüft werden. Wir unterschlagen in unserer Diskussion der Quantenmechanik fast alle damit verbundenen Komplikationen. Es sei hier nur bemerkt, daß Vektoren im Hilbertraum ein endliches Skalarprodukt haben

$\displaystyle \langle \Psi \vert \Psi \rangle = \sum_j \psi_j^* \psi_j < \infty$ (1.27)

und daß daher die Komponenten $ \psi_j$ quadratsummierbar sein müssen. Umgedreht definiert bei gegebener Orthonormalbasis jede quadratsummierbare Folge $ \psi_n,  n=0,1,2,\dots$, einen Vektor im Hilbertraum.

Für physikalische Zustände gilt einschränkender, daß die Betragsquadrate der Komponenten die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der zugehörigen Meßwerte sind. Wahrscheinlichkeiten erfüllen Summenregeln: wenn man die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen, sich gegenseitig ausschließende Fälle addiert, erhält man die Gesamtwahrscheinlichkeit $ 1$.

$\displaystyle 1=\sum_i w(i,A,\Psi)=\sum_i \vert\psi_i \vert^2 = \langle \Psi \vert \Psi \rangle$ (1.28)

Jeder zu einem physikalischen Zustand gehörige Vektor im Hilbertraum ist normiert.

Es gehört nicht, wie man manchmal in Umkehrung des Sachverhalts hört, zu jeden Vektor im Hilbertraum ein physikalischer Zustand. Insbesondere gehört zum Vektor 0 im Hilbertraum kein physikalischer Zustand, auch wenn der Grundzustand oft als $ \vert\rangle $ bezeichnet und mit dem Vektor 0 verwechselt wird.




Nächste Seite: Strahlen im Hilbertraum Aufwärts: Wahrscheinlichkeit von Me▀werten Vorherige Seite: Projektoren, Zerlegung der Eins   Inhalt   Index
FAQ Homepage