Strahlen im Hilbertraum

Gemäß (1.6) und (1.28) gehören Zustände zu Vektoren auf der Einheitskugel des Hilbertraums. Aus der Grundgleichung (1.1) für Wahrscheinlichkeiten von Meßwerten folgt weiterhin, daß ein Einheitsvektor $\Psi$ und der mit einer Phase multiplizierte Vektor $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\Psi$ zu demselben physikalischen Zustand gehören, denn für alle Meßapparate $A$ stimmen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Meßwerte überein

$$w(i,A,\Psi)=w(i,A,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\Psi) \forall \alpha \in \mathbbm{R} .$$ (1.29)

Demnach gehören physikalische Zustände zu Äquivalenzklassen von Einheitsvektoren mit der Äquivalenzrelation

$$\Psi \sim \Psi^\prime \Leftrightarrow \exists \alpha \in \mathbbm{R}: \Psi = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} \Psi^\prime .$$ (1.30)

Eleganter als der Begriff ,,Einheitsvektor bis auf eine Phase`` ist der gleichwertige Begriff eines ,,Strahls im Hilbertraum`` . Der zum Vektor $\Psi\ne 0$ gehörige Strahl ist der komplex eindimensionale Unterraum, der von ihm aufgespannt wird. Ordnet man physikalischen Zuständen Strahlen im Hilbertraum zu, ist die Grundgleichung (1.1) für die Wahrscheinlichkeit von Meßwerten $a_i$ so abzuändern, daß sie unabhängig von der Normierung der Vektoren $\Lambda_i\ne 0$ und $\Psi\ne 0$ wird, die man als Repräsentanten ihrer Strahlen wählt.

$$w(i,A,\Psi)=\frac{\vert\langle\Lambda_i \vert\Psi \rangle\vert^2} { \langle \Lambda_i \vert \Lambda_i \rangle \langle \Psi \vert \Psi \rangle }$$ (1.31)

Da Zustände Strahlen im Hilbertraum sind, kann man sie genau genommen nicht addieren. Zwar kann man die Vektoren addieren, aus denen zwei verschiedene Strahlen bestehen, aber die Summen bilden keinen Strahl, sondern einen zweidimensionalen Unterraum des Hilbertraumes. Hingegen können aus Repräsentanten $\Psi$ und $\Phi$ der zwei Strahlen auf viele Arten Superpositionen, der zu $a \Psi + b \Phi$ gehörige Strahl, gebildet werden, wobei $\lambda (a \Psi + b \Phi)$ mit $\lambda\ne 0$ zu demselben Zustand gehört.

Die verschiedenen Superpositionen zweier verschiedener Zustände $\Psi$ und $\Phi$ bilden den Raum $CP^1=S^2$, jede gegebene Superposition kann also als Punkt einer zweidimensionalen Kugeloberfläche gedacht werden. Auf dieser Kugel zeichnet $\Psi$ einen Punkt als Nordpol und die zu $\Psi$ senkrechte Superposition $\Psi_\perp$ als Südpol aus, dem Äquator entsprechen die gleichgewichtigen Superpositionen $(\Psi+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\Psi_\perp)/\sqrt{2}$, deren relative Phase $\alpha$ wichtig ist. Außer durch die Herkunft ist keine Superposition auf natürliche Art gegenüber einer anderen ausgezeichnet.

Das Zusammenfassen zweier Zustände zu einer Superposition ist nicht, wie von Addition zu fordern, assoziativ und kommutativ. Man sollte Superposition daher nicht schlampig Addition nennen.

Statt einen Vektor $\Lambda_i$ oder $\Psi$ als Repräsentanten eines Strahls im Hilbertraum zu verwenden, kann man Strahlen durch die zugehörigen Projektoren

$$P_{i,A}=\frac{\vert\Lambda_i\rangle\langle \Lambda_i \vert}{\langle\Lambda_i\vert\Lambda_i\rangle}$$ (1.32)

und

$$\rho =\frac{\vert\Psi\rangle\langle \Psi \vert}{\langle\Psi\vert\Psi\rangle}$$ (1.33)

darstellen. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des $i$-ten Meßwertes $a_i$ ist dann durch die Spur von $\rho$ mal $P_{i,A}$ gegeben.

$$w(i,A,\rho)= \tr \rho P_{i,A}$$ (1.34)

Zur Erinnerung: die Spur $\tr A$ eines Operators ist als

$$\tr A = \sum_j \langle \xi_j \vert A \xi_j \rangle$$ (1.35)

definiert, wobei $\xi_j$ eine Basis bilden (z.B. $\xi_j=\Lambda_j$). Die Spur eines Operators ist unabhängig von der Basis und zyklisch $\tr AB=\tr BA$.

In der Form (1.34) kann die Grundgleichung leicht für den Fall verallgemeinert werden, in dem der Meßwert $a$ entartet ist und mehrere, durch feinere Meßapparate unterscheidbare (und daher zueinander orthogonale) Zustände $\Lambda_{a,k}, k=1,2,\dots ,$ zum Meßwert $a$ gehören. Der Projektor $P_{i,A}$ ist dann zum Projektor $P_{a,A}$ auf den Unterraum derjenigen Zustände zu verallgemeinern, bei denen der Meßwert $a$ mit Sicherheit auftritt.

$$P_{\!a,A}=\sum_k \frac{\vert\Lambda_{a,k}\rangle\langle \Lambda_{a,k} \vert}{\langle\Lambda_{a,k}\vert\Lambda_{a,k}\rangle}$$ (1.36)

Wenn der Zustand $\rho$ vermessen wird, so ist

$$w(a,A,\rho)= \tr \rho P_{\!a,A}$$ (1.37)

die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Meßapparat $A$ den Meßwert $a$ anzeigt.