Einleitung

Im folgenden will ich versuchen, ein Grundlagenexperiment [WTPM02] zur Quantentheorie im Rahmen der ,,minimalen Interpretation`` zu erklären. Das Besondere an dieser Art von Experimenten ist gerade, daß nur die einfachsten Grundkonzepte der Quantentheorie notwendig sind, um ihr Prinzip zu verstehen. Sie sind in Gestalt von ,,Gedankenexperimenten`` schon seit Jahrzehnten bekannt, insbesondere in den berühmten Debatten zwischen Bohr und Einstein [EPR35,Boh35], die bekanntlich in der Erfindung des ,,EPR-Paradoxons`` ihren Höhepunkt gefunden haben.

Wir benötigen im folgenden nur einfachste Rechnungen mit diskreten Observablen, um quantentheoretisch zu verstehen, was bei diesem Experiment geschieht. Dabei werden gleichzeitig Extremfälle nichtklassischen Verhaltens quantenmechanischer Systeme überprüft, und das macht diese Experimente so interessant, nicht zuletzt auch in didaktischer Hinsicht, denn sie dürften wohl in den Physikleistungskursen unserer Schulen durchaus vermittelbar sein.

Welche quantenmechanischen Grundlagen benötigen wir also? Zunächst müssen wir uns daran erinnern, daß quantenmechanische (reine) Zustände durch Vektoren $ \ket{\psi}$ in einem abstrakten Hilbertraum beschrieben werden, die zu $ 1$ normiert sind: $ \braket{\psi}{\psi}=1$2.

Die physikalische Bedeutung der Zustände, also die (minimale) Interpretation der Quantentheorie, die man benötigt, um sie auf reale Systeme anzuwenden, lautet, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein im Zustand $ \ket{\psi}$ präpariertes System, in einem anderen Zustand $ \ket{\phi}$ vorgefunden wird,

$\displaystyle P(\phi\vert\psi)=\vert\braket{\phi}{\psi}\vert^2$ (1)

ist.

Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren, die im Hilbertraum der Zustände operieren, beschrieben, und einer Observablen kommt genau dann ein scharfer Wert zu, wenn das System in einem Eigenzustand des die Observablen repräsentierenden Operators präpariert ist. Man mißt dann mit Sicherheit den dazugehörigen Eigenwert des Operators. Die Eigenwerte des Operators sind die einzig möglichen Meßwerte der durch ihn beschriebenen Observablen.

Um scheinbare intrinsische Widersprüche (,,Paradoxa``) zu vermeiden, muß man sich dabei klar machen, daß außer in dem speziellen Fall, daß ein System im Eigenzustand einer gerade zu vermessenden Observable vorliegt, nur Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich sind, da der Zustandsbegriff über Wahrscheinlichkeiten definiert ist, d.h. die Aussagen der Quantentheorie beziehen sich stets auf Ensembles gleichartig präparierter Einzelsysteme, nicht auf ein einzelnes System. Einer Observablen eines einzelnen Systems kommt nur dann ein bestimmter Wert zu, wenn es in einem Eigenzustand des dazugehörigen selbstadjungierten Operators präpariert ist. Daß eine solche Präparation vorliegt, kann man freilich wieder nur am Ensemble nachweisen, indem man an jedem Einzelsystem desselben die Observable mißt und stets denselben Wert, eben den Eigenwert des entsprechenden Operators findet3

Schließlich müssen wir noch wissen, welche Zustände ein Photon, also ein Feldquant des elektromagnetischen Feldes, annehmen kann. Ich will hier nun nicht die recht komplizierte Darstellungstheorie der Poincarégruppe, die man etwa in [Wei95,Hee02] finden kann, bemühen, sondern mehr heuristisch argumentieren.

Wir müssen uns dazu nur von der klassischen Elektrodynamik her erinnern, daß das elektromagnetische Feld ein Vektorfeld ist, das der Wellengleichung genügt. Betrachten wir z.B. $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ als das elektromagnetische Feld. Das hat den Vorteil, daß wir mit beobachtbaren und folglich eichinvarianten Größen operieren. In unserem Falle ist dies legitim, weil wir nur mit freien Photonen operieren müssen, da wir die Wechselwirkungen derselben mit Ladungen nicht explizit zu betrachten brauchen. Es sei hier der Vollständigkeit halber nur erwähnt, daß man in der QED das Viererpotential einführen muß, um die den Erfahrungstatsachen entsprechende ,,minimale Kopplung`` des Photonenfeldes an geladene Materieteilchen (z.B. Elektronen oder geladene Pionen etc.) zu beschreiben.

Betrachten wir also $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ im Vakuum, müssen wir uns nur erinnern, daß die ebenen Wellen entsprechenden Lösungen der ladungs- und stromfreien Maxwellgleichungen transversal sind, d.h. $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ sind senkrecht zur Ausbreigungsrichtung der Welle gerichtet (und stehen ihrerseits senkrecht zueinander). Wellenvektor und Kreisfrequenz stehen in der Beziehung

$\displaystyle \omega^2 = \vec{k}^2 c^2$ (2)

zueinander, was aus der Tatsache folgt, daß die Felder der Wellengleichung genügen. Zu jedem vorgegebenen Wellenvektor $ \vec{k}$ lassen sich dann alle Felder durch Superposition aus zwei Polarisationsrichtungen (definitionsgemäß die Richtung des elektrischen Feldes) gewinnen. Allgemeine Felder lassen sich durch Fourierdarstellung aus diesen Feldern zusammensetzen.

Besonders geeignet ist dabei auch die Helizitätsbasis. Zu jedem $ \vec{k}$ wählt man dann zirkular polarisierte Wellen. Dabei gibt es eine links- und eine rechtszirkular polarisierte Welle.

Wir wählen ohne Beschränkung der Allgemeinheit $ \vec{k}=k
\hat{z}$. Dann ist eine links- (oberes Vorzeichen) bzw. rechts-zirkular (unteres Vorzeichen) polarisierte ebene Welle durch

$\displaystyle \vec{E} \propto \re[(\hat{x} \pm \ii \hat {y}) \exp(-\ii \omega t+\ii \vec{k} \vec{x})]$ (3)

gegeben.

Betrachtet man nun die Theorie des quantisierten Feldes, also Photonen, kann man eine vollständige Basis des Hilbertraums als den verallgemeinerten Zuständen, die diesen ebenen Wellen als Moden entsprechen, verwenden. Dies entspricht Photonen mit einem bestimmten Impuls und einer bestimmten Helizität, wobei die Helizität als die Projektion des Spins auf die Bewegungsrichtung aufgefaßt werden kann, d.h. rechts- bzw. linkszirkular polarisierte Photonen sind solche, bei denen der Spin in Richtung bzw. entgegengesetzt zur Richtung des Impulses präpariert ist. Die Helizität ist eine diskrete Observable, die genau die Werte $ \pm 1$ entsprechend rechts- und linkszirkular polarisierten Lichtes annehmen kann.

Genausogut können wir freilich auch linear polarisierte Photonen als Basiszustände verwenden, und das wird weiter unten noch eine wichtige Rolle spielen.

Damit sind wir schon vollends gerüstet, um das Quantenradiererexperiment, das wir im folgenden beschreiben wollen, zu verstehen.

Im folgenden betrachten wir nacheinander den Doppelspalt, den Doppelspalt unter Gewinnung von ,,Welcher-Weg-Information`` und schließlich das eigentliche Quantenradiererexperiment.