Ein idealisierter Doppelspaltversuch

Wir betrachten zunächst das altbekannte Doppelspaltexperiment von Young, mit dem die Wellennatur des Lichtes experimentell bestätigt wurde, aus quantentheoretischer Sicht.

Dazu betrachten wir eine Lichtquelle, die in guter Näherung als ,,Einphotonenquelle`` behandelt werden kann, d.h. wir nehmen an, wir hätten eine Quelle, die beliebig oft in der Lage ist, ein in der Richtung $\hat{x}$ polarisiertes Photon einer bestimmten Frequenz abzugeben.

Diese in guter Näherung als ebene Wellen zu beschreibenden Photonen fallen nun auf einen Schirm mit zwei Öffnungen im Abstand $d$ . Der Einfachheit halber nehmen wir auch an, die Spaltöffnungen selbst seien klein gegen die Wellenlänge des Lichtes, so daß wir sie als punktförmige Quellen ansehen können. Die Photonen werden dann in einem Abstand $L$ vom Doppelspalt auf einer Photoplatte oder mit Hilfe eines Photomultipliers registriert (s. Abb. 1). Im folgenden nennen wir diese Registriervorrichtung der Einfachheit halber einfach ,,Schirm``.

Aus der Zeichnung lesen wir ab, daß die Wahrscheinlichkeit, am Punkt $x$ , wo sich der Detektor befindet, ein Photon zu finden,

$$P= N \vert 1+\exp[\ii \varphi(x)]\vert^2=2N \{1+\cos[\varphi(x)] \}$$ (4)

sein muß, denn nach den Grundprinzipien der Quantentheorie addieren sich die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Möglichkeiten kohäherent. Dabei ist $N$ eine willkürlich zu wählende Normierungskonstante. Die Phase $\varphi$ ergibt sich aus dem Wegunterschied $\delta$ zwischen den beiden eingezeichneten Wegen. Mit ein wenig elementarer Geometrie und unter der Annahme, daß $x \ll L$ und also $\sin \alpha \approx \tan \alpha$ ist, finden wir

$$\frac{\delta}{d}=\sin \alpha \approx \tan \alpha=\frac{x}{L} \; \Rightarrow \; \delta=\frac{x d}{L},$$ (5)

und damit ergibt sich für die Phase

$$\varphi(x)=2 \pi \frac{x d}{L \lambda}.$$ (6)

Es ergibt sich also ein Interferenzmuster mit Maxima und Minima für diejenigen $x$ , für die

$$\begin{split}&\frac{x_{\text{max}} d}{L \lambda}=n \text{ mit... ...d}{L \lambda}=n + \frac{1}{2} \text{ mit } n \in \Z \end{split}$$ (7)

ist.

Abbildung: Links: Der Youngsche Doppelspaltversuch zum Nachweis der Wellennatur von Licht. Rechts: Der Youngsche Doppelspaltversuch mit Photonen, über die wir prinzipiell ,,Welcher-Weg-Information`` besitzen.

Es ist klar, daß ein einzelnes Photon für sich genommen kein Interferenzmuster erzeugt. Es tritt entweder in den Detektor und wird registriert oder nicht, und wir können für ein bestimmtes Photon nicht vorhersagen, ob es im Detektor registriert wird oder nicht. Wir können den Nachweis, daß die Wahrscheinlichkeit, daß das Photon bei $x$ auftrifft, gerade durch (4) gegeben ist, nur dadurch überprüfen, daß wir den Versuch möglichst oft wiederholen, wobei wir lediglich sicherzustellen haben, daß wir immer gleichartig präparierte Photonen verwenden. Der quantenmechanische Zustand beschreibt also nicht einzelne Photonen, sondern das statistische Verhalten eines Ensembles voneinander unabhängiger gleichartig präparierter Photonen.

Es ist wichtig zu bemerken, daß das Interferenzmuster dadurch zustandekommt, daß wir die Wahrscheinlichkeitsamplituden und nicht die Wahrscheinlichkeiten der Photonen addieren. Diese Vorschrift ist gemäß den Grundprinzipien der Quantentheorie stets anzuwenden. Weiter ist noch wichtig, daß sich in unserem Beispiel die Photonen, die durch den einen Spalt laufen, durch nichts von den Photonen, die durch den anderen Spalt kommen, unterscheiden. Wir können also nicht sagen, durch welchen Spalt ein bestimmtes Photon gekommen ist.

Im Wellenbild ist das selbstverständlich: Wir müssen Licht verwenden, das kohäherent über einen räumlich so großen Bereich ausgedehnt ist, daß sie mit beiden Spaltöffnungen überlappen. Im quantentheoretischen Photonenbild bedeutet dies, daß die Ortsunschärfe entsprechend groß sein muß, d.h. wir können aufgrund des Versuchsaufbaus nicht wissen, durch welchen Spalt ein Photon gehen wird.