Gewinnung von Welcher-Weg-Information

Jetzt ändern wir den Versuch ab, indem wir die Photonen selbst verwenden, um zu markieren, durch welchen Spalt sie gekommen sind.

Wir nehmen wieder an, daß wie zuvor die Photonen in $\hat{x}$ -Richtung polarisiert sind und durch ebene Wellen bestimmter Frequenz beschrieben werden können. Jetzt befestigen wir aber vor den Spalten sogenannte $\lambda /4$ -Plättchen.

Diese nutzen den Effekt anisotroper Materialien aus, daß es ausgezeichnete zueinander senkrecht stehende Richtungen⁴, die sogenannten optischen Hauptachsen dieses Materials gibt, so daß Licht, das entlang einer dieser Achsen einfällt, unterschiedliche Phasengeschwindigkeit besitzt, je nachdem ob es in der einen oder anderen Richtung (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle) polarisiert ist. Man spricht entsprechend auch von der ,,schnellen`` bzw. ,,langsamen`` Achse des Kristalls. Das $\lambda /4$ -Plättchen ist gerade so geschnitten, daß die eine optische Hauptachse senkrecht zur Schnittfläche steht.

Zum Verständnis des Experiments brauchen wir nur zu wissen, daß linear polarisierte Photonen, die das $\lambda /4$ -Plättchen durchlaufen, je nach Winkelstellung der optischen Hauptachsen des elektrisch anisotropen Materials relativ zur Polarisationsrichtung durch den Phasenunterschied der Polarisationsanteile aufgrund der unterschiedlichen Phasengeschwindigkeit derselben elliptisch polarisiert werden. Hier befestigen wir je ein $\lambda /4$ -Plättchen in den Spalten, so daß ihre ,,schnelle Achse`` im Winkel von $45^\circ$ bzw. $-45^\circ$ zur $x$ -Richtung stehen. Dadurch entsteht aus den in $x$ -Richtung polarisierten Photonen, die durch Spalt 1 (Spalt 2) laufen linkszirkular (rechtszirkular) polarisierte Photonen.

Bezeichnen wir mit $\ket{\hat{x}}$ und $\ket{\hat{y}}$ die Polarisationszustände für in $x$ - bzw. $y$ -Richtung polarisierte Photonen, dann bezeichnen

$$\begin{split}\ket{L} &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\hat{x}}+\ii ... ...\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\hat{x}}-\ii \ket{\hat{y}}) \end{split}$$ (8)

die Polarisationszustände links- bzw. rechtszirkular polarisierter Photonen.

Da $\ket{\hat{x}}$ und $\ket{\hat{y}}$ ein Orthonormalsystem im Raum der Polarisationszustände bilden, ist dies auch für $\ket{L}$ und $\ket{R}$ der Fall.

Durch diese Anordnung der $\lambda /4$ -Plättchen sind aber nun Photonen, die durch Spalt 1 gelaufen sind, von Photonen, die durch Spalt 2 gelaufen sind, wohl unterscheidbar: Man muß hinter dem Doppelspalt nur messen, ob das Photon links- oder rechtszirkular polarisiert ist, um zu wissen, ob es durch Spalt 1 oder Spalt 2 gelaufen ist.

Wir können aber auch ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Photonen nun einen bei $x$ aufgestellten Detektor ansprechen lassen. Wir müssen jetzt den Zustand nur etwas ausführlicher hinschreiben, indem wir die unterschiedliche Polarisationsrichtung berücksichtigen:

$$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}}[\ket{L}+ \exp[\ii \varphi(x)] \ket{R}].$$ (9)

Auch hier haben wir die Wahrscheinlichkeitsamplituden addiert. Da aber nun die Polarisationszustände für die durch die verschiedenen Spalten gelaufenen Photonen zueinander senkrecht stehen, entsteht keine Interferenz:

$$\braket{\psi}{\psi}=1/2 \{\braket{L}{L}+\braket{R}{R}+\exp[\ii \varphi(x)] \braket{L}{R} + \exp[-\ii \varphi(x)] \braket{R}{L} \}=1.$$ (10)

Das bedeutet, daß wir mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Photon an jedem Ort $x$ antreffen werden, d.h. wir finden kein Interferenzmuster mehr, wenn wir viele solche Photonen durch die Anordnung schicken.

Es ist dabei vollkommen ausreichend, daß die ,,Welcher-Weg-Information`` prinzipiell durch Messung der Polarisation des Photons jenseits des Doppelspaltes bestimmbar ist. Wir müssen diese Messung nicht wirklich ausführen, um das Interferenzmuster zum Verschwinden zu bringen. Allerdings kommt nun jedem Photon durch die Markierung über den Polarisationszustand mit Sicherheit das Attribut zu, durch welchen Spalt es gelaufen ist.

In dem ursprünglichen Experiment ohne $\lambda /4$ -Plättchen war es prinzipiell nicht möglich, durch irgendwelche Messungen in Erfahrung zu bringen, ob ein bestimmtes Photon, das bei $x$ den Detektor trifft, durch Spalt 1 oder durch Spalt 2 dorthin gelangt war. In diesem Falle überlagern sich also die beiden Möglichkeiten kohärent, während im abgeänderten Experiment durch die Einführung der $\lambda /4$ -Plättchen sichergestellt war, daß prinzipiell von jedem Photon bekannt ist, durch welchen Spalt es gelaufen ist. Das Interferenzmuster verschwindet dann, weil sich die beiden Möglichkeiten, zum Detektor zu gelangen, aufgrund der Orthogonalität der die Welcher-Weginformation encodierenden Polarisationszustände inkohärent addieren.

Durch die Orthogonalität der Zustände ist sichergestellt, daß wir mit $100\%$ Gewißheit in Erfahrung bringen können, durch welchen Spalt jedes Photon gelaufen ist. Wir können freilich mit Hilfe der $\lambda /4$ Plättchen auch nicht-orthogonale Polarisationszustände erzeugen, indem wir das eine Plättchen gegen das andere nicht um genau $90^\circ$ verschieden ausrichten. Dann erhält man ein Interferenzmuster mit nicht ganz so starkem Kontrast wie vorher, es sei denn wir stellen beide $\lambda /4$ -Plättchen in exakt im gleichen Winkel auf. Wählen wir etwa für beide $\lambda /4$ -Plättchen genau $+45^{\circ}$ , ergibt sich statt des Zustandes 9 nunmehr

$$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}} \{1+\exp[\ii \varphi(\vec{x})]\} \ket{L},$$ (11)

und wir erhalten das alte Interferenzmuster zurück. Wir haben dabei aber wieder auf jegliche Markierung, durch welchen Spalt das Photon gekommen ist, verzichtet.

Bei einer beliebigen relativen Stellung der Plättchen zueinander, ergibt sich vermöge der Messung des Polarisationszustandes des Photons eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussage, durch welchen der beiden Spalte es gekommen ist, die von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der größtmöglichen Unkenntnis, also daß es mit der Wahrscheinlichkeit $50\%$ durch den einen oder anderen Spalt gelangt ist, verschieden ist, d.h. man erhält ggf. etwas mehr Gewißheit, daß es vielleicht eher durch Spalt 1 gekommen sein mag, was natürlich nicht bedeutet, daß wir dann wie in der Idealanordnung, die wir gerade oben beschrieben haben, mit Gewißheit wissen, durch welchen Spalt es auf den Schirm gelangt ist.

Dies ist die typische Situation für die Eigenschaft der Mikrowelt, die Bohr als Komplementarität bezeichnet hat: Die Interferenzfähigkeit und die Kenntnis, durch welchen Spalt ein Photon gelangt ist, wurde als ,,komplementäre Eigenschaften`` der Photonen bezeichnet: Je genauer man den Weg kennt, den die Photonen genommen haben, desto unschärfer wird das Interferenzmuster und vice versa. Diese Art Komplementarität war auch als ,,Welle-Teilchen-Dualismus`` bekannt.

Aus Sicht der hier vertretenen minimalen Interpretation der Quantentheorie, wonach der Zustand nicht einzelne Photonen sondern lediglich unsere Kenntnis über die statistischen Eigenschaften von Photonenensembles beschreibt, ist dies freilich eine recht leere Aussage: Die Quantentheorie beschreibt gar nicht das einzelne Photon, und es ist weder sinnvoll, ein Photon als klassisches Teilchen noch es als klassische Welle anzusehen! Wir kommen auf diese fundamentalen Fragestellungen zur Interpretation der Quantentheorie zum Schluß dieses Artikels noch ausführlicher zu sprechen.