Maximal verschränkte Photonenpaare

Nun wenden wir uns einer spezifisch quantentheoretisch motivierten Versuchsanordnung zu. Dabei machen wir Gebrauch von der spezifisch quantenmechanischen Möglichkeit der Verschränkung. Zur Vereinfachung betrachten wir sogenannte maximal verschränkte Photonenpaare.

Diese können heutzutage im Labor standardmäßig erzeugt werden. Dabei wird mittels eines Lasers ein doppelbrechender Kristall zum spontanen Emittieren von verschränkten Photonenpaaren, wobei jedes Photon die halbe Frequenz des einfallenden Laserlichtes besitzt, angeregt (,,parametric downconversion``). Der maximalen Verschränkung entsprechen die beiden folgenden Polarisationszustände, die man auch als Bell-Zustände bezeichnet:

$$\ket{\Psi}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left [\ket{\hat{x}}_s \otimes \ket{\hat{y}}_p \pm \ket{\hat{y}}_s \otimes \ket{\hat{x}}_p \right].$$ (12)

Dabei haben wir die Indizes $s$ und $p$ für den Raumanteil der Zustände eingeführt. Wir können uns darunter Wellenpakete vorstellen, die räumlich wohlsepariert sein können. Im folgenden wollen wir das eine Photon durch den Doppelspalt, der am Ort $s$ aufgestellt sei, und das andere durch einen in eine bestimmte Richtung eingestellten Polarisationsfilter am Ort $p$ schicken.

Welcher quantenmechanische Zustand kommt nun einem der beiden Photonen zu? Dazu müssen wir nur den reduzierten statistischen Operator für z.B. das $s$ -Photon ausrechnen, d.h. wir müssen die Spur über das $p$ -Photon bilden⁵:

$$\op{R}_s=\Tr_p \ketbra{\Psi}{\Psi}=\frac{1}{2} \left [(\ketbra{\h... ...ra{\hat{y}}{\hat{y}})_s \right] = \frac{1}{2} \einsop_{1 \text{ photon at } s}.$$ (13)

Das bedeutet, daß die $s$ -Photonen jeweils für sich betrachtet unpolarisiert sind.

Das ist im Rahmen der statistischen Interpretation wieder nicht so verwunderlich, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag: Der Zustand (12) entspricht ja einem Ensemble gleichartig präparierter Photonenpaare, und (13) beschreibt das Ensemble der Einzelphotonen in dem Paar, welches bei $s$ gemessen wird. Ein in $\hat{x}$ -Richtung ausgerichteter Polarisationsfilter wird im Mittel die Hälfte der Photonen durchlassen, und die andere Hälfte absorbieren, d.h. die Photonen bei $s$ sind unpolarisiert. Wir können nicht voraussagen, ob ein einzelnes Photon in $\hat{x}$ - oder $\hat{y}$ -Richtung polarisiert ist.

Andererseits ist aber vollkommen determiniert, in welchem Polarisationszustand sich das $p$ -Photon befindet, sobald wir festgestellt haben, in welchem Zustand sich das $s$ -Photon befindet. Angenommen, wir betrachten nur das Teilensemble, bei denen das $s$ -Photon in $\hat{x}$ -Richtung polarisiert ist. Der Zustand des $p$ -Photons dieses Teilensembles ist dann aufgrund des Projektionspostulats wie folgt bestimmt:

$$\op{R}_{p\vert\text{s photon $\hat{x}$-polarisiert}}=\Tr_s (\ketb... ...{\hat{x}} \otimes 1 \ketbra{\Psi}{\Psi})/(1/2) = (\ketbra{\hat{y}}{\hat{y}})_p.$$ (14)

Eben diese Eigenschaft bezeichnet man als maximale Verschränkung: Für jedes $s$ -Photon, welches bei einer Messung bei $s$ als $\hat{x}$ -polarisiert festgestellt wird, muß das $p$ -Photon zwingend $\hat{y}$ -polarisiert sein, obwohl vor der Determinierung der Polarisation des $s$ -Photons die Polarisation des $p$ -Photons vollständig unbestimmt ist. Diese Korrelationen können dabei im Prinzip beliebig weit voneinander entfernte Photonen betreffen, so daß die Polarisationsmessung am $s$ -Photon, ein lokaler Vorgang, keine Auswirkungen auf das $p$ -Photon hat. Die strikte Korrelation zwischen den Polarisationszuständen der beiden Photonen kommt ja auch nicht durch die Messung der Polarisation am $p$ -Photon zustande sondern durch die Tatsache, daß $s$ - und $p$ -Photon gemeinsam als verschränktes Paar präpariert wurden.

Es ist daher freilich auch gleichgültig, ob wir erst die $\hat{x}$ -Polarisation bei $s$ und dann die $\hat{y}$ -Polarisation bei $p$ konstatieren oder umgekehrt: Stets kommen entweder beide Photonen durch oder es werden beide absorbiert. Wir können die eine oder andere Reihenfolge der Registrierung einfach dadurch erreichen, daß wir den einen Polarisationsfilter weiter von der Quelle entfernt aufstellen als den anderen.

Wir stellen hier schon fest, daß der berechtigte Einwand von Einstein, Podolsky und Rosen gegen die Kopenhagener Auffassung vom ,,Kollaps des Zustandes`` durch die minimale statistische Interpretation vollkommen eliminiert ist: Es sind keinerlei ,,spukhafte Fernwechselwirkungen`` zwischen dem Polarisationsfilter bei $p$ mit dem Photon bei $s$ notwendig, um die $100\%$ -Korrelationen zu erklären, sie sind durch die statistischen Eigenschaften der im verschränkten Zustande (12) präparierten Photonenpaare gegeben, und in diesem Zustande ist das Photonenpaar präpariert worden, bevor die Polarisationszustände der Einzelphotonen gemessen werden.

Freilich bedeutet die minimale statistische Interpretation den Verzicht auf die Beschreibung eines einzelnen Photonenpaares. Der Zustandsvektor dient einzig der Beschreibung eines Ensembles gleichartig präparierter Systeme. Dem Einzelsystem kommt der quantenmechanische Zustand aufgrund einer geeigneten Präparationsvorschrift zu. Dieser Zustand kann aber nicht aufgrund einer Messung an einem einzelnen System festgestellt werden, sondern nur durch hinreichend viele Messungen an einem Ensemble solcherart präparierter Einzelsysteme. Der ,,Kollaps des Zustandes`` bedeutet in diesem Sinne nicht mehr als die Feststellung eines Einzelereignisses und der Neuzuordnung eines Polarisationszustandes aufgrund dieser gewonnen Erkenntnis. Wir verzichten also auf eine Beschreibung des Einzelsystems durch bestimmte diesem System zugeordnete physikalische Entitäten. Wir kommen auf diese Problematik weiter unten noch zu sprechen.