Zur Theorie des $ \lambda /4$-PlättchensZur Theorie des lambda/4-Plaettchens

Im folgenden leiten wir den quantenmechanischen Operator für ein $ \lambda /4$-Plättchen im Polarisationsraum des Photonenzustands her.

Zunächst betrachten wir kurz die klassische Theorie der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in anisotropen nichtmagnetischen nichtleitenden Medien. Die detaillierte Quantentheorie der Quantenelektrodynamik in kondensierter Materie ist hier zum Verständnis nicht erforderlich. Wir behandeln auch das Medium als durch die makroskopischen Materialkonstanten beschrieben und sehen von möglichen nichtlinearen Vorgängen ab, d.h. wir behandeln die klassische ,,linear-response``-Näherung der Materie-Wellenwechselwirkung. Wir verwenden rationalisierte Gaußsche Einheiten mit $ c=1$ (Heaviside-Lorentzsches Maßsystem).

Die so genäherten makroskopischen Maxwellgleichungen beziehen sich dann auf die vier makroskopischen elektromagnetischen Felder $ \vec{E}$, $ \vec{B}$, $ \vec{D}$ und $ \vec{H}$:

\begin{displaymath}\begin{split}& \rot \vec{E}=-\partial_t \vec{B}, \quad \div\v...
...\partial_t \vec{D}+\vec{j}, \quad \div\vec{D}=\rho. \end{split}\end{displaymath} (24)

Im folgenden gehen wir davon aus, daß die makroskopisch gemittelten Ladungen und Ströme überall verschwinden, d.h. $ \vec{j}=0$ und $ \rho=0$.

Weiter nehmen wir an, daß die anisotropen Materialien magnetisch neutral sind, so daß also

$\displaystyle \vec{B}=\vec{H}.$ (25)

gesetzt werden kann. Den Zusammenhang zwischen $ \vec{E}$ und $ \vec{D}$ setzen wir jedoch dem anisotropen Medium zufolge als allgemein linear an, d.h. wir definieren den Tensor $ \hat{\epsilon}$ zu

$\displaystyle \vec{D}=\hat{\epsilon} \vec{E}.$ (26)

Damit haben wir die Maxwellgleichungen über unsere stark vereinfachten Materialgleichungen wieder auf die elektromagnetischen Grundfelder $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ zurückgeführt:

$\displaystyle \rot \vec{E}=-\partial_t \vec{B}, \quad \div\vec{B}=0,\quad \rot \vec{B}=\hat{\epsilon} \partial_t \vec{E}, \quad \div\hat{\epsilon} \vec{E}=0.$ (27)

Dabei gehen wir davon aus, daß $ \hat{\epsilon}$ innerhalb des betrachteten Kristalls zeitlich und räumlich konstant ist, d.h. das Material ist zwar anisotrop, jedoch homogen.

Nun erinnern wir uns der Standardherleitung des Energiesatzes. Dazu bilden wir den Poyntingvektor

$\displaystyle \vec{S}=\vec{E} \times \vec{B},$ (28)

von dem wir die Divergenz bilden:

$\displaystyle \div\vec{S}=\vec{B} \cdot \rot \vec{E}-\vec{E} \cdot \rot \vec{B}$ (29)

Wir wenden nun darauf die entsprechenden Maxwellgleichungen (27) an:

$\displaystyle \div\vec{S}=-\vec{B} \cdot \partial_t \vec{B}-\vec{E} \hat{\epsilon} \partial_t \vec{E}.$ (30)

Das ist aber dann und nur dann eine totale Zeitableitung, wenn der Dielektrizitätstensor $ \hat{\epsilon}$ symmetrisch ist, und nur dann kann der Energiesatz gelten. Da wir durch die Erfahrung die Energieerhaltung für erwiesen ansehen, verlangen wir also

$\displaystyle \hat{\epsilon}^t=\hat{\epsilon}.$ (31)

Dann dürfen wir (30) schreiben als

$\displaystyle \partial_t u+\div\vec{S}=0, \quad u=\frac{1}{2} (\vec{B}^2+\vec{E} \hat{\epsilon} \vec{E}).$ (32)

Da wir weiter $ u$ als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes deuten möchten und diese positiv definit sein soll, dürfen wir fernerhin annehmen, daß $ \hat{\epsilon}$ positiv definit ist.

Der Dielektrizitätstensor besitzt nun aber eine Hauptachsenform, d.h. es existiert ein kartesisches Koordinatensytem, bzgl. dessen dieser Tensor diagonal ist: $ \hat{\epsilon}=$diag$ (\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)$.

Es ist leicht zu zeigen, daß die Maxwellgleichungen für die Felder im anisotropen Material ebene Wellenlösungen besitzen, wo $ \vec{D}=\hat{\epsilon} \vec{E}$, $ \vec{E}$ und $ \vec{n}$ (der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung der Welle) koplanar sind und $ \vec{B}$ senkrecht auf dieser Ebene steht. Zum Glück müssen wir uns mit der geometrisch recht verwickelten Theorie der allgemeinen Doppelbrechung beim Übergang von Licht in ein anisotopes Medium nicht weiter beschäftigen. Der interessierte Leser sei auf einführende Physkbücher wie [JF86,Som78] verwiesen.

Wir benötigen für das folgende nur die Lösung für eine ebene Welle, die sich in einer Hauptrichtung ausbreitet. Seien also $ \vec{e}_i$ mit $ i \in \{1,2,3\}$ diese Hauptrichtungen. Sie bilden ein kartesisches Koordinatensytem und breite sich die elektromagnetische Welle in $ 3$-Richtung aus. Der Ansatz für eine Lösung der Maxwellgleichungen im inhomogenen Medium lautet also:

$\displaystyle \vec{E}=\vec{a} \exp(-\ii \omega t+\ii k_3 x_3).$ (33)

Aus der vierten der Gln. (27) folgt damit

$\displaystyle \div\begin{pmatrix}\epsilon_1 E_1 \\ \epsilon_2 E_2 \\ \epsilon_3 E_3 \end{pmatrix} = \ii \epsilon_3 a_3 k_3 \stackrel{!}{=}0,$ (34)

d.h. es muß $ a_3=0$ sein, d.h. für Ausbreitung in Richtung einer der dielektrischen Hauptachsen des Kristalls ist das elektrische Feld notwendig transversal polarisiert.

Weiter eliminieren wir nun $ \vec{B}$ aus den Maxwellgleichungen, indem wir auf die erste Gleichung in (27) den Operator $ \rot$, auf die dritte $ \partial_t$ anwenden:

$\displaystyle \rot \partial_t \vec{B}=\hat{\epsilon} \partial_t^2 \vec{E}=-\rot \rot \vec{E}.$ (35)

Für die spezielle Welle (33) ist nun aber wegen $ \vec{e}_3$ auch $ \div\vec{E}=0$, und folglich können wir schreiben

$\displaystyle \hat{\epsilon} \partial_t^2 \vec{E}=\Delta \vec{E}.$ (36)

Einsetzen von (33) führt auf das Gleichungssystem

$\displaystyle k_z^2 \vec{a}=\omega^2 \hat{\epsilon} \vec{a}.$ (37)

Dieses Gleichungssystem hat zwei linear unabhängige Lösungen, und zwar

$\displaystyle \vec{a}$ $\displaystyle = a_1 \vec{e}_1, \quad k_z=\sqrt{\epsilon_1} \omega:=n_1 \omega,$ (38)
$\displaystyle \vec{a}$ $\displaystyle = a_2 \vec{e}_2, \quad k_z=\sqrt{\epsilon_2} \omega:=n_2 \omega.$ (39)

Das bedeutet, daß sich in $ 1$-Richtung polarisiertes Licht mit einer anderen Phasengeschwindigkeit ausbreitet als in $ 2$-Richtung polarisiertes Licht. Die allgemeine Lösungen von der Gestalt sich in Richtung einer der optischen Achsen des Kristalls ausbreitenden ebenen Wellen ist also durch

$\displaystyle \vec{E}=\exp(-\ii \omega t)[a_1 \vec{e}_1 \exp(\ii n_1 \omega z) + a_2 \vec{e}_2 \exp(\ii n_2 \omega z)]$ (40)

gegeben. Dabei sind $ a_1$ und $ a_2$ i.a. beliebige komplexe Zahlen7.

Ein Wellenplättchen ist nun einfach eine planparelle Platte aus einem optisch anisotropen Material, die entlang einer Ebene geschnitten ist, die von zwei der optischen Achsen aufgespannt werden. Die dritte Achse steht also senkrecht auf der Ebene.

Betrachten wir jetzt eine ebene Welle, die aus dem Vakuum senkrecht auf dieses Wellenplättchen trifft,

$\displaystyle \vec{E}=\vec{A} \exp[-\ii \omega(t-z)],$ (41)

so tritt aufgrund der üblichen Randbedingungen an die elektromagnetischen Felder (es müssen sich beim Übergang vom Vakuum ins Medium und wieder ins Vakuum die Tangentialkomponenten von $ \vec{E}$ und $ \vec{H}$ sowie die Normalkomponenten von $ \vec{D}$ und $ \vec{B}$ stetig ändern) keine Brechung auf, d.h. die Welle läuft unabgelenkt in der Einfallrichtung weiter. Weiter erhalten wir die Bedingung, daß sich die Frequenz $ \omega$ der einfallenden Welle im Material nicht ändert.

Setzen wir das Plättchen der Dicke $ d$ nun in die $ xy$-Ebene (vgl. Abb. 1), so daß wir genau die Situation haben, zu der wir die ebenen-Wellenlösungen soeben bestimmt haben, bedeutet dies, daß für $ z>d$ das folgende elektrische Feld vorliegen muß:

\begin{displaymath}\begin{split}\vec{E}(z) &=\exp(-\ii \omega t) \tau [A_1 \vec{...
... d (n_2-n_1)}{2}=\frac{\pi d (n_2-n_1)}{\lambda_0}, \end{split}\end{displaymath} (42)

Dabei ist $ \lambda_0=2 \pi/\omega$ die Wellenlänge des Lichts im Vakuum. Die Phasendifferenz zwischen der in $ \vec{e}_1$- und der in $ \vec{e}_2$-Richtung polarisierten Teilwelle ist

$\displaystyle \Delta \varphi=2 \varphi=\frac{2 \pi d (n_2-n_1)}{\lambda_0}.$ (43)

Nun wird $ \Delta \varphi=\pi/2$ für $ d=\lambda_0/[4(n_2-n_1)]$. Solch ein Plättchen konvertiert dann linear in elliptisch polarisiertes Licht. Freilich darf die Dicke auch $ (j+1/4) \lambda_0/(n_2-n_1)$ mit $ j \in \N$ betragen. Ist $ n_2>n_1$, so ist die $ c_2<c_1$. Man nennt daher in diesem Fall die Hauptachse $ \vec{e}_1$ die schnelle und $ \vec{e}_2$ die langsame Achse. Insbesondere entsteht dann für $ A_2= A_1$ links- und für $ A_1=A_2$ rechts-zirkular polarisiertes Licht.