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Verträglichkeit von Observablen

Damit haben wir alle Vorbereitungen getroffen, um die physikalische Bedeutung der Zustandsvektoren, die durch das Bornsche Postulat (2.2.2) gegeben ist, auszuarbeiten. Zunächst wollen wir klären, wie eine vollständige Präparation eines Zustandes erfolgen kann. Wir werden sehen, daß wir dazu einen vollständigen Satz kompatibler Observabler für das betrachtete System festlegen müssen. Wir wollen also zunächst überlegen, wann zwei oder mehrere Observable zugleich einen wohlbestimmten Wert besitzen können.

Nach dem Postulat (2.2.2) besitzt eine Observable $ A$ einen wohlbestimmten Wert genau dann, wenn der Systemzustand $ \ket{\psi}=\ket{a_k,\alpha_j}$ ist, wobei $ a_k$ ein Eigenwert des der Observablen zugeordneten selbstadjungierten Operators $ \op{A}$ ist. Wir nehmen der Einfachheit halber wieder an, daß die Eigenwerte dieses Operators (und die Werte $ \alpha_j$ im Fall der Entartung) nur diskrete Werte annehmen. Wir gehen weiter unten noch auf den Fall des kontinuierlichen Spektrums näher ein. Ist das System nämlich im Zustand $ \ket{\psi}$ mit $ \Vert\psi\Vert=1$ präpariert, so ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung von $ A$ den Wert $ a_k$ zu finden

$\displaystyle w_{\psi}(a_k)=\sum_{j} \left \vert\braket{a_k,\alpha_j}{\psi} \right\vert^2.$ (2.5.1)

Da nun voraussetzungsgemäß die Vollständigkeitsrelation

$\displaystyle \sum_{jk} \ketbra{a_k,\alpha_j}{a_k,\alpha_j} = \einsop$ (2.5.2)

gilt und folglich

$\displaystyle \sum_{jk} \braket{\psi}{a_k,\alpha_j} \braket{a_k,\alpha_j}{\psi}=\sum_{k} w_{\psi}(a_k)=\braket{\psi}{\psi}=1$ (2.5.3)

ist und $ w_{\psi}(a_k) \geq 0$ ist, ist also $ w_{\psi}(a_k)=1$ genau dann, wenn

$\displaystyle \ket{\psi}=\sum_j c_j \ket{a_k,\alpha_j}$   mit$\displaystyle \quad \sum_{j} \vert c_j\vert^2=1$ (2.5.4)

für genau einen Eigenwert $ a_k$ ist. Für alle anderen Eigenwerte $ a_{k'}$ muß dann außerdem $ w_{\psi}(a_{k'})=0$ sein, und nur genau in diesem Falle besitzt die Observable $ A$ aufgrund der Präparation des Systems im Zustand $ \ket{\psi}$ den wohlbestimmten Wert $ a_k$. Es muß also $ \ket{\psi}$ tatsächlich ein Eigenvektor zu diesem Meßwert $ a_k$ sein.

In dem Fall, daß $ a_k$ ein entarteter Eigenwert ist, d.h. wenn es mehrere linear unabhängige Eigenvektoren zu diesem Eigenwert gibt, genügt eine Festlegung der Observablen $ A$ auf diesen Wert nicht, um den Zustand eindeutig festzulegen, und wir müssen eine weitere Observable $ B$ messen, um den Zustand genauer zu bestimmen. Dabei müssen wir allerdings darauf achten, daß diese Messung mit der Festlegung des Meßwertes der Observablen $ A$ kompatibel ist. Es muß also für jeden möglichen Meßwert $ a_k$ der Observablen $ A$ und jeden möglichen Meßwert $ b_l$ der Observablen $ B$ wenigstens ein gemeinsamer Eigenvektor der dazugehörigen Operatoren $ \op{A}$ und $ \op{B}$ existieren. Nehmen wir also an, daß dies der Fall ist und bezeichnen diese gemeinsamen Eigenvektoren mit $ \ket{a_k,b_l,\beta_m}$, wobei $ \beta_m$ wieder die, bei einer möglicherweise immer noch bestehenden Entartung dieser gemeinsamen Eigenwerte, zueinander orthonormiert gewählten Eigenvektoren durchnumeriert. Wir wollen nun herausfinden, was dies für die Operatoren $ \op{A}$ und $ \op{B}$ bedeutet.

Dazu bemerken wir, daß wir wegen der Vollständigkeit der gemeinsamen Eigenvektoren

\begin{displaymath}\begin{split}\op{A} &= \sum_{klm} \op{A} \ketbra{a_k,b_l,\bet...
...klm} b_l \ketbra{a_k,b_l,\beta_m}{a_k,b_l,\beta_m}. \end{split}\end{displaymath} (2.5.5)

schreiben können. Das bedeutet aber

\begin{displaymath}\begin{split}\op{A} \op{B} &= \sum_{klm} \sum_{k'l'm'} a_k b_...
...ra{a_k,b_l,\beta_m}{a_k b_l,\beta_m}=\op{B} \op{A}. \end{split}\end{displaymath} (2.5.6)

Die Reihenfolge der Operatormultiplikation ist in diesem Fall also unerheblich, d.h. die Operatoren kommutieren. Definieren wir also den Kommutator zweier beliebiger Operatoren $ \op{A}$ und $ \op{B}$ vermöge

$\displaystyle \comm{\op{A}}{\op{B}}:=\op{A} \op{B}-\op{B} \op{A},$ (2.5.7)

bedeutet unsere obige Rechnung, daß es für das Vorliegen eines vollständigen Orthonormalsystems von gemeinsamen Eigenvektoren zweier selbstadjungierter Operatoren notwendig ist, daß der Kommutator dieser Operatoren verschwindet:

$\displaystyle \comm{\op{A}}{\op{B}}=0.$ (2.5.8)

Man kann zeigen, daß diese Bedingung auch hinreichend ist.

Um nun also den Zustand des Systems $ \ket{\psi}$ vollständig festzulegen, müssen wir die Werte eines vollständigen Satzes voneinander unabhängiger miteinander kompatibler Observabler $ A,B,C,\ldots$ bestimmen. Dabei heißt ein Satz von Observablen kompatibel, wenn die dazugehörigen selbstadjungierten Operatoren untereinander kommutieren, so daß ein vollständiges Orthonormalsystem von simultanen Eigenzuständen dieser Operatoren existiert. Ein Satz solcher kompatibler Observabler heißt vollständig, wenn es zu allen möglichen Tupeln von Eigenwerten $ (a,b,c,\ldots)$ genau einen linear unabhängigen simultanen Eigenvektor gibt. Die Unabhängigkeit der Observablen bedeuetet, daß nicht ein Operator $ \op{Z}$ in dem Satz als Funktion der übrigen Operatoren geschrieben werden kann, d.h. $ \op{Z} \neq f(\op{A},\op{B},\ldots,\op{Y})$.

In diesem Zusammenhang ist insbesondere die Exponentialabbildung eines Operators

$\displaystyle \exp(\lambda \op{A}):=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \op{A}^k$ (2.5.9)

wichtig. Dabei bezeichnet $ \lambda$ eine beliebige reelle oder komplexe Zahl. Es ist dann auch klar, daß die Ableitung nach dem Parameter $ \lambda$ durch

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd \lambda} \exp(\lambda \op{A})= \op{A} \exp(\lambda \op{A})=\exp(\lambda \op{A}) \op{A}$ (2.5.10)

gegeben ist.

Wir müssen nun noch kurz auf die Besonderheiten eingehen, die sich für eventuell auftretende kontinuierliche Spektralwerte von Operatoren ergeben. Formal sind dann in dem oben zusammengefaßten Formalismus zunächst lediglich die Summen durch die entsprechenden Integrale zu ersetzen. Die wesentlichste Änderung liegt eher in der Interpretation der Resultate.

Nehmen wir der Einfachheit halber an, wir hätten ein System von nur einem Freiheitsgrad vorliegen, d.h. schon ein Operator $ \op{A}$ bildet einen vollständigen Satz. Um ein konkretes Beispiel vor Augen zu haben, betrachten wir wieder ein Teilchen, das sich nur entlang der $ \op{x}$-Achse bewegt, und wir können dann die Ortskoordinate $ x$ als diese Observable wählen. Wir gelangen dann, wie oben ausgeführt, zur Formulierung der Quantenmechanik als Wellenmechanik in der Ortsdarstellung. Wie wir ebenfalls oben gesehen haben, besitzt der dazugehörige Ortsoperator $ \op{x}$ ganz $ \R$ als Spektrum. Es liegen hier also keine diskreten Eigenwerte vor. Die dazugehörigen verallgemeinerten Eigenvektoren $ \ket{x}$ sind keine Hilbertraumvektoren sondern Distributionen über dem entsprechenden dicht definierten Unterraum $ \mathcal{D}$, der den Definitionsbereich des Operators $ \op{x}$ bildet. Entsprechend können wir das Teilchen nie präzise lokalisieren. Ein echter Hilbertraumzustand, der ein Teilchen beschreibt, das sich ,,in der Nähe`` des Ortes $ x_0$ aufhält, wird durch

$\displaystyle \ket{\psi_{x_0}}=\int_{\R} \dd x \; A_{x_0}(x) \ket{x}$ (2.5.11)

gegeben sein. Die Wellenfunktion ist

$\displaystyle \psi_{x_0}(x) = \braket{x}{\psi_{x_0}} = \int_{\R} \dd x' A_{x_0}(x) \underbrace{\braket{x}{x'}}_{\delta(x-x')} = A_{x_0}(x).$ (2.5.12)

Dabei muß $ A_{x_0}: \R \rightarrow \C$ eine quadratintegrable Funktion sein. Damit $ \ket{\psi_{x_0}}$ auf $ 1$ normiert ist, verlangen wir

$\displaystyle \braket{\psi_{x_0}}{\psi_{x_0}} = \int_{\R} \dd x \; \left \vert\...
...x) \right \vert^2 = \int_{\R} \dd x \; \left \vert A_{x_0}(x) \right \vert^2=1.$ (2.5.13)

Da gemäß dem Bornschen Postulat (2.2.2) die Wahrscheinlichkeitsverteilung, das Teilchen am Ort $ x$ zu finden, durch

$\displaystyle w(x)=\left \vert\psi_{x_0}(x) \right\vert^2$ (2.5.14)

gegeben ist, wird die Lokalisierung ,,in der Nähe von $ x_0$`` lediglich bedeuten, daß diese Wahrscheinlichkeitsverteilung um $ x_0$ stark gepeakt ist. Sie wird aber eine gewisse Breite aufweisen. Entsprechend wird der Erwartungswert für den Ort

$\displaystyle \erw{x}=\int_{\R} \dd x \; x \left \vert \psi_{x_0}(x) \right \ve...
...x_0}}{\op{x} x} \braket{x}{\psi_{x_0}} = \braket{\psi_{x_0}}{\op{x} \psi_{x_0}}$ (2.5.15)

mit einer gewissen statistischen Unsicherheit $ \Delta x$ ,,in der Nähe von $ x_0$`` liegen. Diese Unsicherheit kann, wie in der Statistik üblich, durch die Standardabweichung definiert werden:

$\displaystyle \Delta x=\sqrt{\erw{x^2}-\erw{x}^2}=\sqrt{\erw{(x-\erw{x})^2}} = \sqrt{ \braket{\psi_{x_0}}{\op{x}^2 \psi_{x_0}}-\erw{x}^2}.$ (2.5.16)




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