Nächste Seite: Literatur Aufwärts: Berechnung unendlicher Reihen und Vorherige Seite: Berechnung unendlicher Reihen und   Inhalt

Zu Abschnitt 7.4

Im folgenden wollen wir die in (7.4.23) angegebene Reihe

$\displaystyle d(\alpha)=\ln D(\alpha)=\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left (1-\frac{\alpha^2}{n^2} \right )$ (C.1.1)

bzw. deren Ableitung

$\displaystyle d'(\alpha)=2 \alpha \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\alpha^2-n^2} = \alpha \sum_{n \in \Z \setminus \{0 \}} \frac{1}{\alpha^2-n^2}$ (C.1.2)

berechnen. Dabei muß offensichtlich $ \alpha \notin \Z \setminus \{0 \}$ gelten. Im folgenden nehmen wir auch an, daß $ \alpha \neq 0$ ist. Nun besitzt die Funktion

$\displaystyle f(z)=\pi \cot(\pi z)-\frac{1}{z}$ (C.1.3)

für genau die Stellen $ z \in \Z \setminus \{0 \}$ einfache Pole mit Residuum $ 1$ und für eine konvergente Reihe können wir offenbar

$\displaystyle \sum_{n \in \Z \setminus \{0 \}} \phi(n)=\frac{1}{2 \pi \ii} \int_{\mathcal{C}_1} \dd z f(z) \phi(z)$ (C.1.4)

schreiben, vorausgesetzt $ \phi$ besitzt nicht in unmittelbarer Umgebung der reellen $ z$-Achse Singularitäten. Die Kontur $ \mathcal{C}_1$ ist in Abb. C.1 angegeben.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{summation-contour1}
Integrationskontur in der komplexen $ z$-Ebene für (C.1.4).
Nehmen wir weitherhin an, daß $ \phi$ in der ganzen komplexen Ebene im Unendlichen schneller als wie $ 1/z$ verschwindet, wie es für die Reihe (C.1.2) mit $ \phi(z)=\alpha/(\alpha^2-z^2)$ der Fall ist, können wir die Kontur wie in Abb. C.1 mit Hilfe der gestrichelten Ergänzungskonturen $ \mathcal{C}_2$ und $ \mathcal{C}_3$ schließen. Dann können wir den Residuensatz auf die rechte Seite von (C.1.4) anwenden.

Für den Fall (C.1.2) besitzt $ \phi$ die einfachen Polstellen $ z_{1,2}=\pm \alpha$. Da $ f \phi$ eine gerade Funktion ist, folgt daraus mittels des Residuensatzes unmittelbar, daß

$\displaystyle d'(\alpha)=f(\alpha)=\pi \cot(\pi \alpha)-\frac{1}{\alpha}$ (C.1.5)

Integration nach $ \alpha$ ergibt unter Berücksichtigung, daß $ d(0)=0$ ist, schließlich

$\displaystyle d(\alpha) = \ln \left [ \frac{\sin(\alpha \pi)}{\alpha \pi} \right ],$ (C.1.6)

was schließlich (7.4.24) bestätigt.




Nächste Seite: Literatur Aufwärts: Berechnung unendlicher Reihen und Vorherige Seite: Berechnung unendlicher Reihen und   Inhalt