Die Heisenbergsche Unschärferelation

Eine wichtige Folgerung aus der statistischen Interpretation des quantentheoretischen Zustandsbegriffs über die Bornsche Regel (2.2.2) ist die Heisenbergsche Unschärferelation. Seien dazu $A$ und $B$ zwei Observablen, die zueinander kompatibel oder inkompatibel sein können, und $\ket{\psi}$ irgendein Zustand^2.6 des Systems. Dann gibt es eine untere Schranke für das Unschärfeprodukt $\Delta A \Delta B$ .

Heisenberg ist auf diese Folgerung anhand des Beispiels von Ort und Impuls gekommen. Haben wir nämlich, wie in dem gerade besprochene Beispiel der Lokalisierung eines Teilchens in der Nähe des Ortes $x_0$ , eine Wellenfunktion $\psi_{x_0}(x)$ , die scharf um diesen Ort gepeakt ist, so wird die entsprechende Impulsverteilung durch die Fouriertransformierte der Wellenfunktion gegeben sein (vgl. (2.4.12)). Die daraus resultierende Impulsverteilung wird aber desto breiter und entsprechend $\Delta p$ desto größer sein je schärfer die Ortsverteilung (also je kleiner $\Delta x$ ) ist.

Der bis jetzt entwickelte quantentheoretische Formalismus läßt bereits eine Quantifizierung der
Schranke für $\Delta A$ und $\Delta B$ zu. Um diese zu finden, definieren wir hilfsweise die neuen Operatoren

$$\op{A}'=\op{A}-\erw{A} \einsop, \quad \op{B}'=\op{B}-\erw{B} \einsop.$$ (2.6.1)

Die Erwartungswerte sind dabei bzgl. des betrachteten Zustandes $\ket{\psi}$ zu bilden. Dann gilt nämlich

$$\erw{A'}=\erw{B'}=0, \quad \Delta A^2=\erw{A'{}^2}, \quad \Delta B^2=\erw{B'{}^2}, \quad \comm{\op{A}'}{\op{B}'}=\comm{\op{A}}{\op{B}}.$$ (2.6.2)

Es sei weiter $\lambda \in \R$ . Dann definieren wir das quadratische Polynom

$$P(\lambda)=\braket{(\op{A}'+\ii \lambda \op{B}') \psi}{(\op{A}' +... ...\braket{\psi}{(\op{A}'-\ii \lambda \op{B}')(\op{A}'+\ii \lambda \op{B}') \psi}.$$ (2.6.3)

Ausmultiplizieren des Operatorprodukts liefert dann unter Verwendung von (2.6.2)

$$P(\lambda)=\Delta A^2 + \lambda^2 \Delta B^2 + \lambda \braket{\psi}{\ii \comm{\op{A}}{\op{B}} \psi}.$$ (2.6.4)

Da $\op{A}$ und $\op{B}$ selbstadjungiert sind, gilt

$$\left \{ \ii \comm{\op{A}}{\op{B}} \right \}^{\dagger} = -\ii (\o... ...^{\dagger}) = -\ii (\op{B} \op{A} - \op{A} \op{B}= + \ii \comm{\op{A}}{\op{B}}.$$ (2.6.5)

Es ist also auch $\ii \comm{\op{A}}{\op{B}}$ selbstadjungiert und folglich der Koeffizient von $\lambda$ in (2.6.4) reell:

$$\braket{\psi}{\ii \comm{\op{A}}{\op{B}} \psi} \in \R.$$ (2.6.6)

Das quadratische Polynom (2.6.4) ist also reell und wegen der positiven Definitheit des Skalarprodukts gilt für alle $\lambda \in \R$

$$P(\lambda) \geq 0.$$ (2.6.7)

Demnach besitzt dieses Polynom entweder eine einzige doppelte reelle Nullstelle oder zwei verschiedene zueinander komplex konjugierte Nullstellen. Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen muß also für die Diskriminante des Polynoms

$$\frac{1}{4} \braket{\psi}{\ii \comm{\op{A}}{\op{B}} \psi}^2 - \Delta A^2 \Delta B^2 \leq 0$$ (2.6.8)

oder

$$\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} \left \vert\braket{\psi}{\ii \comm{\op{A}}{\op{B}} \psi} \right\vert$$ (2.6.9)

gelten. Dies ist die Heisenbergsche Unschärferelation für irgendwelche Observablen $A$ und $B$ . Sind insbesondere $A$ und $B$ kompatibel, können also deren Werte simultan scharf festgelegt werden, so kommutieren die entsprechenden Operatoren $\op{A}$ und $\op{B}$ , und die rechte Seite der Ungleichung verschwindet, und die Ungleichung ergibt dann keine echte Einschränkung für das Produkt der Standardabweichungen.

Betrachten wir die Unschärferelation insbesondere für Ort und Impuls. Aus der konkreten Darstellung der entsprechenden Operatoren für die Orts- und Impulskomponenten im Ortsraum (2.4.4) ergeben sich die Kommutatorrelationen (Heisenberg-Algebra)

$$\comm{\op{x}_j}{\op{x}_k}=\comm{\op{p}_j}{\op{p}_k}=0, \quad \comm{\op{x}_j}{\op{p}_k} = \ii \hbar \delta_{jk}.$$ (2.6.10)

Dies in (2.6.9) eingesetzt ergibt die bekannte Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls

$$\Delta x_j \Delta p_k \geq \frac{\hbar}{2} \delta_{jk}.$$ (2.6.11)

Es können also nur Komponenten von Ort und in Impuls in zueinander senkrechten Richtungen gleichzeitig scharf bestimmt sein. Ein vollständiger Satz kompatibler Observabler kann in diesem Falle als die drei Orts- oder die drei Impulskomponenten oder z.B. $x_1$ und $p_2,p_3$ etc. gewählt werden.