Unitäre Abbildungen

Unitäre Abbildungen sind dadurch definiert, daß sie linear sind und Skalarprodukte beliebiger Vektoren ungeändert lassen, d.h. es gilt für alle Vektoren $\ket{\psi}_1,\ket{\psi_2} \in \mathcal{H}$

$$\braket{\op{U} \psi_1}{\op{U} \psi_2} = \braket{\psi_1}{\psi_2}.$$ (2.7.1)

Offensichtlich ist dies genau dann der Fall, wenn

$$\op{U}^{\dagger} \op{U}=\einsop$$ (2.7.2)

ist. Dies folgt daraus, daß für ein VONS $\left \{\ket{u_j} \right \}_{j \in \N}$ des Hilbertraums

$$\delta_{jk}=\braket{\op{U} u_j}{\op{U} u_k}=\braket{u_j}{\op{U}^{\dagger} \op{U} u_k}=(\op{U}^{\dagger} \op{U})_{jk}$$ (2.7.3)

und folglich

$$\op{U}^{\dagger} \op{U} = \sum_{jk} \underbrace{(\op{U}^{\dagger} \op{U})_{jk}}_{\delta_{jk}} \ketbra{u_j}{u_k} = \sum_j \ketbra{u_j}{u_j}=\einsop$$ (2.7.4)

ist. Also ist $\op{U}$ eine umkehrbar eindeutige lineare Abbildung des Hilbertraums in sich, d.h. der Operator besitzt ein Inverses, und es gilt

$$\op{U}^{-1}=\op{U}^{\dagger}.$$ (2.7.5)

Ein wichtiges Beispiel für unitäre Operatoren sind Operatoren der Form

$$\op{U}(\lambda)=\exp(\ii \lambda \op{A}) \quad \op{A}=\op{A}^{\dagger}, \quad \lambda \in \R.$$ (2.7.6)

Aus der Reihendarstellung (2.5.9) folgert man nämlich sofort, daß

$$\op{U}^{\dagger}(\lambda) = [\exp(\ii \lambda \op{A})]^{\dagger} = \exp(-\ii \lambda \op{A}^{\dagger}) = \exp(-\ii \lambda \op{A}).$$ (2.7.7)

Nun ist offenbar

$$\op{U}^{\dagger}(\lambda) \op{U}(\lambda)=\exp(-\ii \lambda \op{A}) \exp(\ii \lambda \op{A}) = \exp(0)=\einsop.$$ (2.7.8)

Dabei haben wir allerdings verwendet, daß wir für die Operatorexponentialabbildung für beliebige kommutierende Operatoren $\op{A}$ und $\op{B}$ die Gleichung

$$\exp(\op{A}) \exp(\op{B})=\exp(\op{A}+\op{B}) \quad \comm{\op{A}}{\op{B}}=0$$ (2.7.9)

verwenden dürfen, als ob $\op{A}$ und $\op{B}$ reelle oder komplexe Zahlen wären. Daß dies tatsächlich der Fall ist, folgert man daraus, daß für kommutierende Operatoren die binomische Formel wie für Zahlen gilt, d.h.

$$(\op{A}+\op{B})^n=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \op{A}^k \op{B}^{n-k} \quad \comm{\op{A}}{\op{B}}=0.$$ (2.7.10)

Nun gilt

$$\exp(\op{A}) \exp(\op{B})=\sum_{n_1,n_2=0}^{\infty} \frac{1}{n_1! n_2!} \op{A}^{n_1} \op{B}^{n_2}.$$ (2.7.11)

Ohne Beweis nehmen wir an, daß wir diese Doppelreihe beliebig umordnen dürfen. Dann können wir stets Operatorprodukte mit gleichen $n=n_1+n_2$ zusammenfassen. Es folgt

$$\exp(\op{A}) \exp(\op{B}) = \sum_{n... ...}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (\op{A}+\op{B})^{n}=:\exp(\op{A}+\op{B}).$$ (2.7.12)

Dabei haben wir die Beziehung

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k! (n-k)!}$$ (2.7.13)

verwendet. Es ist klar, daß wir all diese Manipulationen nicht hätten durchführen können, wenn $\op{A}$ und $\op{B}$ nicht kommutieren. Dann gilt auch (2.7.9) i.a. nicht mehr.