Verträgliche Observable

Zwei Observablen $O_1$ und $O_2$ können nur dann simultan scharfe Werte besitzen, wenn es gemeinsame (verallgemeinerte) Eigenvektoren $\ket{o_1,o_2,\alpha}$ gibt. Ein bekannter Satz der Hilbertraumtheorie besagt, daß nur dann ein vollständiger Satz von simultanen Eigenvektoren existieren kann, wenn die dazugehörigen Operatoren miteinander vertauschen:

$$\comm{\op{O}_1}{\op{O}_2}=0.$$ (3.3)

Solche Observablen heißen miteinander verträglich.

Ein vollständiger Satz verträglicher Observabler $O_k$ liegt vor, wenn es zu jedem Tupel $(o_k)$ gemeinsamer (verallgemeinerter) Eigenwerte nur einen linear unabhängigen simultanen (verallgemeinerten) Eigenvektor $\ket{(o_k)}$ gibt. Diese (verallgemeinerten) Eigenvektoren bilden dann einen vollständigen Satz orthonormierter verallgemeinerter Vektoren, kurz also ein vollständiges Orthonormalsystem, d.h.

$$\braket{(o_k)}{(o_k')}=\delta[(o_k)-(o_k')], \quad \int \d(o_k) \ketbra{(o_k)}{(o_k)}=\einsop.$$ (3.4)

Das Integral steht dabei wieder symbolisch sowohl für Summen über das diskrete Spektrum der Operatoren als auch für Integrale über das kontinuierliche Spektrum. Ebenso steht die $\delta$ -Distribution auch für Kroneckersche $\delta$ -Symbole im diskreten Spektrum. Im folgenden nehmen wir an, daß es einen endlichen vollständigen Satz $\{O_{k} \}_{k=1}^N$ kompatibler Observabler gibt.

Wir bemerken, daß wir nunmehr die etwas unscharfe Definition der Parameter $\alpha$ in Postulat 3 physikalisch präzisieren können, denn der simultane Eigenvektor eines vollständigen Satzes kompatibler Observabler ist durch simultane Messung all dieser Observablen eindeutig bestimmt. Wir können daraus sofort folgern, daß bei einer Messung eines im normierten Zustand $\ket{\psi}$ präparierten Systems, die Wahrscheinlichkeit (für Werte im diskreten Spektrum) bzw. die Wahrscheinlichkeitsdichte (für Werte im kontinuierlichen Spektrum), daß die Messung Werte für $(o_k)$ in einer beliebigen Menge $M$ ergibt, durch

$$w_{\psi}(o_k)=\left \vert \braket{(o_k)}{\psi} \right\vert^2$$ (3.5)

gegeben ist.

Als Beispiele für einen vollständigen Satz kompatibler Observabler können die Orts- oder Impulskomponenten eines Teilchens dienen. Wir haben oben ja bereits einige Beispiele für den Umgang mit diesem abstrakten Formalismus gegeben.

Wir können auch leicht den Erwartungswert für beliebige Funktionen dieser Observablen berechnen:

$$\begin{split}\erw{f(O_k)}_{\psi}&=\int \dd^N o f(o_k) \braket... ...o_k)}{\psi} \\ & = \matrixe{\psi}{f(\op{O})}{\psi}. \end{split}$$ (3.6)

Der letztere Ausdruck ist von der Wahl der Basis $\ket{(o_k)}$ unabhängig und gilt also allgemein für beliebige Funktionen von irgendwelchen Observablen.

Wir machen hierbei die wichtige Beobachtung, daß für die Spezifikation des Zustands eines Systems durch einen Vektor $\ket{\psi}$ die Multiplikation mit einem Phasenfaktor $\exp(\ii \alpha)$ mit $\alpha \in \R$ irrelevant ist. Physikalisch beobachtbare Größen wie die Wahrscheinlichkeiten (3.5) oder Erwartungswerte von Observablen (3.6) ändern sich nämlich nicht, wenn man statt $\ket{\psi}$ den Vektor $\ket{\psi'}=\exp(\ii \alpha) \ket{\psi}$ verwendet. Es ist daher sinnvoll, statt eines (normierten) Vektors $\ket{\psi}$ , den ganzen sog. Strahl

$$[\psi]:=\{\exp(\ii \alpha) \ket{\psi} \vert \ket{\psi} \in \mathcal{H}, \braket{\psi}{\psi}=1 \}$$ (3.7)

als den Zustand des Systems aufzufassen. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten sowie der weiter oben besprochenen Zeitentwicklung der Zustände und Observablen wird freilich stets durch einen konkreten Repräsentanten aus dem Strahl ausgeführt. Allerdings werden wir später bei der Behandlung von Symmetrien sehen, daß diese Präzisierung des Zustandsbegriffs wichtig ist.