Unitäre Symmetrietransformationen

Als Symmetrietransformation bezeichnen wir eine umkehrbar eindeutige simultane Abbildung der Zustände $\ket{\psi} \rightarrow \ket{\psi'}$ und Operatoren $\op{O} \rightarrow \op{O}'$ , die alle physikalischen Aussagen bzgl. des betrachteten Systems ungeändert lassen.

Betrachten wir die Abbildung

$$\ket{\psi'}=\op{U} \ket{\psi}, \quad \op{O}'=\op{U} \op{O} \op{U}^{\dagger}$$ (2.8.1)

für einen beliebigen unitären Operator $\op{U}$ , so haben wir eine Symmetrietransformation vorliegen. Zum einen wird ein VONS von Eigenvektoren $\ket{o,\alpha}$ von $\op{O}$ in ein VONS $\ket{o',\alpha'}$ von Eigenvektoren von $\op{O}'$ zum gleichen Eigenwert $o'=o$ abgebildet:

$$\op{O}' \ket{o',\alpha'}=\op{U} \op{O} \op{U}^{\dagger} \op{U} \k... ...lpha}= \op{U} \op{O} \ket{o,\alpha}=o \op{U} \ket{o,\alpha}=o \ket{o',\alpha'}.$$ (2.8.2)

Es ist also $\ket{o',\alpha'}$ in der Tat ein Eigenvektor des Operators $\op{O}'$ zum Eigenwert $o'=o$ . Die Vollständigkeit dieses Systems von Eigenvektoren ergibt sich ebenfalls sofort aus der Unitarität von $\op{U}$ und der Vollständigkeit von $\ket{o,\alpha}$ :

$$\sum_{o',\alpha'} \ketbra{o',\alpha'}{o',\alpha'} = \sum_{o,\alph... ...ght ) \op{U} = \op{U}^{\dagger} \einsop \op{U}=\op{U}^{\dagger} \op{U}=\einsop.$$ (2.8.3)

Es ist also auch das System $\ket{o',\alpha'}$ vollständig. Daß es auch ein Orthonormalsystem ist, folgt aus der Invarianz des Skalarprodukts (2.7.1). Es ist also auch $\ket{o',\alpha'}$ ein VONS. Aus der dazugehörigen Spektralzerlegung von $\op{O}'$ folgt daraus insbesondere auch sofort, daß mit $\op{O}$ auch $\op{O}'$ selbstadjungiert ist. Damit ist klar, daß bei einer Verwendung von $\op{O}'$ als Operator, der die Observable $O$ repräsentiert, hinsichtlich der möglichen Meßwerte dieselben Vorhersagen gemacht werden wie wenn wir $\op{O}$ verwenden, denn das Spektrum beider Operatoren ist identisch. Im folgenden können wir also schreiben

$$\op{U} \ket{o,\alpha}=\ket{o,\alpha'}.$$ (2.8.4)

Es bleiben auch alle Wahrscheinlichkeitsaussagen der Theorie erhalten, wenn wir entsprechend alle Zustände $\ket{\psi}$ gemäß (2.8.1) transformieren. So ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung der Observablen $O$ einen bestimmten Wert $o$ zu finden gemäß der Bornschen Regel durch

$$w_{\psi}(o)=\sum_{\alpha} \left \vert\braket{o,\alpha}{\psi} \right\vert^2 = \sum_{\alpha'} \left \vert \braket{o,\alpha'}{\psi'} \right\vert^2$$ (2.8.5)

gegeben. Wir erhalten also dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung für die möglichen Meßwerte, wenn wir statt der ursprünglichen Eigenvektoren $\ket{u,\alpha}$ und dem ursprünglichen Zustandsvektor $\psi$ die gemäß (2.8.1) transformierten Vektoren verwenden. Insgesamt ändert sich also an den Vorhersagen eines quantentheoretischen Modells nichts, wenn man alle Vektoren und Operatoren dieser Transformation unterzieht. Sie ist also tatsächlich eine Symmetrietransformation.

Auch die Kommutatorrelationen ändern sich nicht, denn es gilt für irgendwelche zwei Operatoren $\op{A}$ und $\op{B}$

$$\op{A}' \op{B}'=\op{U} \op{A} \op{U}^{\dagger} \op{U} \op{B} \op{B}^{\dagger} = \op{U} \op{A} \op{B} \op{U}^{\dagger}$$ (2.8.6)

und folglich

$$\comm{\op{A}'}{\op{B}'}=\op{U} \comm{\op{A}}{\op{B}} \op{U}^{\dagger}.$$ (2.8.7)

Wir bemerken noch, daß auch allgemeinere Transformationen Symmetrietransformationen sein können, denn es müssen nicht die Skalarprodukte selbst ungeändert bleiben sondern nur ihre Beträge. Es muß also lediglich

$$\left \vert\braket{\psi_1'}{\psi_2'} \right\vert=\left \vert \braket{\psi_1}{\psi_2} \right \vert$$ (2.8.8)

gelten. Man kann zeigen, daß sich Abbildungen mit dieser Eigenschaft, die keine unitären Abbildungen der Art (2.8.1) sind, als sog. antiunitäre Abbildungen beschreiben lassen. Wir wollen dieses sog. Theorem von Wigner und Bargmann [Bar64,Mes99] hier nicht beweisen. In der Physik benötigt man diesen Fall für die Beschreibung der Zeitumkehrsymmetrie. Wir kommen darauf später noch im Zusammenhang mit der relativistischen Quantentheorie noch ausführlich zu sprechen.

Ein besonders einfacher (wenngleich wichtiger) Spezialfall einer unitären Symmetrie ist die Phaseninvarianz der Quantentheorie. Setzen wir nämlich

$$\op{U}=\exp(\ii \varphi) \einsop \quad \varphi \in \R,$$ (2.8.9)

so ist gemäß (2.8.1)

$$\ket{\psi'}=\exp(\ii \varphi) \ket{\psi}, \quad \op{O}'=\op{O}.$$ (2.8.10)

Daß $\op{U}$ unitär ist, ist klar, denn es gilt

$$\op{U}^{\dagger}=\exp(-\ii \varphi) \einsop^{\dagger}=\exp(-\ii \varphi) \einsop.$$ (2.8.11)

Wir können also alle Vektoren $\ket{\psi}$ mit demselben Phasenfaktor multiplizieren, ohne daß sich an den Aussagen über das physikalische System etwas ändert, d.h. insbesondere, daß der Vektor $\ket{\psi'}=\exp(\ii \varphi) \ket{\psi}$ denselben Zustand des Systems repräsentiert wie $\ket{\psi}$ .

Als weiteres weniger triviales Beispiel betrachten wir

$$\op{U}_{T}(\vec{\xi})=\exp \left (\frac{\ii \vec{\xi} \cdot \vec{\op{p}}}{\hbar} \right).$$ (2.8.12)

Wir wollen zeigen, daß dieser Operator räumliche Translationen beschreibt. Das ist insofern plausibel als auch in der klassischen Mechanik der Impuls die zur räumlichen Translationssymmetrie gehörige Erhaltungsgröße und im Poissonklammernformalismus der Hamiltonschen Mechanik Generator dieser räumlichen Translationen ist (Noethertheorem! Vgl. [Hee08]). Wir gehen darauf in Kapitel 2 dieses Manuskripts noch sehr genau ein.

Betrachten wir zunächst die Wirkung des Operators $\op{U}_{T}(\xi)$ auf die Orts- und Impulsoperatoren gemäß (2.8.1). Da die Impulsoperatoren wegen (2.6.10) untereinander und folglich auch mit jeder Funktion von Impulsoperatoren vertauschen, gilt

$$\pvec{\op{p}}=\op{U}_T(\vec{\xi}) \vec{\op{p}} \op{U}_T^{\dagger}... ... \vec{\op{p}} \op{U}_T(\vec{\xi}) \op{U}_T^{\dagger}(\vec{\xi}) = \vec{\op{p}}.$$ (2.8.13)

Der Impulsoperator bleibt also ungeändert, so wie es ja räumlichen Translationen entspricht.

Etwas schwieriger ist die Herleitung der Transformation des Ortsoperators. Dazu betrachten wir den transformierten Operator als Funktion der Parameter $\vec{\xi}$ :

$$\op{x}'_j(\vec{\xi})=\op{U}_T(\vec{\xi}) \op{x}_j \op{U}_T^{\dagger}(\vec{\xi}).$$ (2.8.14)

Bilden wir nun die Ableitung nach $\xi_k$ :

$$\frac{\partial}{\partial \xi_k} \op{x}_j'(\xi) = \left [\frac{\pa... ...c{\xi}) \op{x}_j \frac{\partial}{\partial \xi_k} \op{U}_T^{\dagger}(\vec{\xi}).$$ (2.8.15)

Da alle drei Impulsoperatoren untereinander vertauschen, gilt

$$\frac{\partial}{\partial \xi_k} \op{U}_T(\vec{\xi})=\frac{\ii}{\h... ...\dagger} (\vec{\xi})=-\frac{\ii}{\hbar} \op{p}_k \op{U}_T^{\dagger}(\vec{\xi}).$$ (2.8.16)

Dies in (2.8.15) eingesetzt ergibt nach einigen einfachen Umformungen

$$\frac{\partial}{\partial \xi_k} \op{x}_j'(\xi) = -\frac{\ii}{\hba... ...k}}_{\ii \hbar \delta_{jk}} \op{U}_T^{\dagger}(\vec{\xi}) = \delta_{jk} \einsop$$ (2.8.17)

Dies können wir wieder integrieren, um

$$\op{x}_j'(\vec{\xi})=\op{x}_j'(0) + \xi_j \einsop$$ (2.8.18)

zu erhalten. Wegen $\op{U}_T(0)=\einsop$ ist $\op{x}_j'(0)=\op{x}_j$ , d.h. es gilt

$$\pvec{\op{x}}(\vec{\xi}) = \vec{\op{x}} + \vec{\xi} \einsop.$$ (2.8.19)

Auch dies entspricht der erwarteten Translation des Koordinatensystems um den Vektor $\vec{\xi}$ .

Die Wirkung des Operators (2.8.12) auf die Hilbertraumvektoren untersuchen wir am einfachsten in der Ortsdarstellung. Zunächst gilt für die Ortseigenvektoren

$$\vec{\op{x}} \op{U}_T^{\dagger} (\v... ...ket{\vec{x}} = (\vec{x}+\vec{\xi}) \op{U}_T^{\dagger}(\vec{\xi}) \ket{\vec{x}}.$$ (2.8.20)

Es ist also $\op{U}^{\dagger}(\vec{\xi}) \ket{\vec{x}}$ Eigenvektor des Ortsoperators zum Eigenwert $\vec{x}+\vec{\xi}$ . Im folgenden wählen wir die Ortseigenvektoren als

$$\ket{\vec{x}}=\op{U}_T^{\dagger}(\vec{x}) \ket{0}.$$ (2.8.21)

Dabei bezeichnet $\ket{0}$ den Eigenvektor von $\vec{\op{x}}$ zum Eigenwert 0 . Da die simultanen Ortseigenvektoren bis auf einen Phasenfaktor eindeutig bestimmt sind, entspricht die Wahl (2.8.21) lediglich einer bequemen Phasenkonvention für die verallgemeinerten Ortseigenvektoren. Physikalische Aussagen sind nämlich unabhängig von der Wahl dieser Phasen.

Damit können wir aber die Wirkung des Translationsoperators auf die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung berechnen

$$\begin{split}\psi'(\vec{x}) &= \braket{\vec{x}}{\op{U}_T(\vec... ...ec{x}+\vec{\xi})0}{\psi} = \psi(\vec{x}+\vec{\xi}). \end{split}$$ (2.8.22)

Die Wellenfunktion verhält sich also bzgl. Translationen wie ein skalares Feld.

Wir bemerken noch, daß die Translationen eine Abelsche Gruppe bilden. Die Hintereinanderausführung zweier Translationen um die Verschiebungsvektoren $\vec{\xi}_1$ bzw. $\vec{\xi}_2$ ergibt nämlich wieder eine Verschiebung mit dem Verschiebungsvektor $\vec{\xi}_1+\vec{\xi}_2$ . Dabei ist die Reihenfolge der Verschiebungen offenbar unerheblich, denn es gilt $\vec{\xi}_1+\vec{\xi}_2 =\vec{\xi}_2+\vec{\xi}_1$ . In der Quantentheorie hatten wir die Translationen mit dem unitären Operator (2.3.35) dargestellt. Wegen der Kommutativität der Impulsoperatoren gilt (die übrigens bei den obigen Rechnungen bereits benutzte!) Beziehung

$$\op{U}_T(\vec{\xi}_2) \op{U}_T(\vec{\xi}_1)=\op{U}_T(\vec{\xi}_1+\vec{\xi}_2) = \op{U}_T(\xi_1) \op{U}_T(\xi_2).$$ (2.8.23)

Die Hintereinanderausführung der quantenmechanischen Translationsoperatoren liefert also dieselbe Gruppenbeziehung wie die Transformationsgruppe. MaW. bezeichnen wir die Translation des Ortsvektors mit $T(\vec{\xi})$ , so gilt

$$T(\vec{\xi}_2) T(\vec{\xi_1})=T(\vec{\xi}_1 +\vec{\xi}_2) = T(\vec{\xi}_1) T(\vec{\xi}_2),$$ (2.8.24)

d.h. die in diesem Fall abelsche Gruppenmultiplikation erfüllt dieselben Relationen wie sie auch die unitären Operatoren gemäß (2.8.23) besitzen. Wir haben also mit den unitären Transformationen (2.8.12) eine Abbildung der Translationsgruppe $\mathcal{T}$ des $\R^3$ in die Gruppe der unitären Transformationen im Hilbertraum $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ . Diese Abbildung der Gruppenelemente erfüllt dieselben Gruppenverknüpfungsregeln wie die Elemente der Gruppe selbst (vgl. (2.8.23) mit (2.8.24)!). Man nennt dies eine unitäre Darstellung der Gruppe im Hilbertraum.

Allgemein entspricht also einer Symmetriegruppe in der klassischen Theorie (hier der Newtonschen Mechanik) in der ihr entsprechenden Quantentheorie einer unitären Darstellung dieser Gruppe im Hilbertraum^2.7. Man gelangt allerdings eher umgekehrt durch die Betrachtungen der unitären Darstellung der Symmetriegruppe der klassischen Theorie und durch Ableitung (analog zu unserem Vorgehen in Gl. (2.8.17)) zu den Kommutatorrelationen der entsprechenden selbstadjungierten Operatoren, aus denen sich wiederum die Eigenschaften der Wellenfunktionen dieser Quantentheorie und damit eine zur praktischen Lösung von physikalischen Problemen verwendbare Realisierung derselben ergibt. Wir könnten z.B. die oben besprochene Realisierung der nichtrelativistischen Quantentheorie eines Teilchens allein aus den Kommutatorregeln der Heisenberg-Algebra (2.6.10) gewinnen. Darauf kommen wir im nächsten Kapitel noch ausführlich zurück.