Die Dynamik im Schrödingerbild

Wir beschäftigen uns nun mit der Beschreibung der Zeitentwicklung der die Observablen repräsentierenden selbstadjungierten Operatoren und der Zustandsvektoren im Hilbertraum. Wir wollen zunächst die dynamische Beschreibung eines Quantensystems in einer speziellen Form, dem sog. Schrödingerbild gewinnen. Dieses erhalten wir durch unmittelbare Identifikation der Operatoren und Zustände mit den entsprechenden Elementen in der Ortsdarstellung. Die Wellenfunktion ist zeitabhängig, während die fundamentalen Observablen (z.B. Ort und Impuls für ein spinloses Teilchen), durch die sich alle anderen Observablenoperatoren ausdrücken lassen, durch zeitunabhängige Differentialoperatoren beschrieben werden. Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion wird dabei durch die Schrödingergleichung

$$\ii \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,\vec{x})= \hat{H} \psi(t,\vec{x})$$ (2.9.1)

beschrieben. Der Hamiltonoperator^2.8 $\op{H}$ ist dabei für den einfachsten Fall eines Teilchens in einem äußeren Kraftfeld mit Potential $V$ durch

$$\op{H}=\frac{\vec{\op{p}}^{2}}{2m} + V(\vec{\op{x}})$$ (2.9.2)

gegeben. Dieser besitzt wegen (2.4.4) in der in (2.9.1) benötigten Ortsdarstellung die Form

$$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(\vec{x})$$ (2.9.3)

mit dem Laplaceoperator

$$\Delta=\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}=\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}.$$ (2.9.4)

Statt der hier angegebenen Form in kartesischen Koordinaten kann man ihn freilich in irgendwelchen anderen dem jeweiligen Problem angepaßten Koordinaten, z.B. Kugel- oder Zylinderkoordinaten, verwenden (s. dazu [CH10]). Da der Hamiltonoperator $\op{H}$ die Zeitentwicklung des Systems beschreibt, repräsentiert er die Energie des Systems. Dies entspricht unserem Postulat 4, auf das wir gleich noch näher eingehen werden. Da $\op{H}$ selbstadjungiert ist, ist die Zeitentwicklung eine unitäre Transformation. Insbesondere bleibt die Normierung der Wellenfunktion zeitlich erhalten. Sind nämlich $\psi_1$ und $\psi_2$ irgendwelche Lösungen der Schrödingergleichung (2.9.1), so folgt

$$\begin{split}\ii \hbar \frac{\dd}{\dd t} \braket{\psi_1(t)}{\... ...\psi_2(t)} + \braket{\psi_1(t)}{\op{H}\psi_2(t)}=0, \end{split}$$ (2.9.5)

d.h. die Skalarprodukte von beliebigen Zustandsvektoren ändern sich nicht mit der Zeit, und damit ist die Zeitentwicklung eine unitäre Transformation. Insbesondere bleibt die zum Anfangszeitpunkt vorgenommene Normierung der Zustandsvektoren erhalten:

$$\Vert\psi(t)\Vert^2=\braket{\psi(t)}{\psi(t)}=\braket{\psi(t_0)}{\psi(t_0)}=1.$$ (2.9.6)

Da die Observablenoperatoren zeitunabhängig sind, sind auch deren Eigenfunktionen zeitunabhängig. Identifizieren wir also über die verallgemeinerten Eigenzustände des Ortsoperators die Wellenfunktionen mit Kets im Hilbertraum vermöge

$$\ket{\psi(t)}=\int_{\R^3} \dd^3{x} \; \ket{\vec{x}}\braket{\vec{x}}{\psi(t)}= \int_{\R^3} \dd^3{x} \; \ket{\vec{x}} \psi(t,\vec{x}),$$ (2.9.7)

ist der Zustandsket eine Funktion der Zeit. Leiten wir diese Gleichung nach der Zeit ab, erhalten wir

$$\frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi(t)} = \int_{\R^3} \dd^3 x \ket{\vec{x}} \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,\vec{x})$$ (2.9.8)

und mit der Schrödingergleichung (2.9.1)

$$\frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi(t)} = \int_{\R^3} \dd^3 x \... ...aket{\vec{x}}{\op{H} \psi(\vec{x})} = \frac{1}{\ii \hbar} \op{H} \ket{\psi(t)}.$$ (2.9.9)

Wir haben oben auch gesehen, daß aufgrund der Selbstadjungiertheit des Hamiltonoperators die Zeitentwicklung in der Ortsdarstellung durch eine unitäre Transformation der Wellenfunktion gegeben ist. Entsprechend verallgemeinert sich diese Beobachtung auf die darstellungsunabhängigen Zustandskets. Es gibt also für jedes $t>t_0$ eine unitäre Transformation $\op{U}(t,t_0)$ , so daß

$$\ket{\psi(t)}=\op{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)}$$ (2.9.10)

ist. Es muß natürlich insbesondere $\op{U}(t_0,t_0)=\einsop$ gelten.

Um die Bewegungsgleichung für $\op{U}(t,t_0)$ zu finden, leiten wir (2.9.10) nach der Zeit ab:

$$\frac{\dd}{\dd t} \ket{\psi(t)} = \frac{\partial}{\partial t} \op... ...tial}{\partial t} \op{U}(t,t_0) \right ] \op{U}^{\dagger}(t,t_0) \ket{\psi(t)}.$$ (2.9.11)

Der Vergleich mit (2.9.9) ergibt

$$\left [\frac{\partial}{\partial t} \op{U}(t,t_0) \right ] \op{U}^{\dagger}(t,t_0) = \frac{1}{\ii \hbar} \op{H}.$$ (2.9.12)

Nun gilt

$$\op{U} \op{U}^{\dagger} = \einsop \Rightarrow (\partial_t \op{U}) \op{U}^{\dagger}+ \op{U} (\partial_t\op{U}^{\dagger} )=0.$$ (2.9.13)

Die letzte Beziehung bedeutet, daß

$$\op{H}=\i \hbar [\partial_t \op{U}(t,t_0)] \op{U}^{\dagger}(t,t_0)$$ (2.9.14)

tatsächlich selbstadjungiert ist. Dies ist konsistent mit der Forderung, daß der Hamiltonoperator $\op{H}$ die Energie des Teilchens repräsentiert. Multiplizieren von (2.9.14) von rechts mit $\ii \hbar \op{U}$ ergibt

$$\i \hbar \partial_t \op{U}(t,t_0)=\op{H} \op{U}(t,t_0).$$ (2.9.15)

Wir zeigen weiter, daß dabei $\op{H}$ lokal in der Zeit sein muß, d.h. $\op{H}$ hängt höchstens von $t$ , nicht aber von $t_0$ ab. Dazu bemerken wir, daß der Zeitentwicklungsoperator $\op{U}$ die Bedingung

$$\op{U}(t,t_0)=\op{U}(t,t_1) \op{U}(t_1,t_0)$$ (2.9.16)

erfüllen muß, denn die Hintereinanderausführung der Zeitentwicklung der Zustände von der Zeit $t_0$ bis zur Zeit $t_1$ und dann von $t_1$ bis $t$ muß zusammengenommen der Zeitentwicklung von $t_0$ bis $t$ entsprechen. Leitet man dies nach $t$ ab und benutzt (2.9.15), folgt sofort, daß auch

$$\op{H}=\i \hbar \op{U}^{\dagger}(t,t_1) \partial_t \op{U}(t,t_1)$$ (2.9.17)

gilt, d.h. $\op{H}$ ist höchstens eine Funktion von $t$ , nicht vom Anfangszeitpunkt $t_0$ . In abgeschlossenen Systemen ist $\op{H}$ definitionsgemäß zeitunabhängig.

Die genaue Form des Hamiltonoperators für ein gegebenes Systems ist natürlich durch physikalische Prinzipien zu gewinnen und kann nicht mathematisch hergeleitet werden. Als sehr tragfähig haben sich in der gesamten modernen Physik die Symmetrieprinzipien erwiesen, aus denen heraus man Wechselwirkungen postulieren kann. Dabei spielt das Noethertheorem eine wesentliche Rolle, also daß jeder unabhängigen Symmetrieoperation (das sind in der Quantentheorie im wesentlichen die unitären Transformationen), die den Hamiltonoperator invariant läßt, ein Erhaltungssatz entspricht. Durch die empirische Beobachtung von Erhaltungsgrößen lassen sich nun aber umgekehrt auch die Symmetrieprinzipien gewinnen, die zur Aufstellung des Hamiltonoperators benutzt werden können. Wir gehen auf diese fundamentalen Symmetrieprinzipien im nächsten Kapitel noch ausführlich ein.

Nehmen wir nun an, der Hamiltonoperator sei zeitunabhängig. In dem bis jetzt ausschließlich benutzten Schrödingerbild heißt das, daß er eine Funktion der fundamentalen Operatoren $\vec{\op{x}}$ und $\vec{\op{p}}$ und nicht der Zeit ist. Dann ist die Lösung der Differentialgleichung (2.9.15) formal sehr einfach. Wir können dann nämlich diese Gleichung genauso wie eine Differentialgleichung für komplexwertige Funktionen behandeln, denn es treten keine Probleme mit der Nichtkommutativität von Operatoren auf. Demnach ist die formale Lösung durch

$$\op{U}(t,t_0)=\exp \left [-\frac{\i}{\hbar} (t-t_0)\op{H} \right]$$ (2.9.18)

gegeben. Daß dies tatsächlich die Lösung ist, weist man sehr leicht durch Ableiten der Gleichung nach. Dabei ist es entscheidend, daß in diesem Fall $\op{U}$ mit $\op{H}$ für jedes $t$ vertauscht. Wäre $\op{H}$ zeitabhängig, wäre dies nicht mehr unbedingt der Fall und die Lösung des Problems weitaus verwickelter. Wir kommen darauf weiter unten noch zurück.

Wichtig ist noch die Frage nach den stationären Zuständen. Dies war ja einer der Ausgangspunkte für die Entwicklung der Quantentheorie, nämlich die Lösung des Problems, wie es stabile Atome geben kann, was klassisch ja nicht mit den Rutherfordschen Beobachtungen bzgl. der um den Kern ,,kreisenden`` Elektronen vereinbar ist. Für die Quantentheorie stellt das deshalb kein Problem dar, weil wir nach Zuständen suchen können, die sich zeitlich nicht ändern. Beobachtbar sind aber Zustände nicht direkt, nur die Meßwerte von Observablen (Eigenwerte der dazugehörigen Operatoren) am Einzelsystem bzw. deren Erwartungswerte und Wahrscheinlichkeiten für eine große Zahl von gleich präparierten Systemen (Ensembles). Das bedeutet aber, daß zwei Zustände $\ket{\psi}$ und $\ket{\psi'}$ , die sich nur durch einen ,,Phasenfaktor``, also durch Multiplikation mit einer komplexe Zahl vom Betrag $1$ , unterscheiden, die gleiche physikalische Situation beschreiben und im Sinne der Quantentheorie als der gleiche Zustand angesehen werden müssen. Damit ist $\ket{\psi(t)}$ ein stationärer Zustand, wenn für jeden Zeitpunkt $t$ eine reelle Zahl $\alpha(t)$ existiert, so daß

$$\ket{\psi(t)}_{\text{stat.}}=\exp[-\i \alpha(t)] \ket{\psi(t_0)}_{\text{stat}}$$ (2.9.19)

gilt.

Andererseits folgt aus (2.9.9) für einen stationären Zustand

$$\hbar \dot \alpha(t) \ket{\psi(t)}_{\text{stat}}=\op{H}(t) \ket{\psi(t)}_{\text{stat}}.$$ (2.9.20)

Das bedeutet aber, daß $\ket{\psi(t)}_{\text{stat}}$ zu jedem Zeitpunkt ein Eigenvektor des Hamiltonoperators $\op{H}(t)$ zum Eigenwert $\hbar \dot{\alpha}(t)$ sein muß. Es ist also notwendig

$$\op{H}(t) \ket{\psi(t_0)}_{\text{stat}}=E(t) \ket{\psi(t_0)}_{\text{stat}} \quad \text{mit} \quad E(t)=\hbar \dot{\alpha}(t).$$ (2.9.21)

Falls $\op{H}$ zeitunabhängig ist, ist auch $E(t)=E=$const , und es gilt wegen (2.9.18)

$$\ket{\psi(t)}_{\text{stat}}=\exp\left[-\frac{i}{\hbar} (t-t_0) E \right] \ket{\psi(t_0)}_{\text{stat}}.$$ (2.9.22)

Wir können also festhalten: Stationäre Zustände eines Systems sind genau die Eigenzustände des Hamiltonoperators. Wegen ihrer Wichtigkeit nennt man die Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators in der Ortsdarstellung auch zeitunabhängige Schrödingergleichung.

Es ist klar, daß bei gegebener Anfangsbedingung in Form der Wellenfunktion $\psi_0(\vec{x})=\psi(t_0,\vec{x})$ die allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung am einfachsten durch Entwicklung nach Energieeigenfunktionen gegeben ist. Ist nämlich $\ket{E,\alpha}$ ein vollständiger Satz von Energieeigenzuständen, wobei $\alpha$ eventuelle weitere den Zustand charakterisierende diskrete und kontinuierliche Parameter bezeichnet, so können wir (2.9.18) wie folgt verwenden:

$$\begin{split}\psi(t,\vec{x}) &=\braket{\vec{x}}{\psi(t)}=\mat... ...i_{E,\alpha}(\vec{x}) \braket{E,\alpha}{\psi(t_0)}. \end{split}$$ (2.9.23)

Dabei definieren wir die Energieeigenfunktionen

$$\begin{split}\phi_{E,\alpha}(\vec{x})=\braket{\vec{x}}{E,\alp... ...i_{E',\alpha'}^*(\vec{x}) \phi_{E,\alpha}(\vec{x}). \end{split}$$ (2.9.24)

Die kombinerten Summations-Integralzeichen über $E$ und $\alpha$ bedeuten wieder Integrale über den kontinuierlichen und Summen über den diskreten Teil des Spektrums der betreffenden Operatoren des gerade verwendeten vollständigen Satzes kompatibler Observabler. Ebenso bedeuten die $\delta$ -Distributionen in (2.9.24) im diskreten Teil des Spektrums Kronecker-Symbole.

Die Komponenten des Anfangszustandes sind durch

$$\braket{E,\alpha}{\psi(t_0)} = \int_{\R^3} \dd^3{x} \braket{E,\al... ...x}}{\psi(t_0)}=\int_{\R^3} \dd^3 x \phi_{E,\alpha}^{*}(\vec{x}) \psi_0(\vec{x})$$ (2.9.25)

gegeben. Haben wir also den vollständigen Satz von Energieeigenfunktion gemäß (2.9.24) bestimmt, können wir die Lösung des Anfangswertproblems der zeitabhängigen Schrödingergleichung sofort angeben.