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Bildtransformationen

Wir haben oben schon mehrfach betont, daß die Elemente der Quantentheorie, nämlich die selbstadjungierten Operatoren, die Observablen repräsentieren, und die Hilbertraumvektoren, die die Zustände des Systems repräsentieren, selbst nicht direkt beobachtbar sind. Mögliche Meßwerte von Observablen sind durch die Eigenwerte der sie repräsentierenden Observablen bestimmt. Bei einer Präpartion des Systems, das die Werte eines vollständigen Satzes kompatibler Observabler festlegt, befindet sich das System in den zu diesen simultanen Meßwerten gehörigen eindeutig bestimmten Eigenzustand. Allen Observablen, zu dem dieser Zustand nicht Eigenzustand ist, kommt kein eindeutiger Wert zu, es können aber Erwartungswerte solcher Observablen und die Wahrscheinlichkeit des Eintretens bestimmter möglicher Meßwerte gewonnen werden.

Alle an realen Systemen durch Messung prinzipiell überhaupt erfaßbaren Größen (wie die möglichen Meßwerte einer Observablen, Erwartungswerte von Observablen oder Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Werte von Observablen) ändern sich offenbar nicht, wenn wir eine unitäre Transformation $ \op{B}$ wie folgt auf Zustandskets und Observablen repräsentierende Operatoren wirken lassen:

$\displaystyle \ket{\psi'}=\op{B} \ket{\psi}, \quad \op{O}'=\op{B} \op{O} \op{B}^{\dagger},$ (2.10.1)

denn dann gilt

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{\phi'}{\psi'} &= \braket{\op{B} \phi}{\o...
...\dagger}}{\op{B}\psi}=\matrixe{\psi}{\op{O}}{\psi}. \end{split}\end{displaymath} (2.10.2)

Es ist auch klar, daß selbstadjungierte Operatoren unter dieser unitären Transformation selbstadjungiert bleiben und Kommutatoren sich kovariant transformieren:

$\displaystyle \comm{\op{O}_1'}{\op{O}_2'}=\op{B} \comm{\op{O}_1}{\op{O}_2} \op{B}^{\dagger}.$ (2.10.3)

Da in all diesen Manipulationen an Zuständen und Observablenoperatoren die Zeit keine Rolle spielt, darf dabei $ \op{B}$ offenbar auch zeitabhängig sein. Im vorigen Abschnitt haben wir allerdings angenommen, daß die Operatoren zeitunabhängig und die Zustandskets zeitabhängig sind. Ist nun $ \op{B}$ zeitabhängig, ist dies für die gemäß (2.10.1) transformierten Objekte nicht mehr notwendig der Fall, während aber die physikalischen Aussagen der Theorie ungeändert bleiben. Wir haben also eine recht große Freiheit, die Zeitabhängigkeit auf Zustandsvektoren und Observablenoperatoren zu verteilen, ohne daß dies den physikalischen Gehalt dieser Objekte ändert. Man nennt eine konkrete Realisierung dieser Verteilung der Zeitabhängigkeit auf Zustandsvektoren und Observablenoperatoren Wahl des Bildes der Zeitentwicklung. Eine zeitabhängige unitäre Transformation (2.10.1) heißt daher auch Bildtransformation, da sie von einem Bild der Zeitentwicklung zu einem anderen wechselt.

Im folgenden wollen wir die Dynamik des Systems in einem beliebigen Bild formulieren, so daß wir kein spezielles, z.B. das Schrödingerbild, mehr benötigen. Gleichwohl machen wir vom Schrödingerbild zur Herleitung dieser Gleichungen Gebrauch. Seien also $ \ket{\psi}$ und $ \op{O}$ Zustandskets und Operatoren im Schrödingerbild und $ \ket{\psi'}$ und $ \op{O}'$ die gemäß (2.10.1) transformierten Objekte. Dann ergibt sich

$\displaystyle \frac{\d}{\dd t} \ket{\psi'(t)}= \frac{\dd \op{B}(t)}{\dd t} \ket{\psi(t)}-\frac{\i}{\hbar} \op{B}(t) \op{H} \ket{\psi(t)},$ (2.10.4)

wobei wir von (2.9.9) Gebrauch gemacht haben. Setzen wir jetzt auf der rechten Seite die gemäß (2.10.1) transformierten Objekte ein, folgt

$\displaystyle \frac{\d}{\dd t} \ket{\psi'(t)}=-\frac{\i}{\hbar} \op{Y}(t) \ket{\psi'(t)}$   mit$\displaystyle \quad \op{Y}(t)=\op{H}'(t)+\i \hbar \frac{\dd \op{B}(t)}{\dd t} \op{B}^{\dagger}(t).$ (2.10.5)

Dabei ist $ \op{H}'(t)=\op{B}(t) \op{H} \op{B}^{\dagger}(t)$ der Hamiltonoperator im neuen Bild. Offensichtlich ist $ \op{Y}(t)$ selbstadjungiert. Da nämlich $ \op{H}$ selbstadjungiert ist, trifft dies auch auf $ \op{H}'(t)$ zu. Bleibt der zweite Term in (2.10.5) zu überprüfen. Da $ \op{B}(t)$ unitär ist, gilt

$\displaystyle \op{B}(t) \op{B}^{\dagger}(t)=\einsop.$ (2.10.6)

Leiten wir diese Gleichung nach der Zeit ab, folgt

$\displaystyle \op{B}(t) \dot{\op{B}}^{\dagger}(t)+\dot{\op{B}}(t) \op{B}^{\dagg...
...\dot{\op{B}}^{\dagger}(t) + [\op{B}(t) \dot{\op{B}}^{\dagger}(t)]^{\dagger} =0.$ (2.10.7)

Dabei verwenden wir wie in der Mechanik den Punkt, um die Zeitableitung zu bezeichnen. Dann folgt aber

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$\displaystyle \left [\ii \hbar \dot{\op{B}}(t) \o...
...rel{\text{(\ref{dynket.3})}}{=} +\ii \hbar \dot{\op{B}}(t) \op{B}^{\dagger}(t),$ (2.10.8)

d.h. auch der zweite Term in der Definitionsgleichung von $ \op{Y}(t)$ (2.10.5) ist selbstadjungiert, d.h. es gilt tatsächlich

$\displaystyle \op{Y}^{\dagger}(t)=\op{Y}(t).$ (2.10.9)

Für die Observablen folgt durch eine einfache Rechnung die Bewegungsgleichung

$\displaystyle \frac{\dd \op{O}'}{\dd t}=\frac{1}{\i \hbar} \comm{\op{O}'}{\op{X...
..._t^{\text{expl}} \op{O}' \quad \text{mit} \quad \op{X}(t)=\op{H}'(t)-\op{Y}(t).$ (2.10.10)

Dabei definieren wir

$\displaystyle \partial_t^{\text{expl}}\op{O}'=\op{B}(t) (\partial_t \op{O}) \op{B}^{\dagger}(t),$ (2.10.11)

wobei die Zeitabhängigkeit des Operators $ \op{O}$ im Schrödingerbild rein explizit ist. Die fundamentalen Operatoren $ \op{x}$ und $ \op{p}$, aus denen sich jeder Operator $ \op{O}=\op{O}(\op{x},\op{p};t)$ aufbauen läßt, sind im Schrödingerbild definitionsgemäß zeitunabhängig.

Die physikalisch relevanten dynamischen Aussagen der Quantentheorie hängen auch im neuen Bild nur von $ \op{H}'(t)$ ab, während das Bild durch die willkürliche Festlegung eines der selbstadjungierten Operatoren $ \op{X}(t)$ oder $ \op{Y}(t)$ definiert werden kann. Diese beiden Operatoren sind durch $ \op{X}(t)+\op{Y}(t)=\op{H}'(t)$ miteinander verknüpft, d.h. hat man einen der beiden Operatoren willkürlich gewählt, ist der andere ebenfalls gewählt.

Man kann in der Tat leicht zeigen, daß die Annahme der Bewegungsgleichungen (2.10.5) und (2.10.10) auf eine bildunabhängige Dynamik der relevanten Größen führt. So gilt

$\displaystyle \frac{\d}{\dd t} \erw{\op{O}'}_{\psi'}=\matrixe{\frac{\dd}{\dd t}...
...\dd \op{O}'}{\dd t}}{\psi'} + \matrixe{\psi'}{\op{O}'}{\frac{\d}{\dd t} \psi'}.$ (2.10.12)

Setzen wir nun (2.10.5) und (2.10.10) in diese Gleichungen ein, finden wir die bildunabhängige Gleichung

$\displaystyle \frac{\d}{\dd t} \erw{\op{O}'}_{\psi'}=\erw{\mathring{\op{O}}'}_{\psi'}$   mit$\displaystyle \quad \mathring{\op{O}}':=\frac{1}{\i \hbar} \comm{\op{O}'}{\op{H}'} + \partial_t^{\text{expl.}} \op{O}'.$ (2.10.13)

Dies ist das Ehrenfestsche Theorem in bildunabhängiger Schreibweise. Dabei ist zu beachten, daß der Ring über einem Operator i.a. nicht die mathematische Zeitableitung desselben bedeutet, sondern durch die Kommutatorrelation ergänzt durch die Ableitung aufgrund der expliziten Zeitabhängigkeit definiert ist. Dies ist die sog. physikalische Zeitableitung der Quantentheorie, die man als unter Bildtransformationen kovariante Zeitableitung betrachten kann. Damit haben wir auch Postulat 4 erklärt. Die Postulate sind damit sowohl unabhängig von einer konkreten Darstellung, also der Wahl eines bestimmten vollständigen Satzes kompatibler Observabler zur vollständigen Festlegung des Systemzustandes, als auch unabhängig von der Wahl des Bildes der Zeitentwicklung, also der Wahl der Verteilung der Zeitabhängigkeit auf Zustandsvektoren und Observablenoperatoren.




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