Zeitentwicklung in der Energieeigenbasis

In diesem Bild läßt sich auch sehr einfach der bildunabhängige Zeitentwicklungsoperator für die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung, also der Propagator der Schrödingergleichung bei gegebenem Hamiltonoperator, gewinnen. Es gilt wie in jedem Bild

$$\psi(t,\vec{x})=\braket{\vec{x},t}{\psi}=\int_{\R^3} \dd^3 x' \braket{\vec{x},t}{\pvec{x},t_0} \psi(t_0,\pvec{x}).$$ (2.11.2)

Dabei bedeutet $\ket{\vec{x},t}$ zu jeder Zeit $t$ den verallgemeinerten simultanen Eigenzustand der drei Ortskomponentenoperatoren zum Spektralwert $\vec{x} \in \R^3$ , d.h. es gilt für alle $t>t_0$

$$\vec{\op{x}}(t) \ket{\vec{x},t}=\vec{x} \ket{\vec{x},t}.$$ (2.11.3)

Falls der Hamiltonoperator nicht explizit zeitabhängig ist, gilt für den Ortsoperator

$$\vec{\op{x}}(t)=\exp \left [\frac{\ii}{\hbar} (t-t_0) \op{H} \right] \vec{\op{x}}(t_0) \exp \left [-\frac{\ii}{\hbar} (t-t_0) \op{H}\right].$$ (2.11.4)

Durch Ableitung nach der Zeit (Übung!) sieht man nämlich sofort, daß dann in der Tat die Bewegungsgleichung

$$\frac{\dd}{\dd t} \op{x}(t)=\frac{1}{\ii \hbar} \comm{\op{x}(t)}{\op{H}},$$ (2.11.5)

wie es gemäß (2.10.10) im Heisenbergbild, das durch (2.11.1) definiert ist, sein muß. Aus (2.11.4) folgt sofort, daß die Zeitentwicklung der Ortseigenvektoren durch

$$\ket{\vec{x},t}=\exp \left [\frac{\ii}{\hbar}(t-t_0) \op{H} \right] \ket{\vec{x},t_0}$$ (2.11.6)

gegeben ist.

Folglich ist

$$U(t,\vec{x};t_0,\pvec{x})=\braket{\vec{x},t}{\pvec{x},t_0} = \mat... ...vec{x},t_0}{\exp \left [-\frac{\ii}{\hbar}(t-t_0) \op{H} \right]}{\pvec{x},t_0}$$ (2.11.7)

und

$$U(t_0,\vec{x};t_0,\pvec{x})=\delta^{(3)}(\vec{x}-\pvec{x}).$$ (2.11.8)

Leiten wir (2.11.7) nach der Zeit ab (Übung!), folgt sofort, daß für den Propagator die zeitabhängige Schrödingergleichung

$$\ii \hbar \partial_t U(t,\vec{x};t_0,\pvec{x}) = \hat{H} U(\vec{x},t;t_0,\pvec{x})$$ (2.11.9)

gilt. Dabei ist $\hat{H}$ der Hamilton-Operator in der Ortsdarstellung bzgl. $\vec{x}$ . Gemäß (2.11.2) ist die Zeitentwicklung der Wellenfunktion dann durch

$$\psi(t,\vec{x}) = \int_{\R^3} \dd^3 x' U(t,\vec{x};t_0,\pvec{x}) \psi(t_0,\pvec{x})$$ (2.11.10)

gegeben. Wegen (2.11.9) erfüllt diese Wellenfunktion in der Tat die zeitabhängige Schrödingergleichung und wegen (2.11.8) auch die Anfangsbedingung.

Adjunktion von (2.11.7) liefert unter Berücksichtigung der Selbstadjungiertheit des Hamiltonoperators

$$U^*(t,\vec{x};t_0,\pvec{x})=\matrixe{\pvec{\op{x}},t_0}{\exp \lef... ...c{\ii}{\hbar}(t-t_0) \op{H} \right ]}{\vec{x},t_0} = U(t_0,\pvec{x};t,\vec{x}).$$ (2.11.11)

Wir wollen zur Illustration den Propagator des freien Teilchens mit dieser Methode berechnen. Definitionsgemäß ist der Hamiltonoperator des freien Teilchens

$$\op{H}=\frac{\vec{\op{p}}^2}{2m}.$$ (2.11.12)

Nach (2.10.10) und (2.11.1) folgt zunächst

$$\frac{\dd \vec{\op{p}}}{\dd t}=\frac{1}{\i \hbar} \comm{\vec{\op{... ...\d t} =\frac{1}{\i \hbar}\comm{\vec{\op{x}}}{\op{H}} = \frac{1}{m}\vec{\op{p}}.$$ (2.11.13)

Die Lösung ist in diesem Fall sehr einfach:

$$\vec{\op{p}}(t)=\vec{\op{p}}(t_0)=\vec{\op{p}}_0, \quad \vec{\op{x}}(t)=\vec{\op{x_0}}+\frac{(t-t_0)}{m}\vec{\op{p}}_0.$$ (2.11.14)

Multiplizieren wir die Eigenwertgleichung

$$\vec{\op{x}}(t)\ket{\vec{x},t}=\vec{x} \ket{\vec{x},t}$$ (2.11.15)

mit $\bra{\vec{x}_0,t_0}$ und wenden die Lösung (2.11.14) der Heisenbergschen Operatorbewegungsgleichungen sowie die Hermitezität der Operatoren $\vec{\op{x}}{}_0$ und $\vec{\op{p}}{}_0$ an, finden wir die Bestimmungsgleichung

$$\left [\frac{\hbar (t-t_0)}{\i m} \partial_{\vec{x}_0}+\vec{x}_0 ... ...t] \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t}=\vec{x} \braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t},$$ (2.11.16)

wobei wir (2.4.4) benutzt haben. Eine Lösung dieser Gleichung lautet

$$\braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t}=U^*(t,\vec{x};t_0,\vec{x}_0)=N^*(t-t_0) \exp\left [-\frac{\i m}{2(t-t_0)\hbar} (\vec{x}-\vec{x}_0)^2 \right].$$ (2.11.17)

Nehmen wir an, daß

$$N^*(t-t_0)=N(t_0-t)$$ (2.11.18)

ist, gilt dann nämlich offenbar (2.11.11). Zur Bestimmung von $N(t)$ verwenden wir die Schrödinger-Gleichung (2.11.9), was

$$\dot{N}(t-t_0)=-\frac{3}{2(t-t_0)} N(t) \; \Rightarrow \; N(t-t_0)=\frac{N_0}{(t-t_0)^{3/2}}$$ (2.11.19)

liefert.

Die noch unbestimmte Normierungskonstante $N_0$ bestimmt sich aus der Anfangsbedingung

$$\braket{\vec{x}_0,t_0}{\vec{x},t_0}=\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_0).$$ (2.11.20)

Es ist klar, daß (2.11.17) zu jedem Zeitpunkt als Distribution aufzufassen ist, denn es handelt sich mit Sicherheit nicht um eine quadratintegrable Funktion. Um $N_0$ zu bestimmen, können wir daher auch nicht einfach $t=t_0$ setzen, und in der Tat wird (2.11.17) dann singulär. Es genügt allerdings, (2.11.17) auf eine beliebige Testfunktion anzuwenden. Dazu bietet sich hier eine Gaußfunktion an, denn dann können wir die benötigten Integrale geschlossen auswerten. Wählen wir also

$$\psi_0(\vec{x})=A \exp \left(-\frac{\vec{x}^{ 2}}{4 \sigma^2} \right ).$$ (2.11.21)

Dann folgt

$$\begin{split}\psi(t,\vec{x})&=\int_{\R^3} \dd^3 x_0 U(t,\vec{... ...}_0)^2 -\frac{\vec{x}_0^{ 2}}{4 \sigma^2} \right]. \end{split}$$ (2.11.22)

Dieses Integral läßt sich geschlossen auswerten (vgl. Anhang A):

$$\psi(t,\vec{x})=A N_0 \left [\frac{4\pi \sigma^2 \hbar}{\hbar(t-t... ...3/2} \exp \left (-\frac{m \vec{x}^2}{4 m \sigma^2+2 \ii \hbar(t-t_0)} \right ).$$ (2.11.23)

Damit dies für $t \rightarrow t_0$ mit der Anfangsbedingung (2.11.21) kompatibel ist, muß offenbar

$$N_0=\left(\frac{m}{2 \pi \ii \hbar} \right)^{3/2}$$ (2.11.24)

sein. Demnach erfüllt $N(t)$ gemäß (2.11.19) offenbar tatsächlich unsere obige Annahme (2.11.18) Der Propagator für das freie Teilchen ist damit also durch

$$U(t,\vec{x};t_0,\vec{x}_0)=\left [\frac{m}{2 \pi \ii \hbar(t-t_0)... ...ght]^{3/2} \exp\left [\frac{\ii m}{2(t-t_0)\hbar} (\vec{x}-\vec{x}_0)^2 \right]$$ (2.11.25)

gegeben.