Der Propagator des harmonischen Oszillators

Auch der Propagator des harmonischen Oszillators läßt sich mit der soeben für das freie Teilchen durchgeführten Methode im Heisenbergbild recht bequem berechnen.

Wir beschränken uns auf den eindimensionalen Fall, d.h. wir haben nunmehr als fundamentale Operatoren nur jeweils eine Orts- und Impulskomponente $\op{x}$ bzw. $\op{p}$ , die der kanonischen Vertauschungsrelation

$$\frac{1}{\ii \hbar} \comm{\op{x}}{\op{p}}=\hbar \einsop$$ (2.12.1)

genügen. Der Hamiltonoperator ist in Anlehnung an den klassischen harmonischen Oszillator durch

$$\op{H}=\frac{\op{p}^2}{2m}+\frac{m \omega^2 \op{x}^2}{2}$$ (2.12.2)

definiert. Dabei ist $\omega$ die Frequenz des harmonischen Oszillators.

Die Bewegungsgleichungen der Operatoren im Heisenbergbild lauten

$$\frac{\d \op{p}}{\d t} = \frac{1}{\hbar \ii} \comm{\op{p}}{\op{H}}=-m \omega^2 \op{x},$$ (2.12.3)

$$\frac{\d \op{x}}{\d t} = \frac{1}{\hbar \ii} \comm{\op{x}}{\op{H}}=\frac{\op{p}}{m},$$ (2.12.4)

wobei wir die allgemeine Beziehung

$$\comm{\op{A} \op{B}}{\op{C}}=\op{A} \comm{\op{B}}{\op{C}} + \comm{\op{A}}{\op{C}} \op{B},$$ (2.12.5)

die man sofort aus der Definition des Kommutators beweist, und die kanonischen Vertauschungsrelationen für Ort und Impuls (2.12.1) verwendet haben.

Ableiten der Gleichung (2.12.4) ergibt unter Verwendung von (2.12.3)

$$\frac{\d^2 \op{x}}{\d t^2} = -\omega^2 \op{x},$$ (2.12.6)

und diese Gleichung läßt sich ohne Probleme genauso lösen, als hätten wir es mit gewöhnlichen Zahlen und nicht Operatoren zu tun, weil keine Operatorprodukte vorkommen, in denen es Probleme mit der Operatoranordnung gäbe^2.9:

$$\op{x}=\op{x}_0 \cos[\omega(t-t_0)] + \frac{\op{p}_0}{m \omega} \sin[\omega(t-t_0)].$$ (2.12.7)

Für den Propagator gilt wieder

$$U(x,t;x_0,t_0)=\braket{x,t}{x_0,t_0}.$$ (2.12.8)

Wie oben beim freien Teilchen können wir das Konjugiert Komplexe dazu berechnen, indem wir die verallgemeinerte Eigenwertgleichung mittels (2.12.7) in der Ortsdarstellung anschreiben:

$$\begin{split}[A \partial_{x_0} + B x_0]U^*=x U^*, \ A=\frac{... ...} \sin[\omega(t-t_0)], \quad B=\cos[\omega(t-t_0)]. \end{split}$$ (2.12.9)

Um die Lösung der Eigenwertgleichung zu finden, müssen wir sie nur geeignet umformen:

$$\frac{1}{U^*} \frac{\partial U^*}{\partial x_0}=\frac{x-B x_0}{A},$$ (2.12.10)

und das ergibt aufintegriert

$$U^*=N^*(t,t_0) \exp \left \{-\frac{1}{A} \left [\frac{B}{2}x_0^2-x x_0 + f(x) \right] \right \},$$ (2.12.11)

wobei wir die $x$ -abhängige Integrationskonstante $f(x)$ in den Exponenten gezogen haben, so daß $N$ von $x$ und $x_0$ unabhängig ist.

Wir müssen nunmehr die unbekannte Funktion $f$ und die Konstante $N$ bestimmen. Wir postulieren, daß $f$ eine reelle Funktion ist. Wir werden im folgenden sehen, daß wir mit dieser Annahme zu einer Lösung für den Propagator gelangen.

Zunächst nutzen wir die Eigenschaften des verallgemeinerten Skalarprodukts (2.12.8) aus. Wir sehen sofort, daß

$$U^*(x,t;x_0,t_0)=U(x_0,t_0;x,t).$$ (2.12.12)

Dann benutzen wir, daß bei der Vertauschung der Argumente $(x,t)$ und $(x_0,t_0)$ $A \rightarrow -A$ und $B \rightarrow B$ gilt, da der $\sin$ eine ungerade und $\cos$ eine gerade Funktion ist. Weiter ist $A$ rein imaginär und $B$ reell. Daraus ergibt sich mit (2.12.11) die Beziehung

$$N^*(t,t_0) \exp \left \{-\frac{1}{A} \left [\frac{B}{2}x_0^2+ f(x... ...0,t) \exp \left \{-\frac{1}{A} \left [\frac{B}{2}x^2+ f(x_0) \right] \right \},$$ (2.12.13)

wobei wir schon den beiden Seiten gemeinsamen Faktor $\exp(x x_0/A)$ gekürzt haben.

Da $N$ nicht von $x$ und $x_0$ abhängt, müssen die Exponenten übereinstimmen, und daraus ergibt sich, daß

$$f(x)-\frac{B}{2} x^2=f(x_0)-\frac{B}{2} x_0^2$$ (2.12.14)

sein muß. Da diese Beziehung für alle $x$ und $x_0$ gilt, muß also

$$f(x)-\frac{B}{2} x^2=g(t,t_0)$$ (2.12.15)

sein. Wir können aber $g=0$ setzen, da diese Abhängigkeit durch den Faktor $N$ bereits parametrisiert ist, so daß also

$$f(x)=\frac{B}{2} x^2$$ (2.12.16)

ist.

Bis jetzt haben wir somit folgende Form für den Propagator gefunden:

$$U(x,t;x_0,t_0)=N(t,t_0) \exp \left \{ \frac{\ii m \omega [(x^2+x_0^2) \cos[\omega(t-t_0)] -2 x x_0]}{2 \hbar \sin[\omega(t-t_0)]} \right \}.$$ (2.12.17)

Als nächstes betrachten wir die Vollständigkeitsrelation

$$\begin{split}\int \d x_0 U(x_1,t;x_0,t_0) U^*(x_2,t;x_0,t_0) ... ...x_2,t} \ &=\braket{x_1,t}{x_2,t}= \delta(x_1-x_2). \end{split}$$ (2.12.18)

Setzen wir hierin (2.12.17) ein, finden wir unter Anwendung des aus der Theorie des Fourierintegrals bekannten Formel

$$\int \dd k \exp(\ii k z)=2 \pi \delta(z)$$ (2.12.19)

die Beziehung

$$\int \d x_0 U(x_1,t;x_0,t_0) U^*(x_2,t;x_0,t_0) =\vert N(t,t_0)\vert^2 \frac{2 \pi \hbar \sin[\omega(t-t_0)]}{m \omega} \delta(x_1-x_2),$$ (2.12.20)

so daß also

$$N^*(t,t_0)=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \ii \hbar \sin[\omega(t-t_0)]}} \exp(\ii \varphi)$$ (2.12.21)

mit $\varphi \in \R$ sein muß. Unter der Wurzel verstehen wir dabei hier und im folgenden den Hauptwert, d.h. für $\sin[\omega(t-t_0)]>0$ ($<0$ ) ist ihr Imaginärteil $<0$ ($>0$ ) ^2.10.

Zur Bestimmung von $\varphi$ genügt schließlich die Anwendung von $U$ auf eine beliebige Testfunktion, für die wir hier bequemerweise $\exp(-c x_0^2)$ ($c>0$ ) wählen:

$$F(x)=\int \d x_0 U(x,t;x_0,t_0) \exp(-c x_0^2).$$ (2.12.22)

Da für $t \rightarrow t_0$ der Propagator gegen $\delta(x-x_0)$ streben muß, ergibt sich aus der elementaren Auswertung des Integrals (2.12.22), daß $\varphi=0$ sein muß, so daß sich schließlich der Propagator zu

$$U(x,t;x_0,t_0)=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \ii \hbar \sin[\omega(... ...^2+x_0^2) \cos[\omega(t-t_0)] -2 x x_0]}{2 \hbar \sin[\omega(t-t_0)]} \right \}$$ (2.12.23)

ergibt.