Der Propagator als Green-Funktion der Schrödingergleichung

Wir diskutieren noch ein Weilchen über Propagatoren bzw. Greensche Funktionen der Schrödingergleichung. Der Propagator für ein quantenmechanisches System wird besonders einfach, wenn man nicht wie oben die Ortsdarstellung sondern die Energieeigenzustände als Basissystem wählt. Wir schreiben die Zeitentwicklung wieder im Heisenbergbild und leiten zunächst die Zeitentwicklunggleichung der Eigenzustände von nicht explizit zeitabhängigen Operatoren her. Sei also $\op{A}(t)$ der selbstadjungierte Operator einer Observablen $A$ im Heisenbergbild. Dann gilt wegen (2.10.10) und (2.11.1)

$$\frac{\dd}{\dd t} \op{A}(t) = \frac{1}{\ii \hbar} \comm{\op{A}(t)}{\op{H}}.$$ (2.13.1)

Wir gehen auch von einem nicht explizit zeitabhängigen Hamiltonoperator aus. Setzen wir in (2.13.1) $\op{A}=\op{H}$ ein, sehen wir, daß der Hamiltonoperator dann zeitlich konstant ist, so daß wir das Zeitargument für diesen gleich weggelassen haben. Dann können wir aber die Lösung der Differentialgleichung (2.13.1) sofort angeben:

$$\op{A}(t)=\exp \left[\frac{\ii \hbar (t-t_0) \op{H}}{\hbar} \right ] \op{A}(t_0) \exp \left[-\frac{\ii \hbar (t-t_0) \op{H}}{\hbar} \right ].$$ (2.13.2)

Setzen wir

$$\op{B}(t,t_0)=\exp \left[\frac{\ii \hbar (t-t_0) \op{H}}{\hbar} \right ],$$ (2.13.3)

so ist offenbar $\op{B}(t,t_0)$ unitär, und wir können für (2.13.2) auch

$$\op{A}(t)=\op{B}(t,t_0) \op{A}(t_0) \op{B}^{\dagger}(t,t_0)$$ (2.13.4)

schreiben, was mit (2.10.1) übereinstimmt, wenn wir annehmen, daß zur Zeit $t_0$ im Schrödinger- und Heisenbergbild dieselben Operatoren verwendet werden, was wir stets tun dürfen. Dabei bezeichnet $t_0$ wieder den Anfangszeitpunkt, zu dem wir uns das System in irgendeinem Zustand $\ket{\psi}$ präpariert denken. Im Heisenbergbild sind die $\ket{\psi}$ definitionsgemäß zeitlich konstant. Die Eigenzustände von $\op{A}(t)$ sind hingegen wegen (2.13.2) zeitabhängig. Aus

$$\op{A}(t) \ket{a,t}=a \ket{a,t}$$ (2.13.5)

folgt durch Einsetzen von (2.13.2)

$$\op{B}(t,t_0) \op{A}(t_0) \op{B}^{\dagger}(t,t_0) \ket{a,t_0} = a \ket{a,t}.$$ (2.13.6)

Multiplizieren wir diese Gleichung von links mit $\op{B}^{\dagger}$ , folgt

$$\op{A}(t_0) \op{B}^{\dagger}(t,t_0) \ket{a,t} = a \op{B}^{\dagger}(t,t_0) \ket{a,t}$$ (2.13.7)

Daraus folgt, daß $\op{B}^{\dagger}(t,t_0) \ket{a,t}$ Eigenvektor von $\op{A}(t_0)$ zum Eigenwert $a$ ist. Damit ist also

$$\op{B}^{\dagger}(t,t_0) \ket{a,t}=\ket{a,t_0} \Rightarrow \ket{a,t} = \op{B}(t,t_0) \ket{a,t_0}.$$ (2.13.8)

Ist dann $\ket{\alpha;t}$ ein VONS von irgendwelchen Energieeigenvektoren (wobei $\alpha$ wieder die Eigenwerte irgendwelcher drei voneinander unabhängiger mit $\op{H}$ kompatibler Observabler bezeichnet), so können wir die Zeitentwicklung der Wellenfunktion in der Energiedarstellung sofort angeben^2.11:

$$\begin{split}\tilde{\psi}(t,\alpha) &=\braket{\alpha,t}{\psi}... ... (t-t_0)}{\hbar} \right ] \tilde{\psi}(t_0,\alpha). \end{split}$$ (2.13.9)

Damit können wir aber auch die Zeitentwicklung in jeder anderen Basis nach den entsprechenden Energieeigenfunktionen bzgl. dieser Basis ausdrücken, z.B. in der Ortsdarstellung

$$\begin{split}\psi(t,\vec{x}) &=\braket{\vec{x},t}{\psi} = \in... ... (t-t_0)}{\hbar} \right ] \tilde{\psi}(t_0,\alpha). \end{split}$$ (2.13.10)

Dabei sind die Energieeigenfunktionen in der Ortsdarstellung zeitunabhängig, denn es gilt wegen der Unitarität des Zeitentwicklungsoperators (2.13.3)

$$\begin{split}u_{\alpha}(\vec{x}) &=\braket{\vec{x},t}{\alpha;... ..._0) \alpha,t_0} = \braket{\vec{x},t_0}{\alpha,t_0}. \end{split}$$ (2.13.11)

Wie wir oben gesehen haben, können wir die $u_{\alpha}(\vec{x})$ über die zeitunabhängige Schrödingergleichung berechnen. Dies folgt im jetzigen Kontext sehr einfach aus

$$\hat{H} u_{E\alpha}(\vec{x}) := \braket{\vec{x},t}{\op{H} E,\alpha;t} = E \braket{\vec{x};t}{E,\alpha;t}=E u_{E\alpha}(\vec{x}).$$ (2.13.12)

Wir wollen noch eine wichtige Darstellung des Propagators mittels dieser Energieeigenzustände herleiten. Dazu müssen wir nur $\psi(t_0,\alpha)$ durch die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung ausdrücken:

$$\begin{split}\tilde{\psi}(t_0,\alpha)=\braket{\alpha,t_0}{\ps... ... x' \; u_{E,\alpha}^*(\pvec{x}) \psi(t_0,\pvec{x}). \end{split}$$ (2.13.13)

Dies in (2.13.10) eingesetzt liefert

$$\psi(t,\vec{x})=\int_{\R^3} \dd^3 x' \sumint{} \dd \alpha \; u_{\... ...}(\vec{x}) \exp \left[-\frac{\ii E (t-t_0)}{\hbar} \right ] \psi(t_0,\pvec{x}).$$ (2.13.14)

Der Vergleich mit der Definition des Propagators (2.11.10) liefert die gewünschte Darstellung vermittels Energieeigenzuständen:

$$U(t,\vec{x};t',\pvec{x})=\sumint{} \dd \alpha \; u_{\alpha}^*(\pvec{x}) u_{\alpha}(\vec{x}) \exp \left[-\frac{\ii E (t-t_0)}{\hbar} \right ].$$ (2.13.15)

Dem Leser sei zur Übung empfohlen, sich davon zu überzeugen, daß dieselben Resultate auch aus dem Schrödingerbild bzw. überhaupt einem beliebigen Bild der Zeitentwicklung folgen. Im letzteren Fall werden die Rechnungen allerdings ein wenig komplizierter, da dann sowohl die Zustandsvektoren als auch die Eigenvektoren von Observablen zeitabhängig werden.

Als Beispiel betrachten wir wieder das freie Teilchen und legen das Heisenbergbild zugrunde. Hier haben wir gleich mehrere Möglichkeiten der Wahl für einen vollständigen Satz kompatibler Observabler für die Energieeigenzustände; z.B. können wir die drei Impulskomponenten $\vec{p}$ oder $E,\vec{L}^2,L_z$ als den vollständigen Satz kompatibler Observabler, die auch mit $E$ kompatibel sind, wählen^2.12.

Hier verwenden wir die drei Impulskomponenten $\vec{p}$ als vollständigen Satz kompatibler Erhaltungsgrößen. Wegen

$$\op{H}=\frac{\vec{\op{p}}^{ 2}}{2m}$$ (2.13.16)

sind diese mit $\op{H}$ verträglich und folglich zugleich Energieeigenzustände

$$\op{H} \ket{\vec{p},t}=\frac{\vec{p}^{ 2}}{2m} \ket{\vec{p},t}=E(\vec{p}) \ket{\vec{p},t},$$ (2.13.17)

wobei wir die Dispersionsrelation für das freie Schrödinger-Teilchen

$$E(\vec{p})=\frac{\vec{p}^{ 2}}{2m}$$ (2.13.18)

eingeführt haben. Die Energieeigenfunktionen sind dann freilich einfach die ins Dreidimensionale verallgemeinerten Impulseigenfunktionen (2.4.11)

$$\braket{\vec{x},t}{\vec{p},t} = u_{\vec{p}}(\vec{x})=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \exp \left(\frac{\ii \vec{p} \cdot \vec{x}}{\hbar} \right).$$ (2.13.19)

Die Zeitentwicklung (2.13.10) nimmt demnach die Form

$$\psi(t,\vec{x})=\int_{\R^3} \frac{\dd^3 p}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \... ...\exp \left [-\ii \frac{E(\vec{p}) (t-t_0)-\vec{p} \cdot \vec{x}}{\hbar} \right]$$ (2.13.20)

an. Gibt man den Anfangszustand in der Ortsdarstellung an, findet man die in (2.13.20) benötigte Wellenfunktion in der Impulsdarstellung durch die entsprechende Fourier-Transformation:

$$\begin{split}\tilde{\psi}(t_0,\vec{p}) &= \braket{\vec{p},t_0... ...} \cdot \vec{x}}{\hbar} \right ) \psi(t_0,\vec{x}). \end{split}$$ (2.13.21)