Die Green-Funktion für ein freies Schrödingerteilchen

Wir können den Propagator des freien Teilchens auch noch in einer anderen (insbesondere für die Vielteilchenphysik in Kapitel 8 äußerst wichtigen) Form schreiben. Dazu gehen wir von der zeitabhängigen Schrödingergleichung des freien Teilchens in der Ortsdarstellung aus, die wir in der Gestalt

$$\left (\ii \hbar \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2 \Delta^2}{2m} \right ) \psi(t,\vec{x})=0$$ (2.14.1)

schreiben. Diese Gleichung ist unter Vorgabe der Anfangsbedingung

$$\psi(t_0,\vec{x})=\psi_0(\vec{x})$$ (2.14.2)

zu lösen. Die physikalische Situation, die wir hier beschreiben, ist wieder, daß wir uns das Teilchen durch Festlegung der Werte eines vollständigen Satzes kompatibler Observabler in diesem Anfangszustand $\ket{\psi_0}$ präpariert denken. Physikalisch ist es also irrelevant, wie die Wellenfunktion $\psi(t,\vec{x})$ für Zeiten $t<t_0$ aussieht. Wir machen nun den folgenden Ansatz, der sich gleich noch als nützlich erweisen wird

$$\psi(t,\vec{x}) = \Theta(t-t_0) \psi'(t,\vec{x}),$$ (2.14.3)

wobei die Heavisidesche Einheitssprungfunktion durch

$$\Theta(t-t_0)=\begin{cases}0 & \text{f\uml {u}r} \quad t<t_0, \ 1 & \text{f\uml {u}r} \quad t>t_0 \end{cases}$$ (2.14.4)

definiert ist. Wir benötigen noch die wichtige Formel

$$\frac{\partial}{\partial t} \Theta(t-t_0)=\delta(t-t_0).$$ (2.14.5)

Diese ist selbstverständlich im Distributionensinne zu verstehen. Um sie zu beweisen, müssen wir also $\partial_t \Theta(t-t_0)$ auf eine Testfunktion $f:\R^3 \rightarrow \C$ anwenden. Es gilt definitionsgemäß

$$\begin{split}\int_{\R} \dd t \; f(t) \frac{\partial}{\partial... ... +f(t_0) = \int_{\R^3} \dd t \; f(t) \delta(t-t_0). \end{split}$$ (2.14.6)

Da dies für beliebige Testfunktionen $f$ gilt, muß folglich auch (2.14.5) gelten, denn Distributionen sind eindeutig durch ihre Wirkung auf Testfunktionen definiert.

Setzen wir also (2.14.3) in (2.14.1) ein und verwenden bei der Zeitableitung (2.14.5), erhalten wir

$$\begin{split}\left (\ii \hbar \frac{\partial}{\partial t} + \... ..._{=0} \ &=\ii \hbar \delta(t-t_0) \psi_0(\vec{x}). \end{split}$$ (2.14.7)

Andererseits können wir $\psi(t,\vec{x})$ gemäß (2.11.10) mit Hilfe des Propagators ausdrücken:

$$\begin{split}\psi(t,\vec{x}) &= \Theta(t-t_0) \psi'(t,\vec{x}... ...hbar G(t,\vec{x};t_0,\pvec{x}) \psi_0(\pvec{x}). \end{split}$$ (2.14.8)

Setzen wir dies in (2.14.7) ein, erhalten wir unter Beachtung, daß offenbar für $\psi'$ die Anfangsbedingung

$$\psi_0(\vec{x})=\psi(t_0+0^+,\vec{x}) = \Theta(0^+) \psi'(t_0,\vec{x})=\psi'(t_0,\vec{x})$$ (2.14.9)

gilt,

$$\ii \hbar \int_{\R^3} \dd^3 x' \left (\ii \hbar \frac{\partial}{\... ...vec{x};t_0 , \pvec{x}) \psi_0(\pvec{x})=\ii \hbar \delta(t-t') \psi_0(\vec{x}).$$ (2.14.10)

Da dies für alle möglichen Anfangsbedingungen $\psi_0(\pvec{x})$ gilt, ist also notwendig (wenn wir zur Vereinheitlichung der Schreibweise $t'=t_0$ setzen)

$$\left (\ii \hbar \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2 \Del... ...ht ) G(t,\vec{x};t_0 , \pvec{x}) = \delta(t-t_0) \delta^{(3)}(\vec{x}-\pvec{x})$$ (2.14.11)

Folglich ist $G(t,\vec{x};t_0,\pvec{x})$ eine Greensche Funktion des Schrödingeroperators

$$\ii \hbar \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2 \Delta_{\vec{x}}^2}{2m}.$$ (2.14.12)

Die Gleichung (2.14.11) ist wegen (2.14.8) mit der Nebenbedingung

$$G(t,\vec{x};t',\pvec{x}) =0 \quad t<t'$$ (2.14.13)

zu lösen.

Dazu stellen wir $G$ durch ihre Fouriertransformierte bzgl. der Zeit und des Ortes dar und berücksichtigen, daß offenbar $G$ eine Funktion von $t-t'$ und $\vec{x}-\pvec{x}$ sein muß:

$$G(t,\vec{x};t',\pvec{x}) = \int_{\R^4} \frac{\dd^4 p}{(2 \pi \hba... ...t-t')-\vec{p} \cdot (\vec{x}-\pvec{x})}{\hbar} \right ] \tilde{G}(p_0,\vec{p}).$$ (2.14.14)

Setzen wir dies auf der linken Seite von (2.14.11) ein und schreiben die $\delta$ -Distribution auf der rechten Seite ebenfalls als Fourierintegral,

$$\delta(t-t') \delta^{(3)}(\vec{x}-\pvec{x}) = \int_{\R^4} \frac{\... ...\left [-\ii \frac{p_0 (t-t')-\vec{p} \cdot (\vec{x}-\pvec{x})}{\hbar} \right ],$$ (2.14.15)

erhalten wir durch Vergleich der Fourierintegrale

$$\tilde{G}(p_0,\vec{p})=\frac{1}{p_0 -E(\vec{p})} \quad E(\vec{p})=\frac{\vec{p}^2}{2m}.$$ (2.14.16)

Hierbei tritt nun bei der Transformation (2.14.14) in den $t,\vec{r}$ -Bereich das charakteristische Problem des Pols bei $p_0=E(\vec{p})$ auf. Dies läßt sich dadurch beheben, daß man den reellen Integrationsbereich für $p_0$ ein wenig in die komplexe $p_0$ -Ebene deformiert. Dabei ist darauf zu achten, daß die Randbedingung (2.14.13) erfüllt wird. Aufgrund der Exponentialfunktion in (2.14.14) können wir den Residuensatz anwenden, indem wir den Integrationsweg durch einen sehr großen Halbkreis im Unendlichen schließen, und zwar in der oberen (unteren) Halbebene für $t<t'$ ($t>t'$ ). Wir müssen mit unserem Integrationsweg den Pol also so umlaufen, daß dieser beim Schließen in der oberen Halbebene für $t<t'$ nicht in dem vom Integrationsweg umschlossenen Gebiet liegt (vgl. Abb. 2.1), denn dann verschwindet das Integral wegen des Cauchyschen Integralsatzes, wie von der Randbedingung (2.14.13) gefordert. Alternativ können wir auch einen kleinen positiven Imaginärteil zum Nenner addieren und diesen nach der $p_0$ -Integration gegen 0 gehen lassen. Das schreiben wir im Sinne von Distributionen in der Form

$$\tilde{G}_{\text{ret}}(p_0,\vec{p})=\frac{1}{p_0-E(\vec{p})+\ii 0^+}.$$ (2.14.17)

Dann liegt der Pol $p_0^{(\text{Pol})}=E(\vec{p})-\ii 0^+$ nämlich in der unteren Halbebene und dies hat denselben Effekt wie die Deformation des Integrationsweges gemäß Abb. 2.1, wenn wir wieder den ursprünglichen reellen Integrationsweg wählen und diesen in der oberen bzw. unteren Halbebene durch einen unendlich großen Halbkreis schließen. Wir haben jetzt diese Greensche Funktion genauer mit $\tilde{G}_{\text{ret}}$ bezeichnet, denn es handelt sich wegen der Randbedingung (2.14.13) offensichtlich um die retardierte Greensche Funktion der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen.

Links: Integrationskontur für das Integral (2.14.14) für den retardierten Propagator. Rechts: Alternative Formulierung durch Verschieben des Pols in die untere Halbebene (cf. (2.14.17) und Beibehaltung des ursprünglichen reellen Integrationsweges.

Führen wir nun in (2.14.14) nur die $p_0$ -Integration mit (2.14.17) für $\tilde{G}$ aus, erhalten wir die Darstellung der retardierten Greenschen Funktion als Funktion der Zeiten $t,t'$ und $\vec{p}$ , die sog. Mills-Darstellung:

$$G_{\text{ret}}'(t,t';\vec{p}) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\dd... ...c{1}{p_0-E(\vec{p})+\ii 0^+} \exp \left [-\ii \frac{p_0(t-t')}{\hbar} \right ].$$ (2.14.18)

Wir können dieses Integral mit Hilfe des Residuensatzes auswerten, indem wir die Integrationswege wie in Abb. 2.1 (rechts) eingezeichnet schließen. Dann folgt

$$G_{\text{ret}}'(t,t';\vec{p}) = \frac{\Theta(t-t')}{\ii \hbar} \exp \left [-\frac{\ii}{\hbar} E(\vec{p})(t-t') \right ].$$ (2.14.19)